矩陣對角化、若當標準型

1、第三章 矩陣的對角化、若當標準型 矩陣對角化線性變換在基下的矩陣若為對角陣，則向量在基下的表示將非常簡單，而線性變換在兩個基下的矩陣相似， 故線性變換在基下矩陣為對角陣問題即為矩陣對角化問題。一、特征值、特征向量性質(zhì)定義1設A Cnn,稱A的全體特征值為A的譜。下面定理1 是顯然的。定理 1 相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的譜。由于矩陣A 的不同特征值對應的特征子空間的和是直和，故有下面定理2。定理2設A Cn n ,則A的不同特征值對應的特征向量線性無關。定義2設A Cn n, i為A的特征值，稱A的特征多項式中i的重根數(shù)mi為的代數(shù)重復度，稱特征子空間 V i 的維數(shù) i 為 i

2、的幾何重復度。由定義2即知A的特征值i的幾何重復度i為A對應于特征值i的線性無關 特征向量的個數(shù)。定理3設A Cnn, i為A的特征值，i為i的幾何重復度，則i n rank( i I n A)證明 特征子空間 V x|Ax ix,x Cn ，所以i dimV dim N( i I n A)n dim R( i I n A)n rank( i I n A)123例 1 求 A 3 2 3 的譜，及相異特征值的代數(shù)重復度和幾何重復度。001 TOC o 1-5 h z 123解 det( I A) 323001所以A的譜為1(1)2(4)1, 1, 2 4, 1, 2的代數(shù)重復度分別為m1 2,

3、m2 11的幾何重復度 1 3 rank（I A）2233 rank 33310002的幾何重復度23 rank( 2IA)33 rank 30定理4設A Cnni為A的特征值,mi為i的代數(shù)重復度，i為i的幾何重復度，則im證明因為i為i的幾何重復度，所以A對應于i有i個線性無關的特征向量1, 2,L , i是特征子空間Vi的基，將1, 2,L , i擴充為Cn的基1 , 2,L , i , i 1,L n設 P 1 2L i i 1L n,則AP A 1 2Li i 1L ni 1 i 2L i iA i 1,L A n I *i I5 * i1 2L 1L nO12 i i 1 n11

4、iOPBi * i其中 C(n i)(n i), BO ；。I .I iO I所以夕1陣A與B相似，故特征多項式det( In A) det( In B)(i)idet( In i )又因為det( In A) ( i)n f()所以i ma二、矩陣的對角化定義3設A Cn n ,若A與對角陣相似，則稱A可對角化，可對角化的矩陣 稱為單純矩陣。定理5設A Cn n ,則A為單純矩陣的充分必要條件是 A的任一特征值的代 數(shù)重復度等于幾何重復度。證明 設1, 2,L ,為A的全部相異特征值，mi為i的代數(shù)重復度，i為i的幾何重復度，i 1,2,L , o充分性 因為 e n , i mi,所以A有

5、n個線性無關的特征向量i 1P1, p2,L , p11, Pi2, p2,L , p22,L , P1 , P2 ,L , p其中p1,p2,L ,pii為i對應的特征向量，i 1,2,L , o 設111222P R, p2,L , p 1, p1，p2,L , p 2,L , R , p2 ,L , p 則AP Pdiag 1,L , 1, 2,L , 2,L , ,L ,A Pdiag 1,L , 1, 2,L , 2,L , ,L , P必要性 設A與diag 1, 2,L , n相似，則1, 2,L , n是A的特征值，不妨 設1A Pdiag141,L2 4,3 1 , 142,

6、L2 ,432 ,L , 14,L2 ,43 P m1m2m則A關于特征值i至少有mi個線性無關的特征向量，即i mi,又由定理4:imi ，故得i mi ， i 1,2, L , 。由定理 5 的證明顯然有下面的結(jié)論。推論1設A Cn n,則A為單純矩陣的充分必要條件是 A有n個線性無關的 特征向量。推論2設A Cnn,若A有n個不同的特征值，則A為單純矩陣。三、正規(guī)陣及其對角化定義4設A Cnn（Rnn）,如果AHA AAH ,則稱A為復（實）正規(guī)陣。顯然埃爾米特矩陣（對稱陣） 、反埃爾米特矩陣（反對稱陣）和酉矩陣（正 交陣）都是復（實）正規(guī)陣。定義 5 設 A,B Cnn（Rnn）,若

