流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)ppt課件-

1、第三章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)11 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 16 伯努利（Bernoulli）方程的應(yīng)用 18 液體的空化和空蝕現(xiàn)象17 定常流動(dòng)的動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程12 流體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念14 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程13 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程15 理想流體微元流束的伯努力方程7/19/20221 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如速度、加速度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律，而流體動(dòng)力學(xué)則研究流體在外力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)與所受力之間的關(guān)系。本章主要介紹流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的基本知識(shí)，推導(dǎo)出流體動(dòng)力學(xué)中的幾個(gè)重要的基本方程：連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程，這些方程是分析流體流動(dòng)問題的基礎(chǔ)。7

2、/19/20222第一節(jié) 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我們可以把流體看作為由無數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無間隙地充滿它所占據(jù)的空間。我們把流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全部空間稱為流場(chǎng)。由于流體是連續(xù)介質(zhì)，所以描述流體運(yùn)動(dòng)的各物理量(如速度、加速度等)均應(yīng)是空間點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。根據(jù)著眼點(diǎn)的不同，流體力學(xué)中研究流體的運(yùn)動(dòng)有兩種不同的方法，一種是拉格朗日（Lagrange）方法，另一種是歐拉（Euler）方法。 拉格朗日方法又稱隨體法，是從分析流場(chǎng)中個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)著手來研究整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的。這種研究方法，最基本7/19/20223 的參數(shù)是流體質(zhì)點(diǎn)的位移，在某一時(shí)刻，任一流體質(zhì)點(diǎn)的

3、位置可表示為： X=x (a，b，c，t) y=y (a，b，c，t) z=z (a，b，c，t) (3-1) 式中a、b、c為初始時(shí)刻任意流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點(diǎn)。對(duì)于某個(gè)確定的流體質(zhì)點(diǎn)，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)于某個(gè)確定的時(shí)刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而是流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)。7/19/20224 將式（3-1）對(duì)時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得任意流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為： (3-2) (3-3)7/19/20225 同樣，流體的密度、壓強(qiáng)和溫度

4、也可寫成a、b、c、的函數(shù)，即= （a，b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a，b，c，)。 歐拉法，又稱局部法，是從分析流場(chǎng)中每一個(gè)空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)著手，來研究整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)的，即研究流體質(zhì)點(diǎn)在通過某一空間點(diǎn)時(shí)流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律。所以流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)是空間點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z）和時(shí)間t的函數(shù)，例如：流體質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)速度分量、壓強(qiáng)和密度可表示為： u=u (x，y，z，t) v=v (x，y，z，t) （3-4） w=w (x，y，z，t)式中，u，v，w分別表示速度矢量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量：7/19/20226 P=p (x，y，z，t) =（x，y，z，t) (3-5)

5、 式（3-4）中，當(dāng)參數(shù)x，y，z不變而改變時(shí)間t，則表示空間某固定點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。當(dāng)參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時(shí)刻，空間各點(diǎn)的速度分布。 x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場(chǎng)的空間坐標(biāo)，另一方面它代表流體質(zhì)點(diǎn)在空間的位移。根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個(gè)空間點(diǎn)上都有流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。而占據(jù)每一個(gè)空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說，空間坐標(biāo)x，y，z也是流體質(zhì)點(diǎn)位移的變量，它也是時(shí)間t的函數(shù)： x= x (t) y= y (t) z= z (t) (3-6)7/19/20227 式（3-6）是流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點(diǎn)

6、沿運(yùn)動(dòng)軌跡的三個(gè)速度分量 （3-7） 現(xiàn)在用歐拉法求流體質(zhì)點(diǎn)的加速度。由于加速度定義為在dt時(shí)刻內(nèi)，流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)某空間點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)軌跡上一段微小距離時(shí)的速度變化率，于是可按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，分別將式（3-4）中三個(gè)速度分量對(duì)時(shí)間取全導(dǎo)數(shù)，并將式（3-7）代入，即可得流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻經(jīng)過某空間點(diǎn)時(shí)的三個(gè)加速度分量7/19/20228 (3-8) 用矢量 表示加速度，即 。根據(jù)矢量分析的點(diǎn)積公式 （3-9） 式中 是矢量微分算子。 由式（3-8）可知，用歐拉法求得的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度由兩部分組成；第一部分是由于某一空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)7/19/20229 的速度隨時(shí)間的變化而產(chǎn)生的，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣龋?/p>

7、即式（3-8）中等式右端的第一項(xiàng) 、 、 ；第二部分是某一瞬時(shí)由于流體質(zhì)點(diǎn)的速度隨空間點(diǎn)的變化稱為遷移加速度，即式（3-8）中等式右端的后三項(xiàng) 、 、 等；當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度之和稱為總加速度。為了加深對(duì)當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度的理解，現(xiàn)舉例說明這兩個(gè)加速度的物理意義。如圖3-1所示，不可壓縮流體流過一個(gè)中間有收縮形的變截面管道，截面2比截面1小，則截面2的速度就要比截面1的速度大。所以當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)從1點(diǎn)流到2點(diǎn)時(shí)，由于截面的收縮引起速度的增加，從而產(chǎn)生了遷移加速度，如果在某一段時(shí)間內(nèi)流進(jìn)管道的流體輸入量有變化（增加或減少），則管道中每一點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速7/19/202210圖 3-1 中間有收

