3.1.1 兩角和與差的余弦5

1、蘇教版高中數(shù)學必修4 3.1.1 兩角和與差的余弦 教案 6/63.1.1 兩角和與差的余弦江蘇豐縣華山中學 劉國良【教學目標】1.知識目標：理解兩角和與差的余弦公式的推導過程，熟記兩角和與差的余弦公式，運用兩角和與差的余弦公式，解決相關數(shù)學問題。2能力目標：培養(yǎng)學生嚴密而準確的數(shù)學表達能力；培養(yǎng)學生逆向思維和發(fā)散思維能力；培養(yǎng)學生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學習能力。3.情感目標：通過觀察、對比體會數(shù)學的對稱美和諧美，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學表達和思考的能力，學會從已有知識出發(fā)主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度。 【高考等級要求】 C級【教學重點與難點】教學重點：兩角和與差的余弦公

2、式的理解與靈活運用。教學難點：兩角和與差的余弦公式的推導過程，特別是一般性的推廣?！窘虒W方法與教學手段】 問題教學法、合作學習法，多媒體課件【教學過程】一、創(chuàng)設情境、自主先學問題1：前面學習了三角函數(shù)，能否用的三角函數(shù)和的三角函數(shù)來表示.問題2：不用計算器，求的值，能否寫成兩個特殊角的和或差的形式? 問題3：成立嗎? 問題4：能否用的三角函數(shù)來表示? 設計意圖: 通過創(chuàng)設問題情境，自然流暢地提出問題，揭示課題，引發(fā)學生思考,使學生目標明確、迅速進入角色。二、動手操作、實例驗證(1)向量的數(shù)量積 則 （2）單位圓上的點的坐標表示試在直角坐標系中畫出終點在單位圓上的向量，并求出它們的兩種形式的數(shù)量

3、積？由圖可知：( ) , ( )則 問題5： 問題6：由出發(fā)，你能推廣到對任意的兩個角都成立嗎圖1yxP(cos,sin)Q(cos,sin)OP0設計意圖:通過動手操作、實例驗證，復習回顧使學生熟悉基礎知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點的坐標，讓學生通過特殊值在轉(zhuǎn)化到一般情況，符合學生的認知律.三、小組合作、建構(gòu)概念 問題7 ： （一）兩角差的余弦公式設角的終邊與單位圓的交點坐標為P(cos,sin)，角的終邊與單位圓的交點坐標為Q(cos,sin)(見圖1) 記 =(cos,sin)，=(cos,sin),則=|cos(-)=cos(-)；又應用向量數(shù)量積的坐標表示公式，=cos cos

4、+ sin sin，所以cos(-)=cos cos+ sin sin 當點在直線上或上方時角與角終邊相同，當點在直線下方時角與角終邊相同，綜上所述， ，對于任意的角都成立。設計意圖: 通過動態(tài)演示，給學生以直觀感受。兩角和余弦公式的證明中存在困難：三角函數(shù)表示單位圓上點的坐標，它雖然簡單，但學生由于陌生而很不習慣，通過前面習環(huán)節(jié)應該有所熟悉。學完之后，要強調(diào)其中兩角均為任意角.問題8：根據(jù)兩角差的余弦公式，你可以猜猜提示：令 （二）兩角和的余弦公式（學生回答） 設計意圖: 這樣一來，兩角和的余弦只是兩角差的余弦的特殊形式結(jié)論： 注： 1、公式中兩邊的符號正好相反（一正一負）2、式子右邊同名三

5、角函數(shù)相乘再加減，且余弦在前正弦在后.可簡記為：余余正正，符號相反， abab 同名之積相加減，運算符號左右反。正因為、的任意性，所以賦予C(+)公式的強大生命力設計意圖: 讓學生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序、角的順序關系，培養(yǎng)學生的觀察能力，并通過觀察體會公式的對稱美. 小結(jié)以12字口訣概括兩角和與差的三角函數(shù)關系式，既體現(xiàn)了公式的本質(zhì)特征，又朗朗上口，便于記憶，有助于學生對本節(jié)課的內(nèi)容更好地掌握.四、交流展示，小組活動 公式應用闖關第一關：小試身手請用特殊角分別代替公式中、，你能求哪些非特殊角的值呢？（選擇的特殊角可以是306045等） (1) ；(2) ；(3)