7、U Unn（Enn）,使得HTA UBU H （ A UBU T ）則稱 A, B 酉（正交）相似。引理1 （司楚爾（Schur）引理）設A Cnn,則U Unn,使彳# A URU H ,其中 R 是上三角陣，且R 的對角線為A 的特征值。證明 用歸納法 當 n 1 時， 命題顯然。 假設 n m 時命題成立， 要證 n m 1 時命題也成立。設A C（m1）（m1）, 1為A的特征值，Ui為其對應的特征向量，且|Ui| 1。將u1 擴充為 Cm 1 的標準正交基U1, U2,L ,Um 1記 Ui U1U2LUm1,則U1HAU1H u1H u2MHum 1Au1 Au2 LAum 1A1

8、因為AiCm m,故由假設ViUmm,使得AViRViH,其中Ri為上三角陣。所U1HAU1ViRiViHiOiBViiOOViORiOViH所以UiOViiBViORiViHUiHBViRiiO記 U Ui, Ri O ViU (m i) (m i) ，且 A URU H其中 R 為上三角陣。因為A與R酉相似，故A與R有相同的特征值，所以R的對角線元素為A的 特征值。推論3設A Cnn,則U Un n,使得A URUH ,其中R是下三角陣，且R 的對角線為 A 的特征值。定理6設A Cnn,則A為正規(guī)陣的充分必要條件是U Unn,使得A U UH,其中 diag i, 2,L , n , i

9、, 2,L , 0是人的特征值。證明 必要性 由司楚爾引理U U n n ，使得LrinLr2nOMLrnnHA URU Hriiri2且 R 的對角線為A 的特征值i, 2 ,L因為HHH HH HAA URU UR U URR UAHAA AHUR UHURU HURHRUH所以RRHRH R ,即r11r12Lr1n不 0L00r22Lr2nr12r22L0M M OMM MOM00 Lrnnr1nr2nLrnn幣 0L 0jr12Lr1nr12r22L 00r22Lr2nM MO MM MOMr1nr2nlrnn00Lrnn比較此式兩端即得R diag 1, 2,L , n。充分性A

10、U U H ,故AH A AAH o推論4正規(guī)陣是單純矩陣。推論5正規(guī)陣的屬于不同特征值的特征子空間正交。證明 由定理6知A酉相似對角陣，故A的不同特征值的特征子空間基底正 交，故得證。推論6設A為正規(guī)陣，其特征值為1, 2,L , n ,則AH的特征值為1 , 2, L , n o證明因為A為正規(guī)陣，所以 U Unn,使得A Udiag 1, 2,L , nUH所以AH Udiag2,L ,一nUH即AH的特征值為2,L ,一n。推論7設A為正規(guī)陣，則A為Hermite矩陣的充分必要條件是 A的特征值都 是實數(shù)。證明 由推論6,若A AH ,則A的特征值為實數(shù)。反之若 A的特征值為實數(shù)，則A

11、 AH o推論8設A為正規(guī)陣，則A為酉矩 陣的充分必要條件是 A的特征值I (A)| 1。證明因為A為正規(guī)陣，所以 U Unn,使得H A Udiag 1, 2,L , nU若 AAH I ,則 i1 1 ,即| i | 1 , i 1,2,L ,n0反之，若 I i I 1 , i 1,2,L ,n,則 AAh I on階正規(guī)陣A酉相似于對角陣，求酉矩陣U Unn,使得 HU AU diag 1, 2,L , n的方法與線性代數(shù)中實對稱陣對角化方法相似，介紹如下。(1)求出A的相異特征值1, 2,L ,(2)對A的每個相異特征值i求出其對應的特征子空間的基底P1i, p2,L , pii (