8、縮形的變截面管道內(nèi)的流動(dòng)7/19/202211 度將相應(yīng)發(fā)生變化（增大或減少），從而產(chǎn)生了當(dāng)?shù)丶铀俣取?應(yīng)該注意，流體質(zhì)點(diǎn)和空間點(diǎn)是兩個(gè)截然不同的概念，空間點(diǎn)指固定在流場(chǎng)中的一些點(diǎn)，流體質(zhì)點(diǎn)不斷流過空間點(diǎn)，空間點(diǎn)上的速度指流體質(zhì)點(diǎn)正好流過此空間點(diǎn)時(shí)的速度。用歐拉法求流體質(zhì)點(diǎn)其他物理量的時(shí)間變化率也可以采用式(3-9)的形式，即 （3-10） 式中，括弧內(nèi)可以代表描述流體運(yùn)動(dòng)的任一物理量，如密度、溫度、壓強(qiáng)，可以是標(biāo)量，也可以是矢量。 稱為全導(dǎo)數(shù)， 稱為當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)， 稱為遷移導(dǎo)數(shù)。 7/19/202212 由上述可知，采用歐拉法描述流體的流動(dòng)，常常比采用拉格朗日法優(yōu)越，其原因有三。一是利用歐拉法得

9、到的是場(chǎng)，便于采用場(chǎng)論這一數(shù)學(xué)工具來研究。二是采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運(yùn)動(dòng)微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。三是在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來龍去脈?；谏鲜鋈c(diǎn)原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。當(dāng)然拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計(jì)算流體力學(xué)的某些問題中還是方便的。 7/19/202213 【例3-1】 已知用拉格朗日變量表示得速度分布為 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時(shí)，x=a， y=b。求（1）t=3時(shí)質(zhì)點(diǎn)分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；（3）

10、質(zhì)點(diǎn)加速度。 【解】 根據(jù)（3-2）式得 將上式積分，得 上式中c1、c2為積分常數(shù)，它仍是拉格朗日變量的函數(shù)。 利用t=0時(shí)，x=a，y=b得c1=-2， c2=-27/19/202214 X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）將t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2時(shí) x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3)7/19/202215 【例3-2】 在任意時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25。質(zhì)點(diǎn)速度和加速度在x和y方向的分量為多少？ 【解】 根據(jù)式（3-7）得 由式（3-8）得7/1

11、9/202216第二節(jié) 流體運(yùn)動(dòng)的一些基本概念 在討論流體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律和基本方程之前，為了便于分析、研究問題，先介紹一些有關(guān)流體運(yùn)動(dòng)的基本概念。 一、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng) 根據(jù)流體的流動(dòng)參數(shù)是否隨時(shí)間而變化，可將流體的流動(dòng)分為定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)，現(xiàn)舉例說明如下：如圖3-2所示裝置，將閥門A和B的開度調(diào)節(jié)到使水箱中的水位保持不變，則水箱和管道中任一點(diǎn)(如1點(diǎn)、2點(diǎn)和3點(diǎn)等)的流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)和速度都不隨時(shí)間而變化，但由于1、2、3各點(diǎn)所處的空間位置不同，故其壓強(qiáng)和速度值也就各7/19/202217圖 3-2 流體的出流7/19/202218圖 3-2 流體的出流7/19/202219 不相同。

12、這時(shí)從管道中流出的射流形狀也不隨時(shí)間而變。這種運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)(壓強(qiáng)和速度等)均不隨時(shí)間變化，而只隨空間點(diǎn)位置不同而變化的流動(dòng)，稱為定常流動(dòng)?，F(xiàn)將閥門A關(guān)小，則流入水箱的水量小于從閥門B流出的水量，水箱中的水位就逐漸下降，于是水箱和管道任一點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)和速度都逐漸減小，射流的形狀也逐漸向下彎曲。這種運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)(壓強(qiáng)和速度等)隨時(shí)間而變化的流動(dòng)，稱為非定常流動(dòng)。由上可見，定常流動(dòng)的流場(chǎng)中，流體質(zhì)點(diǎn)的速度、壓強(qiáng)和密度等流動(dòng)參數(shù)僅是空間點(diǎn)坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，而與時(shí)間t無關(guān)，用表示任一流動(dòng)參數(shù)（即可表示u，v，w，p，等），則 = (x，y，z) (3

13、-11)7/19/202220 由于是定常流動(dòng)，故其流動(dòng)參數(shù)對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)等于零，即 （3-12） 因此，定常流動(dòng)時(shí)流體加速度可簡(jiǎn)化成 （3-13） 由式(3-13)可知，在定常流動(dòng)中只有遷移加速度。例如圖3-2中，當(dāng)水箱的水位保持不變時(shí)，2點(diǎn)到3點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的速度減小，而4點(diǎn)到5點(diǎn)速度增加，都是由于截面變化而引起的遷移加速度。若遷移加速度為零，則為均勻流動(dòng)，例如流體質(zhì)點(diǎn)在等截面管道中的流動(dòng)(3點(diǎn)到4點(diǎn))。 在供水和通風(fēng)系統(tǒng)中，只要泵和風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)速不變，運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定，則水管和風(fēng)道中的流體流動(dòng)都是定常流動(dòng)。又如7/19/202221 火電廠中，當(dāng)鍋爐和汽輪機(jī)都穩(wěn)定在某一工況下運(yùn)行時(shí)，主蒸汽管道和給水管道

14、中的流體流動(dòng)也都是定常流動(dòng)?？梢娧芯苛黧w的定常流動(dòng)有很大的實(shí)際意義。 二、跡線與流線 跡線是流場(chǎng)中某一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。例如在流動(dòng)的水面上撒一片木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，也就是跡線。流場(chǎng)中所有的流體質(zhì)點(diǎn)都有自己的跡線，跡線是流體運(yùn)動(dòng)的一種幾何表示，可以用它來直觀形象地分析流體的運(yùn)動(dòng)，清楚地看出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。跡線的研究是屬于拉格朗日法的內(nèi)容，跡線表示同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所形成的曲線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： （3-14）7/19/202222 式(3-14)就是跡線微分方程，是自變量。 流線是某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向都與該曲線相切，因此

