大學(xué)物理22第十章課后答案

1、10- 習(xí)題十10-1盧瑟福實(shí)驗(yàn)證明：兩個(gè)原子核之間的距離小到10i5m時(shí)，它們之間的斥力仍遵守庫侖定律。已知金原子核中有79個(gè)質(zhì)子，a粒子中有2個(gè)質(zhì)子，每個(gè)質(zhì)子的帶電量為1.6，1019C，a粒子的質(zhì)量為6.68，10-27kg。當(dāng)a粒子與金原子核相距6.9，10-12m時(shí)，試求：（1）a粒子所受的力；（2）a粒于的加速度。懈a粒子電量2e,金核電量為79e。兩點(diǎn)間的庫侖力為=7.6，102N10- #10- #（2）a粒子的加速度7.6，1026.68，10-271.14,1029ms210-2如圖所示，真空中一長為L的均勻帶電細(xì)直桿，總電量為q，試求在直桿延長線上到桿的一端距離為d的點(diǎn)P

2、的電場強(qiáng)度。懈在帶電直導(dǎo)線上取電荷元dq-dx，它在P點(diǎn)產(chǎn)L生的電場強(qiáng)度為dEJ（加、J（厶、dx4遼+dxb4遼+dxb00則整個(gè)帶電直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為14K4K0qd(L+d)0010- #10- #10-3兩根相同均勻帶電細(xì)棒，長為L，電荷線密度為，沿同一直線放置，兩細(xì)棒間最近距離也是L,如圖所示。設(shè)棒上的電荷不能自由移動(dòng)，試求兩棒間的靜電相互作用力。解一先按左棒為場源電荷，而右棒為受力電荷。計(jì)算左棒場強(qiáng)再求右棒所受電場力。取坐標(biāo)如圖所示，左棒在x處的場強(qiáng)為fidxJ/)r114兀匕x丿24KfTfxLx丿E00dxdx右棒x處電荷元dx受的電場力為0 x121x31xdFdx

3、E24兀010- #右棒受的總電場力為4010- 2L,2f3L丫11,2(3LL73L)dx=加加42L、xLx丿4k2LL2L丿00,2解二求電荷元，dx與,dx的庫侖力疊加。，dx受，dx的庫侖力為,dX-,dx=4(x-xl0,2dx4(xx1040 xLxdx=，2加44304010- #F方向?yàn)樨Ｏ颍蟀羰苡野魩靵隽=F10-4用絕緣細(xì)線彎成的半圓環(huán)，半徑為R,其上均勻地帶有正電荷Q,試求圓心處點(diǎn)O的場強(qiáng)。懈將半圓環(huán)分成無窮多小段，取一小段dl,帶電量dq=QdlRdQdldq在O點(diǎn)的場強(qiáng)dE=R4SR24SR200從對稱性分析，y方向的場強(qiáng)相互抵消，只存在x方向的場強(qiáng)dE=dE

4、-sin0=Qsin0-dldl=Rd0 x42R30dE=Qsin0d0 x42R20E=fdE=JSd0=G方向沿x軸方向xx042R222R20010-5如圖所示，一絕緣細(xì)棒彎成半徑為R的半圓形，其上半段均勻帶有電量q,下半段均勻帶有電量-q。求半圓中心點(diǎn)O處的電場強(qiáng)度E。解上半部產(chǎn)生的場強(qiáng)將上半部分成無窮多小段，取其中任一小段dl（所帶電量dq=qdl）R2在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)dE=dq方向如圖所示+4R20下半部產(chǎn)生的場強(qiáng)10- 以x軸為對稱軸取跟dl對稱的一小段dl（所帶電量dq，J?dl）在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)dE，dq方向如圖所示-4兀R20根據(jù)對稱性，在x方向的合場強(qiáng)相互抵消為0,只存

5、在y方向的場強(qiáng)分量dE，dEy+-sin-sin，dq4kR20總場強(qiáng)E，f2dE，fyy4KSR20異qdi-sin，JnR4ksR20-sinqR冗2R30-sind，10-6如圖所示，一半徑為R的無限長半圓柱面形薄筒，均勻帶電，單位長度上的帶電量為九,試求圓柱面軸線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E。解d對應(yīng)的無限長直線單位長帶的電量為dq，d冗它在軸線O產(chǎn)生的場強(qiáng)的大小為dE，dq，Xd（見27頁例1）2kR2k2R00因?qū)ΨQ性dE成對抵消dE，dE-cos，九yx2k2R0E，fdExk九cosd，2J202k2R010-7一半徑為R、長度為L的均勻帶電圓柱面，總電量為Q。試求端面處軸線上點(diǎn)P的場強(qiáng)