12、即方程(J A)x 0 的基礎解系)，i 1,2,L ,。(3)將p1,p2,L ,pii化為i對應的特征子空間標準正交基1, 2,L , ii (用施密特正交化，然后單位化)，i 1,2,L ,(4)取U 1 2L 1 12 ；L 2 L 1 2 L ，則 12HU AU diag 1,L , 1, 2,L , 2,L , ,L ,埃爾米特二次型埃爾米特矩陣是實對稱陣的推廣，而一個實對稱陣對應著一個實二次型，相 應的我們討論復(埃爾米特)二次型，這在力學及其它一些工程中有重要的應用。一、埃爾米特矩陣定理1設A AH Cnn,則(1) A酉相似于對角線上都是 A的特征值的對角陣，且 A的特征值

13、都是實 數(shù)。(2)若rankA r ,則A與矩陣Ir P 合同O(稱p為A的正慣性指數(shù)，r p為A的負慣性指數(shù))。證明(1)由本章 1定理6及推論7即得。(2)因為A為正規(guī)陣，所以 U Unn,使得A Udiag 1, 2,L , nUH不妨設1, 2,L , r0 ,其中 1, 2,L ,0,p 2,Lr 0,則A UdiagnUH其中對角陣NiNiN2IrN2N1 =N2 =J|T|N1N2VH由上述證明可得出埃爾米特矩陣A的正、負慣性指數(shù)即為A的正、負特征值的個數(shù)，從而A的慣性指數(shù)唯一確定，是合同變換下的不變量。定理2設A Cnn,則A為Hermite矩陣的充分必要條件是x Cn,xHA

14、x為證明 必要性 因為xH Ax是數(shù)且A為Hermite矩陣，所以xH Ax (xHAx)H xH Ax故xHAx為實數(shù)。充分性 因為xH Ax為實數(shù)，故xH Ax xH AHx ,即xH(A AH )x 0。設B A AH (bsj)，則 xHBx 0O(1)取 x0L 00L0T ,則 xHBx 3 0, t 1,2,L,n。(2)取 x0L 010L010L 0T,則xHBxbss bsi bis b.0,由(1)知sjss sj js jjbsj bjs 0。(3)取x 0L 010L 0i0L 0T ( i), MxHBx bss % 味 bj 0,所以 bsj bjs 0 ,由(2

15、)得 bsj bjs 0 ,即 B 。，故 A AH。二、埃爾米特二次型定義1設x x1x2 L xnT cn ,稱n元二次齊次函數(shù)n nf (x) f(X,x2,L , xn)ajxji 1 j 1為埃爾米特二次型或復二次型，其中aj aji C , i 1,2,L , n, j 1,2,L , n。&1a12LWn若記 Aa21a22L，則 AAHCnn,且埃爾米特二次型an1an2annf(x)Hx Cy ,貝U f (x) x AxxHAx。由定理2知埃爾米特二次型xH Ax是實數(shù)，如果作可逆線性變換yH(CHAC)y,而B CH AC也是埃爾米特矩陣，這樣,f(x)就化為關于y的埃爾

16、米特二次型，即f(x) yHBy。定理3對埃爾米特二次型f(x) xHAx , x Cn ,存在酉變換x Uy ,使得f(x)為標準型，即f(x) xHAx1 |y1 |2 2 1y2 |2 L n|yn|2其中y yyzL ynT Cn, 1, 2,l , n是a的特征值且為實數(shù)。證明因為A為埃爾米特矩陣，所以由定理1的(1)U UHU H AU diag 1 , 2,L , n且 1, 2,L , n 為實數(shù)。令 x Uy ，則 TOC o 1-5 h z HHHf(x) yHU HAUy yH diag 1, 2,L , ny2221|y1 |22|y2|2 L n|yn|2定理4設ra