15、流線是同一時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線，如圖3-3所示。 流線可以形象地給出流場(chǎng)的流動(dòng)狀態(tài)。通過流線，可以清楚地看出某時(shí)刻流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度方向，由流線的密集程度，也可以判定出速度的大小。流線的引入是歐拉法的研究特點(diǎn)。例如在流動(dòng)水面上同時(shí)撤一大片木屑，這時(shí)可看到這些木屑將連成若干條曲線，每一條曲線表示在同一瞬時(shí)各水點(diǎn)的流動(dòng)方向線就是流線。 1、流線的基本特性 (1)在定常流動(dòng)時(shí)，因?yàn)榱鲌?chǎng)中各流體質(zhì)點(diǎn)的速度不隨7/19/202223圖 3-3 流線的概念7/19/202224 時(shí)間變化，所以通過同一點(diǎn)的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。而在非定常流動(dòng)時(shí)，一般說來流線要隨時(shí)間變化，故流線

16、和跡線不相重合。 (2)通過某一空間點(diǎn)在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。否則在同一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)將同時(shí)有幾個(gè)不同的流動(dòng)方向。只有在流場(chǎng)中速度為零或無窮大的那些點(diǎn)，流線可以相交，這是因?yàn)?，在這些點(diǎn)上不會(huì)出現(xiàn)在同一點(diǎn)上存在不同流動(dòng)方向的問題。速度為零的點(diǎn)稱駐點(diǎn)，速度為無窮大的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。 (3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。 (4)流線密集的地方，表示流場(chǎng)中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。7/19/202225 2、流線微分方程 現(xiàn)由矢量分析法導(dǎo)出流線微分方程。設(shè)在某一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量 ，通過該點(diǎn)流線上的微元線段 。由流線的定義知，空間點(diǎn)上

17、流體質(zhì)點(diǎn)的速度與流線相切。根據(jù)矢量分析，這兩個(gè)矢量的矢量積應(yīng)等于零，即 即 上式又可寫成7/19/202226 （3-15） 式（3-15）就是流線的微分方程，式中時(shí)間t是個(gè)參變量。 【例3-3】 有一流場(chǎng)，其流速分布規(guī)律為：u= -ky，v= kx，w=0，試求其流線方程。 【解】 由于w=0，所以是二維流動(dòng)，二維流動(dòng)的流線方程微分為 將兩個(gè)分速度代入流線微分方程（3-15），得到 即 xdx+ydy=0 積分上式得到 x2+y2=c 即流線簇是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。7/19/202227 三、流管、流束和總流 在流場(chǎng)中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點(diǎn)作流線，這些流線組成一個(gè)管

18、狀表面，稱之為流管。如圖3-4所示。因?yàn)榱鞴苁怯闪骶€構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過流管流入或流出(由于流線不能相交)。流管就像固體管子一樣，將流體限制在管內(nèi)流動(dòng)。 過流管橫截面上各點(diǎn)作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。當(dāng)流束的橫截面積趨近于零時(shí)，則流束達(dá)到它的極限流線。 在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。流線相互平行時(shí)，有效截面是平面。流線不平行時(shí)，有效截面是曲面，如圖3-5所示。有效截面面積為無限小的流束7/19/202228 和流管，稱為微元流束和微元流管。在每一個(gè)微元流束的有效截面上，各點(diǎn)的速度可認(rèn)為是相同的。 無數(shù)微元流束的總和稱為總流。自然界和

19、工程中所遇到的管流或渠流都是總流。根據(jù)總流的邊界情況，可以把總流流動(dòng)分為三類： （1）有壓流動(dòng) 總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿流道，如壓力水管中的流動(dòng)。 （2）無壓流動(dòng) 總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的流動(dòng)。 （3）射流 總流的全部邊界均無固體邊界約束，如噴嘴出口的流動(dòng)。 在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長(zhǎng)度稱為濕周，用符號(hào)表示。7/19/202229圖 3-4 流管和流束7/19/202230圖 3-5 有效截面7/19/202231 總流的有效截面面積與濕周之比稱為水力半徑，用符號(hào)Rh表示，即 關(guān)于濕周和水力半徑的概念在非圓截

20、面管道和管束的水力計(jì)算中常常用到。 四、流量和平均流速 單位時(shí)間內(nèi)通過有效截面的流體體積稱為體積流量，以qv表示。其單位為m3/s、m3/h等。 單位時(shí)間內(nèi)通過有效截面的流體質(zhì)量稱為質(zhì)量流量,以qm表示，其單位為kg/s、t/h等。 由于微元流束有效截面上各點(diǎn)的流速V是相等的，所以通過微元流束有效截面積為的體積流量dqv和質(zhì)量流量dqm分別為： dqv=VdA (3-16) dqm=VdA (3-17)7/19/202232 由于流束是由無限多的微元流束組成的，所以通過流束有效截面面積為的流體體積流量和質(zhì)量流量分別由式(3-16)和式(3-17)積分求得，即 (3-18) (3-19) 以上計(jì)

21、算必須先找出微元流束的速度V在整個(gè)流束有效截面上的分布規(guī)律，這在大部分工程問題中是不能用解析法來確定的。在工程計(jì)算中為了方便起見，引入平均流速的概念。平均流速是一個(gè)假想的流速，即假定在有效截面上各點(diǎn)都以相同的平均流速流過，這時(shí)通過該有效截面上的體積流量仍與各點(diǎn)以真實(shí)流速流動(dòng)時(shí)所得到的體積流量相同。7/19/202233 若以表示平均流速，按其定義可得： (3-20) (3-21) 五、一維、二維和三維流動(dòng) 一般的流動(dòng)都是在三維空間的流動(dòng)，流動(dòng)參數(shù)是x、y、z三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，在流體力學(xué)中又稱這種流動(dòng)為三維流動(dòng)。當(dāng)我們適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)或?qū)⒘鲃?dòng)作某些簡(jiǎn)化，使其流動(dòng)參數(shù)在某些情況下，僅是x、y兩個(gè)坐標(biāo)的

