統(tǒng)計學正態(tài)分布、統(tǒng)計量及其抽樣分布

1、第5-6章 統(tǒng)計量及其抽樣分布正態(tài)分布定義:當一個變量受到大量微小的、獨立的隨機因素影響時，這個變量一般 服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布。例如：某個地區(qū)同年齡組兒童的發(fā)育特征：身高、體重、肺活量等 某一條件下產(chǎn)品的質(zhì)量如果隨機變量X的概率密度為一(%從 )2e 20 2 , -g x g則稱x服從正態(tài)分布。X : N(口,o2)p記做，讀作：隨機變量x服從均值為，方差為。2的正態(tài)分布-8 p 0是是隨機變量X正態(tài)密度函數(shù)f(x的一些特點：f (X) 0，即整個概率密度曲線都在x軸的上方。f (X)X = X = p曲線 ,相對于x P對稱，并在處達到最大值, N 2V %oG當 趨于無窮時，曲

2、線以x軸為其漸近線。標準正態(tài)分布N = 0, o = 1當時,-s x gN (0,1)稱為標準正態(tài)分布。(x)標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：(x)標準正態(tài)分布的分布函數(shù)：任何一個正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布X : N(N,5)Z = X -四：N(0,1)設(shè)，則Q變量X ： N3/012)與變量Y : N/Q2)相互獨立，則有X+Y : N(四 十 日 ,o2+02) 1212正態(tài)分布表：可以查的正態(tài)分布的概率值(-x) = 1-(x)X ： N (0,1)例：設(shè)，求以下概率P(X 1.5)P (X2)P(-1 X 3)P(X 2) 解：P(X 2) = 1 P(X 2) =

3、1(2) = 1 0.9773 = 0.0227P (1 X 3) = P (X 3) P (X 1)=(3)(1) =(3) (1(1)= 0.9987 (1 0.8413) = 0.84P(X 2) = P(2 X 2)=(2)(2) =(2) (1(2) = 2 (2) 1 = 0.9545X : ND則有P (a X b)=(b)(a)P ( X a) = 2 (a) 1X : N(53)例設(shè)，求以下概率P (X 10)(1)P(2 X 10)P(2 X 8)(4) 6)(5)P(X 5 9)X : N(5,32) 解：由X 5-:N(0,1)(1)P (X 10) = P (Xl 1

4、0二)=P(X 5 1.67)=L679(t)dt =(1.67) = 0.9522一g2 5 X 5 10 5、P(2 X 10) = P(丁 )X 5=P (-1 1.67)二(1.67)-(一1) = 0.7938(3)P(2 X 8) = P(2一5 = 8-5)=P (-1 1)=2 (1)-1 = 2 x 0.8413 -1 = 0.6826|X 5 6P儼-5| 6) = P(I _) 2)=2 (2) -1 = 2 x 0.9772 -1 = 0.9544P(X -5 9) = P(|X：5 3) 3=2 -1 = 2 x 0.9987 -1 = 0.9974X : N(日,0

5、2) 一般，若，則有P (a X b)=(b-N)-(如 i) o o3 準則若X : N(0,1)，則有P(X 1) = 2(1)-1 = 0.6826P(X 2) = 2(2)-1 = 0.9545P(X 3) = 20(3)-1 = 0.9973即，x的取值幾乎全部集中在一3,3區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能不到03%X : N(N,02)，有至一般正態(tài)總體，即P(X -日 o) = 0.6826P(X N 2o) = 0.9545P(X n 3c) 顯然的概率很小，因此可以認為X的值幾乎一定落在區(qū)(n 3o, N + 3o)間內(nèi)一一統(tǒng)計學的“3。準則”正態(tài)分布函數(shù)的一個重要性質(zhì)X : N(