17、nkA r, A的正慣性指數(shù)為p ,則存在可逆線性變換x Cy ,使得埃爾米特二次型f(x) xH Ax(xCn )為規(guī)范標準型，即222222r /II |4II |4I|4I|4II|4f(x)|y1|y2 |L| yp|yp1 |yp2| L| yr|證明 由定理 1 的( 2)易得。定 義 2 設 埃 爾 米 特 二 次 型 f (x) xH Ax ， 如 果 x Cn ， x 0 ， 均 有f(x) xHAx 0( 0),則稱此二次型為正定的(半正定的)，且稱A為正定陣(半 正定陣) 。定理5 設 AAHCn n ，則 A 正定充分必要條件是A 與正線對角陣合同，即存在可逆陣P Cn

18、 n ，使得 PHAP diagd1,d2,L ,dn ，其中d1,d2,L ,dn 0 。證明充分性令 xPy ，則埃爾米特二次型HHHf(x) xHAx yH (PHAP)yHy diag d1, d2,L ,dny222d1 |y1|2d2|y2|2 Ldn|yn|2故x 0,由P的可逆性得f(x) 0,從而A正定。必要性 由定理 1 P U n n ，使得HPH AP diag d1 ,d2,L ,dn令 x Py ，則HHHf(x) y P APy y diag d1, d2,L ,dny222dllyild2 1y2| L dn|yn|因為x 0, f(x) 0,由P的可逆性即得

19、y 0, f(x) 0,故di,d2,L ,dn 0推論1設A AH Cn n ,若B與A合同，則B與A的正定性相同。證明 因為B與A合同，故B也是埃爾米特矩陣，若 A正定，則A與正線對 角陣合同，故B也與正線對角陣合同，所以B正定，反之若B正定，同理A正定。推論2設A AH Cn n ,則下列命題等價：(D(3)A正定；A的特征值都是正實數(shù);A與單位陣合同；(4)對任意可逆陣Q Cn n ,均有QHAQ正定。證明(2)由定理3的證明易得。由定理5顯然。因為QHAQ與A合同，由推論1得證。定理AH(aj)Cnn,則A正定充分必要條件是A的順序主子式都0,aiia21a12a22a!1a12La

20、ina21a22La2nMMOMan1an2LannL0證明必要性Akaiia21Ma12a22Mak2LLOLana2akk其中 0 tk xL xjCktk0H Af (x) x AxtkH0AkB1HB2tk0tHAtk0所以Ak正定，設i(k)2(k),L1k)為Ak的特征值，則lAkl(k)叫 (k)12 L k 0 ,k 1,2,L ,n,故A的順序主子式都大于零充分性 命題也成立用歸納法當n 1時命題顯然。假設n m時命題成立，下證n m 1AmBHBam 1 m 1C(m 1) (m 1)其中正定陣AmAHCmm ,取Q1H AQ1ImB1HAm1OAm1B1HB1am 1m

21、1ImO1Am1B1An0 am 1m 1OBiH An1Bi因為 |A| 0,|Aml 0,由上式可得 am 1m 1 EH Am1 B1dm 10o由Am正定知Am與正線對角陣合同，即存在可逆陣 Q2 Cmm,使得H.Am Q2 diagd1,d2,LHQ2Q2 ,d1, d2, L , dm故Q1H AQ1AmOO dm1HQ2 OO Q2 OO 10 dmi O 1所以A與正線對角陣diagd1,d2,L ,dm,dm 1合同，故A正定。例1判斷埃爾米特二次型f(x1,x2) x1X1 ix1X2 iX1x2 2x2X2是否正定。一一. 1 i解 闞1 1, a12 i , a21i,