6、。O解取如圖所示的坐標(biāo)，在圓柱上取寬為dz的圓環(huán)，其上帶電量為dq，QdzL該圓環(huán)在軸線上任一點(diǎn)P產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為211Z+-2O一一10- #10- #整個(gè)圓柱形薄片在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為10- r,-z)Qdzl0時(shí)沿z正方向，Q0時(shí)沿z負(fù)方向。10-8一半徑為R的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為g，求球心點(diǎn)O處的場強(qiáng)。解將半球面分成無限多個(gè)圓環(huán)，取一圓環(huán)半徑為r,到球心距離為x,所帶電量絕對值dq=G2冗rdx。在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)（利用圓環(huán)軸線場強(qiáng)公式）dE=嚴(yán)Ax4ksx2+r2*20 xG2兀rdx4ksV2+r2史20dl=Rd帶電半球殼在O點(diǎn)的總場強(qiáng)E=fdE=f嚴(yán)

7、Axx4ks2+r220其中x=Rcos，r=Rsin，E=J2sincos=x2s04s00方向沿x軸負(fù)向10-9一面電荷密度為g的無限大平面，在距平面am遠(yuǎn)處的一點(diǎn)P的場強(qiáng)大小的一半是由平面上的一個(gè)半徑為R的圓（其軸線過點(diǎn)P）面積范圍內(nèi)的電荷所產(chǎn)生的。試求該圓半徑的大小。解過P點(diǎn)作平行于帶電平面的面元“S，并在帶電面元另一側(cè)對稱地再取一面元“S。用垂直于帶電面的側(cè)面與上述兩面元構(gòu)成閉合高斯面。無限大均勻帶電面所產(chǎn)生的電場必垂直于帶電面，并在與帶電面平行的平面上均勻分布。故上述高斯面上的電通量為高斯面所包圍的電量為q=”g“S根據(jù)高斯定理2EAS=gAS即E=工土s土2s00式中正號(hào)表示場強(qiáng)

8、方向是從帶電板指向兩側(cè)，負(fù)號(hào)表示場強(qiáng)指向帶電板對于半徑為R的圓盤，在P電產(chǎn)生的場強(qiáng)為,GE-=2s0即1：I10、G4,03a10-10如圖所示，一厚度為b的無限大帶電平板，其體電荷密度為pkx(OWxWb)，式中k為正常量。求：(1)平板外兩側(cè)任一點(diǎn)P和P處的場強(qiáng)大?。?2電場強(qiáng)度為E2：04,0kb2iEJxPdxJbPdx八iJxkxdxJbkxdx八:02,/x2,0丿；02,0 x2,0丿(2)板內(nèi)(即OWxWb區(qū)域)(3)若電場強(qiáng)度為0,則平板內(nèi)任一點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度；(3)場強(qiáng)為零的點(diǎn)在何處？懈板外(即xb的區(qū)域)場源電荷可等效成一無限大均勻帶電平面，電荷面密度為10- #10-

9、#b此時(shí)x，此即為場強(qiáng)為0的點(diǎn)。210-11半無限長的均勻帶電直線，線電荷密度為九。試證明：在通過帶電直線端點(diǎn)與直線垂直的平面上，任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向都與這直線成45角。解如圖選擇直角坐標(biāo)系，在棒上取電荷元九dy它在過棒端的垂直面上任意點(diǎn)貢獻(xiàn)場強(qiáng)為dyy1九xdydE(、x4,x2+y2*20丿總場強(qiáng)的分量為dEy14,0(hydy2+y2dEydEdExXEdE=J嚴(yán)xxx04,V2+y220九4,x010- JdEydy04,04,y0它與負(fù)y方向的夾角是tgT45o10-12一帶電細(xì)線彎成半徑為R的半圓形，線電荷密度=sin,式中為一常量，為o0半徑R與x軸所成的夾角，如圖所示。試求