6、N ,。2) Y N(N 22)設(shè)變量1 1，2, 2 Z )=”(x)dx = a a7aZ =- Za1- a常用的幾個Z分位數(shù)：0.05 0.025Z = -1.64, Z = -1.965.2 由正態(tài)分布導出的幾個重要分布Z 2, t, F 三大分布：分布Z25.2.1 分布1 定 義 ： 設(shè) 隨 機 變 量 X1,X2,L X : N(0,1) (i = 1,2,L , n),Xn相互獨立，則它們的平方和服從自由度為n的 分布。工 X 2 ： Z 2( n) 記做，i2 x 2分布的密度函數(shù)圖形0510圖形特點：(1)x 分布的變量值始終為正。x2分布的形狀取決于其自由度n的大小，通

7、常為不對稱的右偏分布，隨著自由度的增大逐漸趨于對稱。X 2E 2D (Z 2 ) = 2 n分布的期望為E(Z 2) 一 n，方差為(n為自由度)。分布具有可加性。若X與丫是相互獨立的隨機變量，X x2(n1)，Y x2(n2)，則它x2們的和服從于 自由度為n 1 + n 2的 分布，即X + Y x2(n + n )x2x23 分布臨界值表的使用，求得 分布的分位數(shù)x 2ax 2分布臨界值表中給出的是概率為時，a的取值，k是自由度。P (x 2 x 2)=+8 f(x )dx = a則查表可得X 20.05(10)二3%20.95(10)= 18.3075.2.2 t 分布(student

8、 分布)X,Y設(shè)隨機變量互相獨立，X N(0,1),Y x2(n)，則隨機變量自由度為n的t分布0-5t分布概率密度函數(shù)圖特點：關(guān)于y軸對稱，與標準正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像非常相似。厚尾：當|x| T9時，t分布的密度函數(shù)趨于0的速度要比標準正態(tài)分 布密度函數(shù)慢，所以t分布的密度函數(shù)的尾部要比N(,l)密度的尾部厚些。當自由度n無限增大時，t分布將趨近于標準正態(tài)分布。所以，當n很大時，t分布可以用標準正態(tài)分布近似。記乙(n)為分t ( n ) a布 的 分位數(shù)。在實際使用中，當n30就近似有a (n) Z。由于t分布密度曲線的對稱性，可得t (n) = -1 (n)1a例如，若隨機變量T ：

9、t(15)，查表可得，t0.05 O, . 1.7531,t (15) =-t (15) =-1.76531而 0.950.05t (40)=1.6839 t (45)=1.67940.05, 0.05Z = 1.645可見隨著自由度n的增大，分位數(shù)與Z分位數(shù)越來越接近。5.2.3 F分布m設(shè)隨機變量x與r相互獨立且分別服從自由度為n X 2和 的 分布。n第二自由度為的F分布。0123 x 4F分布的概率密度函數(shù)的圖F : F(m, n)設(shè)隨機變量，x/m則隨機變量F = Yjn服從第一自由度為F : F ( m，n )記為F (m, n)F (m, n) aa表示分布的 分位數(shù)，a可以證明

10、1Fa (m，n)=nm1a例如查表得F0.95(8,9)=3.23，F(xiàn) (9,8)= ,1、=1 = 0.31則 0.05F(879) 37230.955.6 小概率原理 指發(fā)生概率很小的隨機事件在一次實驗中幾乎不可能出現(xiàn)。6.1 統(tǒng)計量定義：設(shè)Xi,X2,L ,Xn是從總體X中抽取的容量為的一個樣本， 如果由此樣本構(gòu)造一個不依賴于任何未知參數(shù)的函數(shù) T ( X1 X 2，L，XJ,則稱函數(shù)T ( X i，X 2，L，XJ是一個統(tǒng)計量。特點：由樣本構(gòu)造而得，是樣本的函數(shù)不含任何未知的參數(shù)當獲得樣本的一組具體觀測值 (J 2， ，n ，帶入，計算出1 , 2 , n 的數(shù)值，稱為統(tǒng)計量的值X,