22、函數(shù)，稱這種流動(dòng)為二維流動(dòng)。是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)的流動(dòng)，稱為一維流動(dòng)。 如圖3-6所示的帶錐度的圓管內(nèi)黏性流體的流動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如速度，即是半徑r的函數(shù)，又是沿軸7/19/202234圖 3-6 管內(nèi)流動(dòng)速度分布7/19/202235 線距離的函數(shù)，即：u=u (r，x)。顯然這是二元流動(dòng)問題。工程上在討論其速度分布時(shí)，常采用其每個(gè)截面的平均值u。就將流動(dòng)參數(shù)如速度，簡(jiǎn)化為僅與一個(gè)坐標(biāo)有關(guān)的流動(dòng)問題，這種流動(dòng)就叫一維流動(dòng)，即：u=u (x)。 如圖3-7所示的繞無限翼展的流動(dòng)就是二維流動(dòng)，二維流動(dòng)的參數(shù)以速度為例，可寫成： 如圖3-8所示的繞有限寬翼展的流動(dòng)就是三維流動(dòng)，三維流動(dòng)的參數(shù)以速

23、度為例，可寫成： 六、均勻流和非均勻流 根據(jù)流場(chǎng)中同一條流線各空間點(diǎn)上的流速是否相同，可將總流分為均勻流和非均勻流。若相同則稱為均勻流，7/19/202236圖 3-7 繞無限翼展的流動(dòng)7/19/202237圖 3-8繞有限翼展的流動(dòng)7/19/202238 否則稱為非均勻流。由此定義可知在均勻流中，流線是彼此平行的直線，過水?dāng)嗝妫ㄓ行Ы孛妫┦瞧矫?。如在等直徑的直管道?nèi)的水流都是均勻流(圖3-9)。注意在均勻流中各流線上的流速大小不定彼此相等在非均勻流中，流線或者是不平行的直線，或者是曲線，如圖3-10所示。一般非均勻流的過水?dāng)嗝妫ㄓ行Ы孛妫┦乔妗７蔷鶆蛄靼戳魉俚拇笮『头较蜓亓骶€變化的緩、急程

24、度又可分為緩（漸）變流和急變流兩種（圖3-11）。流速的大小和方向沿流線逐漸改變的非均勻流，稱為緩（漸）變流。顯然，緩（漸）變流的流線的曲率半徑r較大，流線之間的夾角較小。因此，緩（漸）變流是一種流線幾乎平行又近似直線的流動(dòng)，其極限情況就是均勻流。緩（漸）變流的有效截面可看作平面，但是緩（漸）變流各個(gè)過水?dāng)嗝娴男螤詈痛笮∈茄爻讨饾u改變的，各個(gè)過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植紙D形也是沿程逐漸改變的。流速的大小和7/19/202239方向沿流線急劇變化的非均勻流，稱為急變流。顯然其流線之間的夾角較大，或者流線曲率半徑較小，或者兩者兼而有之。7/19/202240圖 3-9 均勻流7/19/202241圖 3-

25、10 非均勻流7/19/202242急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流圖 3-11 緩變流和急變流7/19/202243第三節(jié) 流體流動(dòng)的連續(xù)性方程 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。我們認(rèn)為流體是連續(xù)介質(zhì)，它在流動(dòng)時(shí)連續(xù)地充滿整個(gè)流場(chǎng)。在這個(gè)前提下，當(dāng)研究流體經(jīng)過流場(chǎng)中某一任意指定的空間封閉曲面時(shí)，可以斷定：若在某一定時(shí)間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時(shí)，則這封閉曲面內(nèi)一定會(huì)有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個(gè)封閉曲面內(nèi)的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)分析表達(dá)成微分方程，稱為連續(xù)性方程。

26、7/19/202244 一、直角坐標(biāo)系下連續(xù)性微分方程式 設(shè)在流場(chǎng)中任取一個(gè)微元平行六面體，其邊長(zhǎng)分別為dx、dy和dz，如圖3-12所示。 假設(shè)微元平行六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，在某一瞬時(shí)t經(jīng)過形心的流體質(zhì)點(diǎn)沿各坐標(biāo)軸的速度分量為u、v、w，流體的密度為?，F(xiàn)討論流體經(jīng)六面體各面的流動(dòng)情況。 先分析x軸方向，由式(3-4)和式(3-5)可知，u和都是坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，即u=u (x，y，z，t)和 = (x，y，z，t)。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式，略去高于一階的無窮小量，得在d時(shí)間內(nèi)，沿軸方向從左邊微元面積dydz流入的流體質(zhì)量為7/19/202245圖 3-12 流場(chǎng)中的微元平行六面體7/

27、19/202246 同理可得在dt時(shí)間內(nèi)從右邊微元面積dydz流出的流體質(zhì)量為 (3-22) 上述兩者之差為在dt時(shí)間內(nèi)沿x軸方向流體質(zhì)量的變化，即 (3-23)7/19/202247 同理可得，在dt時(shí)間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為： 因此，在dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為 (3-24) 由于流體是作為連續(xù)介質(zhì)來研究的，所以式(3-24)所表示的六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化，唯一的可能是因?yàn)榱骟w內(nèi)流體密度的變化而引起的。因此式(3-24)應(yīng)和由于流體密度的變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等。 設(shè)開始瞬時(shí)流體的密度為，經(jīng)過dt時(shí)間后的密度為7/19/202248 則可求