6、；問題預測：學生動筆自由嘗試、主動探索。有的同學說會求cos15、cos75、cos105、cos(-15)、cos165的值。甚至可能有的同學會說他驗證了cos30=sin60.（讓同學感受獲得公式后的第一份喜悅）由于初學公式的應用，我選擇其中之一作示范。第二關：再接再厲 若固定，分別用 代替，你將會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？ 設計意圖：引導同學發(fā)現(xiàn)余弦的誘導公式可用C()公式得到證明：初步讓學生發(fā)現(xiàn)C()公式是誘導公式的推廣。（從而讓同學感受獲得公式后的第二份喜悅）第三關：各顯神通 倘若讓你對C()公式中的、自由賦值，你又將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？ (1)；(2) (3)(4)問題預測：可能有的同學發(fā)現(xiàn)co

7、s2=cos(+)=cos2-sin2，這是以后要學的二倍角公式，還有的同學發(fā)現(xiàn)： cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin，甚至有調(diào)皮的同學發(fā)現(xiàn)cos0=cos(-)=cos2+sin2=1，這就無意中證明了平方關系， （據(jù)此，讓同學感受到C()公式的強大功能）。（必要時，教師可適當提示）。注：按課本編排未必能讓同學注意公式中,的任意性，（而正是因、的任意性，所以才賦予C(+)公式的強大生命力）。于是我設計上述三個有層次的A ,B,C級的問題，留時間先讓同學用特殊角自由賦值，逐漸摸索、嘗試，不斷總結(jié)、歸納。這樣更能使同學親自感受公式的強大功能，并掌握賦值法。五、質(zhì)疑拓展

8、，強化應用例1：化簡解：（1）原式=； （2）原式=；（3）原式=；設計意圖:例1進一步強化公式的應用，有助于學生熟悉公式，加深學生對公式的理解和認識,回饋教學效果.例2：知，求的值。解：由 ，得又由，得 由余弦的和角公式得 注意：注意角、的象限，也就是符號問題.設計意圖:例2的目的在于熟悉公式，同時對同角三角函數(shù)關系、三角函數(shù)在各象限符號的判斷有復習的作用，其難度不是很大，在復習了公式之后，學生應當能夠完成2.變式練習 能力提高 解：由 ，得又由，則得 由余弦得差角公式得 設計意圖：階段概括用公式的方法，感悟在解決問題的過程中，如何合理的使用這幾組公式。當然，公式的熟練使用不是一節(jié)課就可以完

9、成的，需要學生在今后的學習中不斷體會，不斷總結(jié)和概括，進而將誘導公式內(nèi)化到自己的知識結(jié)構(gòu)中去。五、課堂檢測，能力提升化簡:(1)(2)【引申】求函數(shù)的最大、最小值。（課本第8題）六、 學習體會，相互分享 讓學生談談自己在本節(jié)課上的收獲和體會. 提示：（1）公式； （2）運用公式時注意角的范圍、三角函數(shù)值的正負，注意前后知識的聯(lián)系； （3）學完后能解決的問題.設計意圖: 小節(jié)以14字口訣概括兩角和與差的三角函數(shù)關系式，既體現(xiàn)了公式的本質(zhì)特征，朗朗上口，便于記憶，有助于學生對本節(jié)課的內(nèi)容更好地掌握.同名之積相加減，運算符號左右反。八 自主作業(yè) 鞏固訓練中拓展1、閱讀課本，體會兩角和與差余弦公式推導

10、過程中的思想方法；2. 教材第94頁，感受理解第 1， 3 題3. 探究：知道了，你覺得也有類似的規(guī)律嗎？九 板書設計 課題：3.1.1兩角和與差的余弦兩角差的余弦公式 兩角和的余弦公式例題變式練習【教學反思】本節(jié)課主要任務是兩角和的余弦公式的推導和簡單應用。這節(jié)課是本單元的開篇公式，它是后續(xù)公式推導的基礎，地位十分重要。因此我通過創(chuàng)設激發(fā)學生學習欲望的數(shù)學情境，營造積極的活躍的學習氛圍，使學生參與教學中來。下面對兩角和與差的三角函數(shù)教學反思概括如下：1.創(chuàng)設問題情境針對這節(jié)課的課題，從課題分析中提出問題，我鼓勵學生大膽猜想，并驗證。學生學習的積極性得到了充分的調(diào)動，思維活躍。俗話說，擒賊先擒王。兩角和與差的余弦公式就是他們中的“王”！我們從兩角和與差的余弦公式研究起。這樣，才能使本節(jié)知識納入本單元的知識結(jié)構(gòu)中.2.兩角和的余弦公式的探究過程：分成兩部分完成：一是公式的準備工作，有向量的數(shù)量積及其坐標運算。二是公式的推導步驟。在直角坐標系的單位圓中作出角；利用三角函數(shù)定義寫出角的終邊和單位元的交點坐標；利用向量的數(shù)量積