11、 S 2常用的統(tǒng)計量6.2 抽樣分布 抽樣分布：統(tǒng)計量的分布隨機變量XX 1,X2，L ,XX-x , x ,L , xxx , x , L , xXm 1，m2,L，xmnx-m精確分布：可以得到分布的數(shù)學表達式漸近分布：難以得到精確分布時，借助于極限工具，求得抽樣分布的近似分布， 稱為漸近分布。定理1:設(shè)（X1，X2，L，Xn）是取自總體X的一個樣本，記E（X）=n那么 E(s 2)=。o 2D (X )=nn 1E(S2)=。2時，limP(X 曰 8) = 1n fg當n f g時s 2 if。S 2 P-fo 2n定理2：設(shè)IX 1，X 2，L，X）是取自正態(tài)總體N （ ，。2）的一

12、個樣本O 2X : N (曰,)(n 1)s 2 ns 2 - n。2orX - - : N(0,1) 或等價地。/ jn (X X )2i ： X2(n 1)O 2X t s 2 ,.、 與相互獨立推論1：設(shè) X1, X2 ,L , Xn 是取自正態(tài)總體N(口，o2)的一個樣本，那么X Rs/心: t( n1)簡要證明：X RX ： N(R，02尸3 : N(0,1) (n 1)s2:X2(n 1) o 2X Rn o /: t (n 1)!(n 1)s 2/( n-1)獨立(t分布的定義)o 2: t(n 1)推論2(X ,X ,L ,X )N(R ,o2)設(shè) 12 m 是取自正態(tài)總體 1

13、1 的一個樣本，(Y,Y,L ,Y )N(R ,o2)1 2 n 是取自正態(tài)總體 22 的一個樣本，X與丫相互獨立，那么（X -Y）一（修:N（0,1）JO 2O 21 + 2 m nr簡要證明：X : N（日，o2） n X11O 2:N（R ,i） 1 mY : N（日，o2）22O2n Y : N （R ,） 2 nO2 O2X -Y : N（R -R ,+） 12 m n獨立，（X-YAQip ： nQi）JO 2O 21 + 2m nr推論3：(X ,X ,L ,X )N(R ,O2)設(shè) 12 m 是取自正態(tài)總體 1 的一個樣本，(Y,Y ,L ,Y )N(R ,O2)12 n 是取

14、自正態(tài)總體 2 的一個樣本，X與Y相互獨立，那么(大一)一(2): t(m + n 2) 77Tpvm n(m - 1)s 2 + (n - 1)s 2s 2 ,1、2p (m + n 一 2)其中，簡要證明：O 2X : N(從，O2) n X ： N(從，) i1 m丫 ： N(四2,02)n:N(1=)O 2 O 2、X - Y : N (|LX - |U ,+)(m - 1)s 2: X2(m-1)O2(n - 1)s 2: X 2( n -1)O2可加性 O 2(m- 1)S12 + (n-1)s2 : X2(m + n-2)(X - Y)(NJ M2) TOC o 1-5 h z

15、JO 2o 2+ .:t(m + n 一 2)m n(m 一 1)s 2(n _ 1)s 2 HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 1 +2 HYPERLINK l bookmark103 o Current Document O2O2m + n - 2整理得二(X-YH(/)： t(m + n一2)/(m - 1)s2 + (n - 1)s2 /1 + 1 m + n 一 2、m n(m - 1)s 2 + (n - 1)s 21-2(m + n - 2):t (m + n 一 2)(X -Y)-(M1 - M2) r21 2 即 s _ + _ pJ m n推論4：設(shè)(X1, X2,L , Xm )是取自正態(tài)總體N(M1，012)的一個樣本，YY,L ,Y)是取自正態(tài)總體N(M2,o2)的一個樣本,X與Y相互獨立，那么(m-1,n-1)s 2 / O 2 i i : FS 2 / O 222簡要證明：正態(tài) TOC o 1-5 h z X : N(口 ,o2) n (m - 1)s2 : 12(m-1) 11O 21y: N2,o”Esi ： 12( 1)22O 22(m-