28、出在dt時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為 (3-25) 根據(jù)連續(xù)性條件，式(3-24)和式(3-25)應(yīng)相等，經(jīng)簡(jiǎn)化得到 (3-26) 式（3-26）為可壓縮流體非定常三維流動(dòng)的連續(xù)性方程。 若流體是定常流動(dòng)，則 ，上式成為 (3-27) 式（3-27）為可壓縮流體定常三維流動(dòng)的連續(xù)性方程。 若流體是不可壓縮的，不論是定?；蚍嵌ǔＡ鲃?dòng)均7/19/202249 為常數(shù)，故式(3-27)成為 (3-28) 式（3-28）為不可壓縮流體三維流動(dòng)的連續(xù)性的方程。它的物理意義是：在同一時(shí)間內(nèi)通過流場(chǎng)中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。

29、在流體力學(xué)中時(shí)常討論所謂平面（二維）流動(dòng)，即平行任何一個(gè)坐標(biāo)平面的流動(dòng)。若這種流動(dòng)的流動(dòng)參數(shù)（如速度、壓強(qiáng)）只沿x、y兩個(gè)坐標(biāo)軸方向發(fā)生變化，則式（3-28）可以寫成 (3-29) 由于在推導(dǎo)上述連續(xù)性方程時(shí)，沒有涉及作用力的問題，所以不論是對(duì)理想流體還是實(shí)際流體都是適用的。7/19/202250 二、微元流束和總流的連續(xù)性方程 在工程上和自然界中，流體流動(dòng)多數(shù)都是在某些周界所限定的空間內(nèi)沿某一方向流動(dòng)，即一維流動(dòng)的問題，所謂一維流動(dòng)是指流動(dòng)參數(shù)僅在一個(gè)方向上有顯著的變化，而在其它兩個(gè)方向上的變化非常微小，可忽略不計(jì)。例如在管道中流動(dòng)的流體就符合這個(gè)條件。在流場(chǎng)中取一微元流束(圖3-13)。假

30、定流體的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的、定常的，則微元流管的形狀不隨時(shí)間而改變。又根據(jù)流管的特性，流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過流管表面，因此在單位時(shí)間內(nèi)通過微元流管的任一有效截面的流體質(zhì)量都應(yīng)相等，即 1V1dA1= 2V2dA2= VdA=常數(shù) （3-30） 式中 dA1 、dA2分別為1、2兩個(gè)有效截面的面積，m2；7/19/202251圖 3-13 流場(chǎng)中的微元流束7/19/202252 V1 、V2分別為dA1和dA2上的流速，也稱為真實(shí)流速，m/s； 1 、 2分別為和處的流體密度，kg/m3。 對(duì)于由無限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動(dòng)），可對(duì)式（3-30）進(jìn)行積分得 （3-31） 式中 A1 和

31、A2分別為總流1和2兩個(gè)有效截面的面積，m2。 式（3-31）為一維流動(dòng)積分形式總流的連續(xù)性方程。設(shè) 和 是總流兩個(gè)有效截面l和2上的平均流速，則式（3-31）可寫成 (3-32)7/19/202253 式中1和2分別代表截面和上的平均密度，kg/m3。 式（3-32）表示當(dāng)流動(dòng)為可壓縮流體定常流體動(dòng)時(shí)，沿流動(dòng)方向的質(zhì)量流量為一個(gè)常數(shù)。 對(duì)不可壓縮均質(zhì)流體常數(shù)，則式（3-32）成為 (3-33) 式（3-33）為不可壓縮流體一維定常流動(dòng)的總流連續(xù)性方程。該式說明一維總流在定常流動(dòng)條件下，沿流動(dòng)方向的體積流量為一個(gè)常數(shù)，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積

32、小的地方平均流速就大。 7/19/202254 【例3-4】 假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動(dòng)，其速度分布規(guī)律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動(dòng)是否連續(xù)。 【解】 根據(jù)式（3-28） 所以 故此流動(dòng)不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動(dòng)是不存在的 7/19/202255 【例3-5】 有一不可壓縮流體平面流動(dòng)，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動(dòng)是否連續(xù)。 【解】 根據(jù)式（3-29） 所以 故此流動(dòng)是連續(xù)的。7/19/202256 【例3-6】 有一輸水管道，如圖3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。測(cè)得截面1-1的水流平均流速 m/s

33、，已知d1=0.5m， d2=1m，試求截面2-2處的平均流速 為多少？ 【解】 由式（3-33）得 (m/s)7/19/202257圖 3-14 輸水管道7/19/202258第四節(jié) 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 在流動(dòng)的理想流體中，取出一個(gè)微元平行六面體的微團(tuán)，它的各邊長(zhǎng)度分別為dx、dy和dz，如圖3-15所示。由于是理想流體，沒有黏性，運(yùn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，所以作用在流體微團(tuán)上的外力只有質(zhì)量力和壓強(qiáng)。該壓強(qiáng)與靜壓強(qiáng)一樣，垂直向內(nèi)，作用在流體微團(tuán)的表面上。假設(shè)六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，壓強(qiáng)為p。 先分析x方向的運(yùn)動(dòng)，在垂直于x軸的左右兩個(gè)平面中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)各等于 由于是微元面積，所以這些壓

34、強(qiáng)可以作為各表面上的7/19/202259圖 3-15 推導(dǎo)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程用圖7/19/202260 平均壓強(qiáng)。設(shè)在六面體形心上的單位質(zhì)量的質(zhì)量力分量為fx、fy和fz ，則作用在微元平行六面體的流體微團(tuán)上的質(zhì)量力在軸方向的分量為 fxdxdydz 又流體微團(tuán)的加速度在x軸上的投影為 ，則根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程 將上式各項(xiàng)除以流體微團(tuán)的流體質(zhì)量dxdydz，化簡(jiǎn)后得： 同理 (3-34)7/19/202261 這就是理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，早在1755年就為。對(duì)于靜止的流體u=v=w=0，則由式（3-34）可以直接得出流體平衡微分方程，即歐拉平衡微分方程式（2-3）。因此歐