22、 a22 2 ,所以A . 2 ，由于A的順序王子式|a11 | 0 , |A| 0,故f正定。對半正定埃爾米特二次型有類似結(jié)論。定理7設A AH Cnn,則A半正定充分必要條件是A與非負實線對角陣合同，即存在可逆陣 P Cnn,使得 PHAP diagd1,d2,L &,其中 d1,d2,L & 0推論3設A AHCn n ,則下列命題等價:A 半正定；A 的特征值都是非負實數(shù)；A 與 r 陣合同， r rankA ； OO意可逆陣Q Cn n ，均有 QHAQ 半正定。定理8設A AH （a。）Cnn,則A半正定充分必要條件是A所有主子式都 非負（A的k階主子式為任取A的k行與對應的k列而

23、構成的k階子式）。三、同時對角化在力學系統(tǒng)小振動等一些工程問題中， 我們需要將兩個埃爾米特二次型作相同的線性變換， 同時化為標準型， 即將兩個埃爾米特矩陣同時對角化， 這也是廣 義特征值問題。定義3設A,B Cnn都是埃爾米特矩陣且B正定，如果 C,0 x Cn,使 得Ax Bx則稱 為A的相對于B的廣義特征值，稱x為對應于廣義特征值的廣義特征向量。由上述定義可以看出為 A 的相對于B 的廣義特征值充分必要條件是 為廣義特征方程| B A| 0 的根， 對應于廣義特征值 的廣義特征向量x 即為線性方程組 （ B A）x 0 的非零解。顯然由于 B 正定，則| B A| |B | I B 1A|

24、 ，故 | B A| 0 當且僅當| I B 1A| 0 ，所以此時A 相對于 B 的廣義特征值即為 B 1 A 的特征值。定理9設A,B Cn n都是埃爾米特矩陣且B正定，則A相對于B的廣義特征值1, 2,L , n都是實數(shù)。證明 因為B正定，故由推論2存在可逆陣Q Cnn,使得QHBQ I ,所以B A| |Q H | I QHAQ |Q 1 |所以B A| 0| I QHAQ | 0故 為QHAQ的特征值。因為QHAQ是埃爾米特矩陣，由定理1得 為實數(shù)。定理10設A,B Cnn都是埃爾米特矩陣且B正定，則存在可逆陣V Cnn,使得HV AV diag( 1, 2,L , n)VHBV I

25、其中1, 2,L , n為A相對于B的廣義特征值。證明 因為B正定，故由推論2存在可逆陣Q Cnn,使得QHBQ I。由定理9的證明知1, 2,L , n為QHAQ的特征值，故U Unn,使得H _ H _U (Q AQ)U diag( 1, 2,L , n)取V QU ,則VH AV UHQHAQUdiag( 1, 2,L , n)而VHBV U HQH BQUHU IU I推論4設f(x) xH Ax是n階埃爾米特二次型，g(x) xHBx是n階正定埃爾米特二次型，則存在可逆線性變換x Vy ,使得-222f(x) 1|y1|21y2| L n|yn|222g(x) |y1|y2| L|y

26、n|其中1, 2,L , n為A相對于B的廣義特征值。四、瑞利(Rayleigh )商在討論埃爾米特二次型的范圍和矩陣特征值的攝動(即矩陣有微小改變時， 對應特征值的改變)問題中，瑞利商有一定的應用，在此對瑞利商概念做簡單介 紹。xH Ax定乂 4設A A C ,稱RA(x) H (0 x C )為A的瑞利冏。x x顯然Ra(x)是實數(shù)。定理11設Ra(x)是埃爾米特矩陣A的瑞利商，則C,有 Ra( x) Ra(x);min i(A) Ra(x) max i(A); ii x Vi,x 0, Ra(xJi(A),其中Vi為A的特征值i(A)的特征子空問。證明(1)顯然(2)因為A是埃爾米特矩陣

27、，所以 U Un n ,使得UH AU diag 1, 2,L , n其中1, 2,L , n為A的特征值且為實數(shù)。所以設x Uy有XH Ax yH U H AUy Ra(x)AHH HI Ix x y U UyH , y diag 1, 2,l , nyHy yJjd 2 1y2 |2 L n|yn|2Hy y TOC o 1-5 h z min i(A) Ra(x) max i(A) ii x Vq 0,有 Ax iX ,則HHx Axx xRA(x) Hi -Hi 0X XX X 方陣的若當標準型前面我們討論了可對角化的矩陣， 這一節(jié)中我們討論一般方陣 A的一種相似 最簡型，即若當標準型