10、環(huán)心O處的電場強(qiáng)度。懈取電荷元dq=sinRd，它在坐標(biāo)原點(diǎn)O產(chǎn)生的電場0強(qiáng)度沿坐標(biāo)軸的分量為dEx-cos-sinRd.dE=0siny4,8R20半個(gè)細(xì)圓環(huán)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分量為xx-J,sincosRd=4,80R20=JdE HYPERLINK l bookmark88-,sin2doJ=0 HYPERLINK l bookmark844,80R288R00方向沿y軸負(fù)向。10-13如圖所示，一無限長圓柱面，其面電荷密度為“cos，為半徑R與x軸之間的0夾角，試求圓柱面軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。解在圓柱面上取一窄條1，窄條1可看成無限長帶電直線。設(shè)窄條的電荷線密度為，圓柱的半徑r,窄條1在軸線上

11、任一點(diǎn)O的電場強(qiáng)度為dE12,8r方向如圖10- #10- #取另一窄條2,與窄條1對稱于x軸。故電荷線密度相同。窄條2在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為10- dE22r0方向如圖dE和dE的合電場強(qiáng)度dE沿i方向。12由于整個(gè)柱面可以分成無數(shù)對這樣的窄條，故O點(diǎn)的電場強(qiáng)度沿-i方向，其大小為E=24dEcos001考慮到，=brd，則10- #10- #42ns0”ord=24-cos=02ksr0TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark150O HYPERLINK l bookmark1082ocos2d=0002s010- #10- O-所以E=0i02s010-14半

12、徑為R、線電荷密度為，的均勻帶電圓環(huán)，在其軸線上放一長為1、線電荷密度為，的12均勻帶電直線，該線段的一端處于圓心處，如圖所示。求該直線段受到的電場力。解在細(xì)棒上任選一線元dx,所帶電量為dq=,dx2dq在帶電圓環(huán)的電場中所受到的電場力的大小為dF=Edq=E,dx2均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強(qiáng)為E=14ns0qx2x22所以dF=Edq=4ns0,2nRx2丿,Rdx=122+x2/22s0方向沿X正方向10-15真空中一半徑為R的圓平面，在通過圓心O與平面垂直的軸線上一點(diǎn)P處，有一電量為q的電荷，OP=h。求通過圓平面的電通量。解如圖，在以P點(diǎn)為球心，PB為半徑的球面上剖出一個(gè)球冠，通過圓面

13、的電10- 量等于通過球冠面的電通量。球冠面的表面積為S=2兀rh,h為球冠高，只為球面半徑S2X2,R2一xX2,R2通過球面單位面積的電通量為q9=.o4Sr20 xqgqqs02s2sx2,R200q2soq1-cos*2so10- #10- 10-16有一邊長為a的正方形平面，在其中心垂線上距中心點(diǎn)O為a2處，有一電量為q的正點(diǎn)電荷，如圖所示。求通過該平面的電通量是多少？解構(gòu)造正立方體使q為中心，a為邊長。由高斯定理知，通過此立方體表面電通量為9qs0又由于對稱性，通過此正立方體六個(gè)正方形面的電通量相等。所以通過每一面的電通量為,1q9=966s010-17A、B為真空中兩個(gè)平行的“無

14、限大”均勻帶電平面，已知兩平面間的電場強(qiáng)度為E，0兩平面外側(cè)電場強(qiáng)度大小都是丑E3，方向如圖。求兩平面A、B上的電荷和。3J解參照題9無限大平面產(chǎn)生的場強(qiáng)為E-2s0S0ABBAE2s2s000EB,A02s2s30010-18一半徑為R的帶電球體，其體電荷密度分布為-Ar(rWR)-0(rR)A為常量。試求球內(nèi)、外的場強(qiáng)分布。解在帶電球體內(nèi)外分別做與之同心的高斯球面。應(yīng)用高斯定理有E-4兀r2，-0q為高斯球面內(nèi)所包圍的電量。設(shè)距球心r處厚度為dr的薄球殼所帶電量為dqdq，-4兀r2dr，4兀Ar3drrWR時(shí)q，Jr4兀Ar3dr，兀Ar40解得E，-A-(rWR)4ks0rR時(shí)高斯面內(nèi)