35、拉平衡微分方程只是歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的一個(gè)特例。如果把加速度寫成展開式，可將歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程寫成如下形式 (3-35)7/19/202262 在一般情況下，作用在流體上的質(zhì)量力fx、fy和fz 是已知的，對(duì)理想不可壓縮流體其密度為一常數(shù)。在這種情況下，式（3-35）中有四個(gè)未知數(shù)u、v、w和p，而式（3-35）中有三個(gè)方程，再加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程（3-28），就從理論上提供了求解這四個(gè)未知數(shù)的可能性。7/19/202263 第五節(jié) 理想流體微元流束的伯努利方程 一、理想流體微元流束的伯努利方程 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（3-35）只有在少數(shù)特殊情況下才能求解。在下列幾個(gè)假定條件下： (1)

36、不可壓縮理想流體的定常流動(dòng)； (2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分； (3)質(zhì)量力只有重力。 即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。 假定流體是定常流動(dòng)，則有 ，7/19/202264 因此式(3-35)可寫成 (3-36) 假如流體微團(tuán)沿流線的微小位移ds在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為dx、dy和dz?，F(xiàn)用dx、dy和dz分別乘以式（3-36）的第一式、第二式和第三式，則可得到7/19/202265 (3-37) 由流線微分方程（3-15）有 udy=vdx ydz=wdy (3-38) wdx=udz 將式（3-38）代入式（3-37）中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，則得7/19/202266 (3-39) 將式

37、（3-39）的三個(gè)方程相加，得到 (3-40) 由于式（3-40）中的dx、dy和dz是流體微團(tuán)沿流線微小位移ds的三個(gè)分量，所以要沿流線（或微元流束）進(jìn)行積分。7/19/202267 式（3-40)中的 假設(shè)質(zhì)量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z軸垂直向上，oxy為水平面。則式(3-40)可寫成 又假設(shè)為不可壓縮均質(zhì)流體，即=常數(shù)，積分后得 或 (3-41) 式（3-41）稱為理想流體微元流束的伯努利方程。方程右邊的常數(shù)對(duì)不同的流線有不同的值。該方程的適用范圍7/19/202268 是：理想不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下作定常流動(dòng)，并沿同一流線（或微元流束）。若1、2為同一條流線

38、（或微元流束）上的任意兩點(diǎn)，則式（3-41）也可寫成 (3-42) 在特殊情況下，絕對(duì)靜止流體V=0，由式(3-41)可以得到靜力學(xué)基本方程 二、方程的物理意義和幾何意義 為了進(jìn)一步理解理想流體微元流束的伯努利方程，現(xiàn)來敘述該方程的物理意義和幾何意義。 1、物理意義 理想流體微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端7/19/202269 前兩項(xiàng)的物理意義，在靜力學(xué)中已有闡述，即第一項(xiàng)z表示單位重量流體所具有的位勢(shì)能；第二項(xiàng)p/(g)表示單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能；第三項(xiàng)V2/(2g)理解如下：由物理學(xué)可知，質(zhì)量為m的物體以速度V運(yùn)動(dòng)時(shí)，所具有的動(dòng)能為Mv2/2，則單位重量流體所具有的動(dòng)能為V2/

39、(2g)即(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以該項(xiàng)的物理意義為單位重量流體具有的動(dòng)能。位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和稱為機(jī)械能。因此，伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，沿同一流線（或微元流束）上各點(diǎn)的單位重量流體所具有的位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和保持不變，即機(jī)械能是一常數(shù)，但位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能三種能量之間可以相互轉(zhuǎn)換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學(xué)中的一種特殊表現(xiàn)形式。7/19/202270 2、幾何意義圖 理想流體微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端前兩項(xiàng)的幾何意義，同樣在靜力學(xué)中已有闡述，即第一項(xiàng)z表示單位重量流體的位置水頭，第二項(xiàng)p

40、/(g)表示單位重量流體的壓強(qiáng)水頭，第三項(xiàng)V2/(2g)與前兩項(xiàng)一樣也具有長(zhǎng)度的量綱。它表示所研究流體由于具有速度V，在無阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和稱為總水頭。由于它們都表示某一高度，所以可用幾何圖形表示它們之間的關(guān)系，如圖3-16所示。 因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，沿同一流線(或微元流束)上各點(diǎn)的單位重量流體所具有的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一常數(shù)。7/19/202271圖 3-16 總水頭線和靜水頭線7/19/202272第六節(jié) 伯努利（Bernoull

41、i）方程的應(yīng)用 理想流體微元流束的伯努利方程，在工程中廣泛應(yīng)用于管道中流體的流速、流量的測(cè)量和計(jì)算，下面以應(yīng)用最廣泛的皮托管和文特里流量計(jì)為例，介紹它們的測(cè)量原理和伯努利方程的應(yīng)用。 一、皮托管 在工程實(shí)際中，常常需要來測(cè)量某管道中流體流速的大小，然后求出管道的平均流速，從而得到管道中的流量，要測(cè)量管道中流體的速度，可采用皮托管來進(jìn)行，其測(cè)量原理如圖3-17所示。 在液體管道的某一截面處裝有一個(gè)測(cè)壓管和一根兩端7/19/202273VBAZZ圖 3-17 皮托管測(cè)速原理7/19/202274 開口彎成直角的玻璃管（稱為測(cè)速管）。將測(cè)速管（又稱皮托管）的一端正對(duì)著來流方向，另一端垂直向上，這時(shí)測(cè)