28、，這個標準型在理論和實際中都有重要的應用。矩陣及其 (smith) 標準型定義1設A( )(aj( )mn,其中aj()為C上的多項式，稱A()為 矩陣或多項式矩陣。若A( ) 0 ，則稱a11( ),a12( ),L ,a1n( ),L ,amn( ) 中次數(shù)最高的多項式的次數(shù)為 A( ) 的次數(shù)。顯然數(shù)字矩陣和特征矩陣I n A 都是 矩陣。定義 2 設 A( ) 為 n 階 矩陣，稱 A( ) 的所有 k 階子式的首1(最高次項系數(shù) 為 1 ) 最 大 公 因 子 為 A( ) 的 k 階 行 列 式 因 子 ， 記 為 Dk( ) ， 顯 然Dn( ) kdetA( ), k為常數(shù)，規(guī)

29、定 D0( ) 1。120例 1 設 A( )200 行列式因子。00解 D0( ) 1 。A( ) 的 1 階子式為 0,1, ,2 ，所以D1( ) 1 。A( ) 的 2 階子式為 4 2, 2 2 , ,0 ，所以 D2( )。A( ) 的 3 階子式為 4 3 ，所以D3( )3 。命題 1 設 A( ) 為 n 階 矩陣， Dk ( ) 為 A( ) 的 k 階行列式因子，則Dk 1( )|Dk( ) ， k 1,2,L ,n。證明 設Tk (tj)kk為A()的任一個k階子陣，則det Tkt11A11t12A12 Lt1kA1k其中Aj是靖的代數(shù)余子式，因為Dki( )|Aij

30、 , j 1,2,L ,k ,故Dk i( )|detTk。由于Dk()是A()的k階子式的首1最大公因子，所以Dk 1( )|Dk( ) ， k 1,2,L ,n定義3設Dk()為n階 矩陣A()的k階行列式因子，稱dk 要J; ， k 1,2,L ,n Dk 1 ( )為 A()的不變因子。顯然有 di( )d2( )L dk( ) Dk( ), k 1,2,L ,n。例2在例1中A()的不變因子為di( ) 1,d2( )&( )2 o定義4設A()為m n階 矩陣，下列變換稱為A()的初等變換。A()的某兩行(列)互換；A()的某行(列)乘非零常數(shù)k;A()的某行(列)乘多項式()加到

31、另一行(列)。若A()經(jīng)過初等變換化為B(),則稱A()與B()等價。命題2設A()為n階 矩陣，A()初B(),則A()與B()有相同的 行列式因子，從而有相同的不變因子。證明顯然證明每種初等變換不改變矩陣的行列式因子即可，這里只證第(1)種初等變換不改變矩陣的行列式因子，其余類似。、一i r：.-設A( ) j B(),若A()中的k階子陣Tk不含A()的i, j兩行，則在B()中有相同的k階子式detTk (對應位置取子式)；若A()中的k階子陣Tk含 A()的i,j兩行，則在B()中有k階子式detTk (對應位置取子式)；若慶()中 的k階子陣Tk含A()的i行，不含A()的j行，則

32、在B()中選對應Tk的k列及 不含i行的對應Tk的k 1行和B()的j行，即得B()有k階子式(J detTk。由 以上討論知B()中有與A()的k階子式detTk至多差一個符號的子式，反之亦 然，故A()與B()有相同的行列式因子，從而有相同的不變因子。命題3設A()為n階 矩陣，若A()初diagdK )( ),L &(),且 dk( )|dk1( ) , k 1,2,L ,n 1( d1()4( ),L ,dn()首 1 ),則 d1( ),d2( ),L ,dn()為 A()的不變因子證明 由命題2知A()與diagdi( ),d2( ),L ,dn()有相同的行列式因子，而diagd