15、包圍的是帶電體的總電量QQ，Rdq，JR4兀Ar3dr，兀AR400應(yīng)用高斯定理E-4兀r2，-0AR4E，丁(rR)4r20當(dāng)A0時(shí)，場強(qiáng)方向均徑向向外；當(dāng)AvO時(shí)，場強(qiáng)方向均指向球心。l0-19一半徑為R的帶電球體，其體電荷密度分布為(rWR)(rR)qr冗R4，0試求：(1)帶電球體的總電量；(2)球內(nèi)外各點(diǎn)的場強(qiáng)；(3)球內(nèi)外各點(diǎn)的電勢。解(1)因?yàn)殡姾煞植季哂星驅(qū)ΨQ性，把球體分成許多個(gè)薄球殼，其中任一球殼厚度為dr,體積為4冗r2dr。在此球殼內(nèi)電荷可看成均勻分布。此球殼所帶電量為dq，-dV=r3drR4則總電量為QdqpdV0R4(2)在球內(nèi)作半徑為r的高斯球面，按高斯定理有qr

16、qr4qr24兀r2dr，E，O兀R4R414KSR4000得E，嚴(yán)廠(rWR)14ksR40在球外作半徑為r的高斯球面，按高斯定理有E4兀r2，20(rR)得E,-r-1-24兀r20(3)球內(nèi)電勢U，f%-dr+fEdr，fR竺dr+JqdririR2r4ksR4R4ksr200qqr33兀r12兀R4004-12ksR(rR)10- 球外電勢U，J*E-dr，fq一dr，J2r2r4ksr24ksr0010-20有一帶電球殼，內(nèi)、外半徑分別為R和R,體電荷密度p，Ar,在球心處有一點(diǎn)電荷12Q,試證明：當(dāng)A=QG兀R2)時(shí)，球殼區(qū)域內(nèi)(RrR)的場強(qiáng)E的大小與r無關(guān)。112解以同心球面為

17、高斯面，電通量為UE-dS，4兀r2E，2R2)+Q10Sq，0/0)氣2kAY2R2丿+QE，4冗r2AE,I與r無關(guān)。因此得證。10-21設(shè)電荷體密度沿x方向按余弦規(guī)律p，pcosx分布在整個(gè)空間，式中p為體電荷密度,0p為其幅值。試求空間的場強(qiáng)分布。0懈由于電荷體密度與y、z無關(guān)，即在任何平行y-z平面的平面上電荷均勻分布，所以場強(qiáng)只有x分量。沿x軸方向電荷是周期性分布，所以在與過圓點(diǎn)的y-z平面相對稱的兩平行平面上場強(qiáng)數(shù)值都一樣。過坐標(biāo)為+x及-x的兩點(diǎn)作平行于y-z平面的面元”。用平行于x軸的側(cè)面將其封閉構(gòu)成閉合高斯面，它的電通量為于是根據(jù)高斯定理可得廠*E=0sinx0方向由的正負(fù)

18、確定0ffE，dS=2SEScosxdx=S2osinx10-22如圖所示，在xOy平面內(nèi)有與y軸平行、位于x=和x=-1a處的兩條無限長平行均22勻帶電直線，電荷線密度分別為+九和-九。求z軸上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解任意一點(diǎn)的場強(qiáng)都是兩條無限長帶電細(xì)線各自產(chǎn)生之場強(qiáng)的矢量和。過z軸上任一點(diǎn)，分別以兩帶電細(xì)線為軸作兩個(gè)長為1,半徑為r的柱面，并用平行于x-z平面的端面構(gòu)成兩個(gè)閉合圓柱面作為高斯面。ffE，dS=2r1E+q二X1rre-a/2a/2ffE，dS=1qs0 x10- #10- 九2r0總場強(qiáng)為E=E+E+cose=/2a九2+4z2方向指向x軸負(fù)方向10-23如圖所示，在半徑為R，

19、體電荷密度為的均勻帶電球體內(nèi)點(diǎn)Oo處放一個(gè)點(diǎn)電荷q。試求：點(diǎn)O、P、N、M處的場強(qiáng)（Oo、O、P、N、M在一條直線上）。解由電場疊加原理E=qo4r20OO4TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark247r3q3omqrE=OM HYPERLINK l bookmark217n4sr24sr242R)。求兩求心間的電勢差。解設(shè)帶正電的球殼中心的電勢為U，帶負(fù)電的為U。12Q4nsR0Q4nsd04nsR04nsd0根據(jù)電勢疊加原理有10- #10- #兩球心間的電勢差UU-U1212Q一Q2nsR2nsd0010- #10- 10-33在真空中半徑分別為R和2R的兩