42、速管中上升的液柱比測(cè)壓管內(nèi)的液柱高h(yuǎn)。這是由于當(dāng)液流流到測(cè)速管入口前的A點(diǎn)處，液流受到阻擋，流速變?yōu)榱?，則在測(cè)速管入口形成一個(gè)駐點(diǎn)A。駐點(diǎn)A的壓強(qiáng)PA稱為全壓，在入口前同一水平流線未受擾動(dòng)處（例如B點(diǎn)）的液體壓強(qiáng)為 PB，速度為V。應(yīng)用伯努利方程于同一流線上的、兩點(diǎn)，則有 則 (3-43) 7/19/202275 式（3-43）表明，只要測(cè)量出流體的運(yùn)動(dòng)全壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動(dòng)速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對(duì)流動(dòng)的干擾，實(shí)際流速比用式(3-43)計(jì)算出的要小，因此，實(shí)際流速為 (3-44) 式中 流速修正系數(shù)，一般由實(shí)驗(yàn)確定， =0.97。 如果測(cè)定氣體的流速，則無法

43、直接用皮托管和靜壓管測(cè)量出氣柱差來，必須把兩根管子連接到一個(gè)形差壓計(jì)上，從差壓計(jì)上的液面差來求得流速，如圖3-18所示，則 用式(3-43)，則得 （3-45）7/19/202276圖 3-18 用皮托管和靜壓管測(cè)量氣體流速7/19/202277 考慮到實(shí)際情況， (3-45a) 在工程應(yīng)用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱為皮托靜壓管，又稱動(dòng)壓管，習(xí)慣上常簡(jiǎn)稱它為皮托管，其示意圖如圖3-19所示。圖中1點(diǎn)為總壓測(cè)點(diǎn)，2點(diǎn)為靜壓測(cè)點(diǎn)，將總靜壓孔的通路分別連接于差壓計(jì)的兩端，則差壓計(jì)的指示為總壓和靜壓的差值，從而可由式(3-43)求得測(cè)點(diǎn)的流速。皮托-靜壓管的構(gòu)造尺寸及使用時(shí)的連接方式如圖3-2

44、0所示。7/19/202278圖 3-19 皮托-靜壓管7/19/202279圖 3-20 皮托-靜壓管構(gòu)造及連接方式7/19/202280 二、文特里(Venturi)流量計(jì) 文特里流量計(jì)主要用于管道中流體的流量測(cè)量，主要是由收縮段、喉部和擴(kuò)散段三部分組成，如圖3-21所示。它是利用收縮段，造成一定的壓強(qiáng)差，在收縮段前和喉部用形管差壓計(jì)測(cè)量出壓強(qiáng)差，從而求出管道中流體的體積流量。 以文特里管的水平軸線所在水平面作為基準(zhǔn)面。列截面1-1，2-2的伯努利方程 (3-46) 由一維流動(dòng)連續(xù)性方程 (3-47)7/19/202281圖 3-21 文特里流量計(jì)原理圖7/19/202282 將式(3-4

45、7)代入到式(3-46)，整理得 (3-48) 由流體靜力學(xué) (3-49) 將式(3-49)代入到式(3-48)，則 (3-50) 式(3-50)表明，若液， ，A2，A1已知，只要測(cè)量出h液，就可以確定流體的速度。流量為： (3-51)7/19/202283 考慮到實(shí)際情況 (3-52) 式中Cd為流量系數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定。 文特里流量計(jì)是節(jié)流裝置中的一種，除此之外還有孔板，噴嘴等，其基本原理與文特里流量計(jì)基本相同，不再敘述。 三、伯努利方程應(yīng)用時(shí)特別注意的幾個(gè)問題 伯努利方程是流體力學(xué)的基本方程之一，與連續(xù)性方程和流體靜力學(xué)方程聯(lián)立，可以全面地解決一維流動(dòng)的流速(或流量)和壓強(qiáng)的計(jì)算問題，用

46、這些方程求解一維流動(dòng)問題時(shí)，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)： (1) 弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡(jiǎn)單的流7/19/202284 動(dòng)問題，還是既有流動(dòng)問題又有流體靜力學(xué)問題。 (2) 選好有效截面，選擇合適的有效截面，應(yīng)包括問題中所求的參數(shù)，同時(shí)使已知參數(shù)盡可能多。通常對(duì)于從大容器流出，流入大氣或者從一個(gè)大容器流入另一個(gè)大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因?yàn)樵撚行Ы孛娴膲簭?qiáng)為大氣壓強(qiáng)，對(duì)于大容器自由液面，速度可以視為零來處理。 (3) 選好基準(zhǔn)面，基準(zhǔn)面原則上可以選在任何位置，但選擇得當(dāng)，可使解題大大簡(jiǎn)化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準(zhǔn)面必須選為水平面。 (

47、4) 求解流量時(shí)，一般要結(jié)合一維流動(dòng)的連續(xù)性方程求解。伯努利方程的p1和p2應(yīng)為同一度量單位，同為絕對(duì)壓強(qiáng)或者同為相對(duì)壓強(qiáng)，p1和p2的問題與靜力學(xué)中的處理完7/19/202285 全相同。 (5) 有效截面上的參數(shù)，如速度、位置高度和壓強(qiáng)應(yīng)為同一點(diǎn)的，絕對(duì)不許在式中取有效截面上點(diǎn)的壓強(qiáng)，又取同一有效截面上另一點(diǎn)的速度。 【例3-7】 有一貯水裝置如圖3-22所示，貯水池足夠大，當(dāng)閥門關(guān)閉時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)為2.8個(gè)大氣壓強(qiáng)。而當(dāng)將閥門全開，水從管中流出時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)是0.6個(gè)大氣壓強(qiáng)，試求當(dāng)水管直徑d=12cm時(shí)，通過出口的體積流量(不計(jì)流動(dòng)損失)。 【解】 當(dāng)閥門全開時(shí)列1-l、2-2截面的伯