33、i( ),d2( ),L,dn()的行列式因子為Di( ) di()D2( ) di( )d2()L LDn( ) di( )d2( )L dn()所以dkDk( )為A()的不變因子,k 1,2,L,n。Dki()定義5稱命題 3中的diagdi( ),d2( ),L &()為n階 矩陣A()的 (smith )標準型。由命題 3 知 A()的標準型diagd1( ),d2( ),L ,dn()中的di( )&( ),L &()即為A()的的不變因子。命題4 n階 矩陣A()的不變因子唯一。證明 因為A()的行列式因子 D)唯一，所以 A()的不變因子唯一，k 1,2,L ,n。定理1 n階

34、非零 矩陣A()總可以經(jīng)過初等變換化為標準型。證明設A( ) (aij(),不妨設用()0,且n 2,下證若即()不能整除A()中其余所有元素，則存在與A()等價的B( ) (bj(),使得B()的左上角元素bii()的次數(shù)(bn( )(aii(),下面分三種情形證明。(1)若在A()的第一行中存在aij(),使得aii( )?aij(),則aj ) q(再()r()其中q( ),r()為多項式且(r()(現(xiàn)乂)，所以A( )qCi ： cjB()且 (b11( )(r( )(a11( ) 。(2)若在 A( ) 的第一列中存在ai1( )，使得 a11( ) ?ai1( ) ，與( 1)類似

35、同樣可證。 若 aii( )|aij()閉()|ai( ) , i, j 2,3,L ,n，但存在 aks( ) (k,s 1), 使得 a11( ) ?aks ( ) 。因為 a11 ( ) | a1s( ), a11()| ak1 ( ) ，故設a1s() t( )a11( )， ak1() l( )a11()所以A( )lt( )cr11 rcksM ( ) (mij ( )其中m1s( )0,mk1( )0 ， mks( ) t( )ak1( ) aks( ) 。因為 aii( )|aki(),如()？aks(),所以 如()淅ks(),故mks( ) q( )a11( ) r( )且

36、 (r( ) (aii( ) ，所以M ( ) q( )ci cs ,ri rkB( )ri rk ,ci cs且 (bii( )(r( )(aii( ) 。由 (i)、 (2)、 (3) 知若 aii( )不能整除 A( ) 中其余所有元素， 則存在與 A( ) 等價的 B( ) (bij( ) ，使得 B( ) 的左上角元素bii( ) 的次數(shù)(bii( )(aii( ) 。但是多 項式 的次數(shù)是有限的 ， 故重復上述過程 ， 必存在與 A( ) 等價的 B( ) (bij( ) ，使得 B( ) 的左上角元素bii( ) 能整除 B( ) 中其余所有元素，也就存在與 A( )等價的 N(

37、 )di( )0， 其中 di( ) 為首 i 多項式且 di( ) 能0Ai ( )ii整除 N ( ) 中其余所有元素。對 Ai( ) 重復上述過程即得與A( ) 等價的對角陣T ( )T( )其中 d1( ),d2( ),L ,dn( )首A( ) 的標準型。定理 1 實際上給出了求變換化為標準型，則標準型對角線上元素因子。例 3 用初等變換方法求解 A( )rr1 rr2d1( )d2(dn( )1，且 dk (矩陣 A(A()|dk 1( ) ， k 1,2,L ,n 1 ，所以 T( )為) 不變因子的一種方法， 即將 A( ) 用初等d1( ),d2( ),L ,dn( ) 即為

38、 A( ) 的不變10 的不變因子。c1 c2c1 c3r2 r3r3r2r3c2c3r2 r32c2 c3不變因子 d1( )1,d2() 1,d3(推論 1 設 di( ),d2( ),L ,dn()為矩陣 A( ) 的不變因子，則dk( )|dk1( ) ， k 1,2,L ,n 1證明 因為 A( )不變因子 d1( ),d2( ),L ,dn( ) 唯一，且由定理1初A( ) 初diagd1( )L dn ( )所以 dk( )|dk 1( ) ， k 1,2,L ,n 1 。定義5設di( ),d2( ),L ,dn()為InA的不變因子，1, 2,L ,為A的相異特征值，在復數(shù)域

