線性代數(shù)課件_第六章_線性空間和線性變換——1-

1、線性代數(shù)7/19/20221課件第六章線性空間與線性變換7/19/20222課件7/19/20223課件線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間，進(jìn)而通過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題一、線性空間的定義7/19/20224課件若對(duì)于任一數(shù) 與任一元素 ，總有唯一的一個(gè)元素 與之對(duì)應(yīng)，稱為 與 的積，記作定義 設(shè) 是一個(gè)非空集合， 為實(shí)數(shù)域如果對(duì)于任意兩個(gè)元素 ，總有唯一的一個(gè)元素 與之對(duì)應(yīng)，稱為 與 的和，記作7/19/20225課件如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)

2、算規(guī)律，那么 就稱為數(shù)域 上的向量空間（或線性空間）7/19/20226課件7/19/20227課件2 向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組3 判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間 說(shuō)明1 凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算7/19/20228課件（）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性例 實(shí)數(shù)域上的全體 矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作 線性空間的判定方法7/19/20229課件通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性

3、運(yùn)算規(guī)律7/19/202210課件7/19/202211課件例 正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間7/19/202212課件是一個(gè)線性空間.例 在區(qū)間 上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間一般地7/19/202213課件例 正實(shí)數(shù)的全體，記作 ，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證 對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間（）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律證明所以對(duì)定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉7/19/202214課件下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：7/19/202215課件所以 對(duì)所

4、定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間7/19/202216課件不構(gòu)成線性空間對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例 個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體7/19/202217課件1零元素是唯一的證明假設(shè) 是線性空間V中的兩個(gè)零元素，由于所以則對(duì)任何 ，有二、線性空間的性質(zhì)7/19/202218課件2負(fù)元素是唯一的證明假設(shè) 有兩個(gè)負(fù)元素 與 ，那么則有向量 的負(fù)元素記為7/19/202219課件證明7/19/202220課件4如果 ，則 或 . 證明假設(shè)那么又同理可證：若 則有7/19/202221課件三、線性空間的子空間定義2設(shè) 是一個(gè)線性空間， 是 的一個(gè)非空子集，如果 對(duì)于 中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱 為 的子空間定理線性空間 的非空子集 構(gòu)成子空間的充分必要條件是： 對(duì)于 中的線性運(yùn)算封閉7/19/202222課件解(1)不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)例8有7/19/202223課件即 對(duì)矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對(duì)任意有于是7/19/202224課件滿足且7/19/202225課件線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.線性空間是一個(gè)集合對(duì)所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運(yùn)算四、小結(jié)線性空間是二維、三維