48、努利方程 當(dāng)閥門關(guān)閉時(shí)，根據(jù)壓強(qiáng)計(jì)的讀數(shù)，應(yīng)用流體靜力學(xué)基本7/19/202286 方程求出值 則 代入到上式 （m/s） 所以管內(nèi)流量 （m3/s）7/19/202287圖 3-227/19/202288 【例3-8】 水流通過如圖3-23所示管路流入大氣，已知：形測(cè)壓管中水銀柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計(jì)管中水頭損失，試求管中流量qv。 【解】 首先計(jì)算1-1斷面管路中心的壓強(qiáng)。因?yàn)锳-B為等壓面，列等壓面方程得： 則 (mH2O) 列1-1和2-2斷面的伯努利方程7/19/202289 由連續(xù)性方程： 將已知數(shù)據(jù)代入上

49、式，得 （m/s） 管中流量 （m3/s）7/19/202290圖 3-237/19/202291第七節(jié) 定常流動(dòng)的動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程 在許多工程實(shí)際問題中，可以不必考慮流體內(nèi)部的詳細(xì)流動(dòng)過程，而只需求解流體邊界上流體與固體的相互作用，這時(shí)常常應(yīng)用動(dòng)量定理直接求解顯得十分方便。例如求彎管中流動(dòng)的流體對(duì)彎管的作用力，以及計(jì)算射流沖擊力等。由于不需要了解流體內(nèi)部的流動(dòng)型式，所以不論對(duì)理想流體還是實(shí)際流體，可壓縮流體還是不可壓縮流體，動(dòng)量定理都能適用。 一、定常流動(dòng)的動(dòng)量方程 將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理應(yīng)用于流體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，可以導(dǎo)出流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量方程。根據(jù)動(dòng)量定理，流體系統(tǒng)動(dòng)量的時(shí)7/19/202292 間

50、變化率等于作用在系統(tǒng)上的外力矢量和，即 設(shè)不可壓縮流體在管中作定常流動(dòng)，如圖3-24所示。取有效截面1-1和2-2之間的流段作為研究對(duì)象，兩截面上的平均流速分別和，流段在質(zhì)量力、兩截面上的壓強(qiáng)和管壁的作用力的作用下，經(jīng)過dt時(shí)間后從位置1-2流到1-2。與此同時(shí)，流段的動(dòng)量發(fā)生了變化，其變化等于流段在1-2和1-2位置時(shí)的動(dòng)量之差。由于定常流動(dòng)中流管內(nèi)各空間點(diǎn)的流速不隨時(shí)間變化，因此1-2這部分流體（圖中陰影部分）的動(dòng)量沒有改變。于是在dt時(shí)間內(nèi)流段的動(dòng)量變化就等于2- 2段的動(dòng)量和1- 1段的動(dòng)量之差。 (3-53)7/19/202293圖 3-24 推導(dǎo)動(dòng)量方程用圖7/19/202294

51、由于按平均流速計(jì)算得到的動(dòng)量變化量和以實(shí)際流速計(jì)算的動(dòng)量變化量是不同的，故引入一個(gè)動(dòng)量修正系數(shù)加以修正。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定值約為1.021.05，近似于l，所以為計(jì)算方便，在工程計(jì)算中通常取 1。于是上式可改寫成 (3-54) 根據(jù)不可壓流體一維流動(dòng)總流的連續(xù)性方程，流過截面1-1的流量和流過截面2-2的流量相等，即 或 （3-55） 方程(3-55)就是不可壓縮流體定常流動(dòng)的動(dòng)量方程 7/19/202295 把上式寫成分量形式為 (3-56) 管流的定常動(dòng)量方程常用于求解作用在管道上的動(dòng)水反力等問題。由式(3-56)可知，在定常流動(dòng)中，可以有某一段流體進(jìn)、出口的流速變化，而不需要知道這一流段的內(nèi)部

52、情況，就可以求出流體所受外力的合力，即管壁對(duì)流體的作用力，從而求出流體對(duì)管壁的作用力。由于動(dòng)量方程是一個(gè)矢量方程，所以應(yīng)用投影方程比較方便。應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意，適當(dāng)?shù)剡x擇控制面，完整地表達(dá)出控制體和控制面上的外力，并注意流動(dòng)方向和投影的正負(fù)等。7/19/202296 二、動(dòng)量方程應(yīng)用舉例 【例3-9】 水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等直徑管相連接處的斷面1-1上壓力表讀數(shù)p1=17.6104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直徑d1=300，d2=200，轉(zhuǎn)角=600，如圖3-25所示。求水對(duì)彎管作用力F的大小 【解】 水流經(jīng)彎管，動(dòng)量發(fā)生變化，必然產(chǎn)生作用力F。而F與管壁對(duì)水的

53、反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，將R分解成Rx和Ry兩個(gè)分力。 取管道進(jìn)、出兩個(gè)截面和管內(nèi)壁為控制面，如圖所示，坐標(biāo)按圖示方向設(shè)置。 1.根據(jù)連續(xù)性方程可求得： 7/19/202297圖 3-257/19/202298 (m/s) (m/s) 2.列管道進(jìn)、出口的伯努利方程 則得： (Pa)7/19/202299 3.所取控制體受力分析 進(jìn)、出口控制面上得總壓力： （kN） （kN） 壁面對(duì)控制體內(nèi)水的反力Rx、Ry，其方向先假定如圖(3-25)所示。 4.寫出動(dòng)量方程 選定坐標(biāo)系后，凡是作用力（包括其分力）與坐標(biāo)軸方向一致的，在方程中取正值；反之，為負(fù)值。 沿x軸方向 7/19/2022100 則 （kN） 沿y軸方向 （kN） 管壁對(duì)水的反作用力 (kN) 水流對(duì)彎管的作用力F與R大小相等，方向相反。 三、定常流動(dòng)的動(dòng)量矩方程 應(yīng)用動(dòng)量方程可以確定液流與邊界之間總作用力的大小和方向，但不能給出作用力的位置。如要確定其位置，7/19/202