39、將d1( ),d2( ),L ,dn( )分解為一次因式的冪積： TOC o 1-5 h z d1( ) (1)k11 (2)k12 L ()k1d2( )(1)k21(2)k22L ()k2LLLLdn( )(1)kn1(2)kn2 L ()kn稱上式 中滿 足 kij1 的 因子 ( j )kij 為 In A 的初等因 子， i 1,2, L ,n ，j 1,2,L , 。 由于 dk( )|dk 1( ) ， k 1,2,L ,n 1 ， 顯然有 k1jk2j Lknj n ，j 1,2,L例4 A0000100100 10 ，求 I A 的初等因子。001000解 方法 1： D1(

40、 ) 1 ， D2( )1 ， D3( ) 1， D4( ) (0)4 ，則不變因d1( )1， d2( ) 1 ， d3( ) 1， d4( ) (0)4初等因子為(0 )4方法 2：IA00001000010000100(10001000010000100)410000010000100000)2初等因子為0)4。例5 AI A 的初等因子。001)(2)所以初等因子為1,1,2。、若當標準型定義 6 稱J1JJ2Onn為 n 階方陣 A 的若當標準型，其中JiJi1Ji2OJisimi mi為 A 的特征值i 的若當塊，mi 為i 的代數(shù)重復度， 而Jiti1iktikti為 A 的特征

41、值i 的若當子塊，1,2,L, si ，i 1,2,L , 。當kti1時， Jit 即為一階方陣 i 。定理 2 設 (1)k11,(1) k21,L , (ks111)2)k12,(2)k22 ,L ,(ks222)LL)k1 ,()k2 ,L ,()ks為 I n A 的全部初等因子，則存在可逆陣T ，使得 A TJT 1 ，其中每一個初等(i )kti 對應 J 的若當子塊 Jit 。證明略。00 ，求 A 的若當標準型。1001)(2)則初等因子為 1,1,2。所以J2 3 0 00 2 0 0 ,求A的若當標準型0 0 2 00 0 3 2 TOC o 1-5 h z 230002

42、0000200032的行列式因子為2）42D1（ ） 1, D2（ ） 1, D3（ ） （2） , D4（）（不變因子為d2（）D2（ ）1D1（）d3（）D3（）D2（）2）2d4（）D4（）D3（）2）2初等因子為(2)2, (2)2。所以若當標準型2 10 00 2 0 0J0 0 2 10 0 0 2、相似變換矩陣由定理2方陣A與若當標準型J相似，即存在可逆陣T,使得A TJT 1。下面簡單介紹T的求法112112設A Cnn, T tit2L tn Cnn, J jij2L jn Cnn,由 AT TJ 即At1t2L tn t1t2L tn j1j2L jn得At1t1t2L t

43、nj1At2t1t2L tnj2LLAtnt1t2L tnjn解上述方程，選取適當?shù)膖1,t2,L ,tn 即可。例8 A22102 0 ，求相似變換矩陣T ，使得 A 與若當標準型J 相似。140221解 IA 020141000100 0 (1)2(2)初等因子為(1)2 ,2 。所以110J 010002設T t1t2t3，由 AT TJ ,即110At1t2t3t1t2t3 010002At1t1(1)故得At2t1 t2(2)At32t3(3)1解之，在（ 1）中取t10 代入（ 2）中取 t200 ，在（3）中取t381 。所1201 TOC o 1-5 h z 1 08T 0 01112例9求解線性微分方程組dx1 dtx12x26x3dx2 dTx3x3dx1記x1x24x3T解記2當牛竽，則其中A 11dx dtAx0 3 ,下面將A化為若當標準型001020(1)1 0 0初等因子為 1,(1)2,所以J 0 110 0 1設 T tt2t3,