20、個(gè)同心球面，其上分別均勻地帶有電量+q和-q,今將一電量為+Q的帶電粒子從內(nèi)球面處靜止釋放，則該粒子到達(dá)外球面時(shí)的動(dòng)能是多少？解粒子到達(dá)外球面時(shí)的動(dòng)能等于電勢能的減少EkQUQL0Qq2R丿8nsR010-34兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為只R=0.03m,R=0.01m。已12知兩者的電勢差為450V，求球面上所帶的電量。解電勢差U2R),單位長度上的帶電量分別為+九和-九。求兩直線間的電勢差。解兩導(dǎo)線之間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為九2sr0九2(d-r)0兩導(dǎo)線間的電勢差為U=fdR九dr+fdR/)r，九加d-RR2rR2sdr丿R00010-36電荷面密度分別為+a和9的兩塊

21、無限大均勻帶電平面，處于與平面垂直的x軸上的-a和+a的位置上。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢為零，試求空間的電勢分布并畫出其曲線。懈無限大帶電平板外場強(qiáng)的大小為E=72當(dāng)-aWxWa時(shí)，aE，U=fE-dl=f0Edr，ax1x00當(dāng)-8xWa時(shí)，E，0U=-E-dl+f0E-dl，a“2x2a10當(dāng)aWx8時(shí)，E，0U=f“Edl+fE-dl，aa3x3a100a-a10-37一錐頂角為0的圓臺(tái)，上下底面的半徑分別為R和R，在它的側(cè)面上均勻帶電，面電荷12密度為a，求頂點(diǎn)O處的電勢(選無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn))。解以錐頂為圓點(diǎn)，使x軸沿圓錐之軸線。在側(cè)面取面元dS，Rddx0cos2r0/2R1R式中d是

22、垂直于軸線的平面中柱坐標(biāo)的極角增量cos2R=xtg2面元上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位是1odS1dU=otgd,dx4r420040tg?f2d,fR20R1tg2dx=G（R-R）212010-38一底面半徑為R的圓錐體，錐面上均勻帶電，面電荷密度為Q。試證明：錐頂點(diǎn)O的電勢與圓錐的高度無關(guān)（取無窮遠(yuǎn)為零電勢點(diǎn)），其值為U=竺。o20解把圓柱面分成許多環(huán)狀面，每一環(huán)面在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為dU=dy、cos丿tan40因此O點(diǎn)總的電勢為U=fdU=fh廠2：dytan=2!btan=空04y2200010-39若電荷以相同的面密度Q均勻分布在半徑分別為r=10cm和r=20cm的兩個(gè)同心球面12上，

23、設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為零，已知球心電勢為300V，試求兩球面的電荷面密度Q的值。解球心處的電勢為兩個(gè)球面上的電荷在球心處產(chǎn)生的電勢的疊加，即U=UU012q4R20gRU=ii=ii4R4R01010q4R2ggR/1rr.22i4R4sR02020U=（RR）012U=300V得出的電荷面密度0UO00R+R12300 x8.85x10120.1+0.28.85x10-9c10-40如圖所示，兩無限長的同軸均勻帶電圓筒，內(nèi)筒半徑為R，單位長度帶電量為九，外11筒半徑為R，單位長度帶電量為九。求：圖中a、b兩點(diǎn)間的電勢差U22ab當(dāng)零參考點(diǎn)選在軸線處時(shí)，求U。a解以垂直于軸線的端面與半徑為r，長為1

24、，過所求場點(diǎn)的同軸柱面為封閉的高斯面。E-dS3冗rlES(x1R221q00rRX11Rr2兀r10X+X12rR2兀r2220rR處2RdrX+XR212In2rr2ksr0RrR處12rR處2XU10X7R1In22ksr0X7RU1In22ksR0110-41如圖所示，一半徑為R的均勻帶正電圓環(huán)，其線電荷密度為X。在其軸線上有A、B兩點(diǎn)，它們與環(huán)心的距離分別為OA3R，OB8R。一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B，求在此過程中電場力作的功。10- 10- #解從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B電場力作功-UAB12,010- 10-42如圖所示，半徑為R的均勻帶電球面，帶電量為q。沿徑矢方向上有一均勻帶電細(xì)線，線電荷密度為九，長度為1，細(xì)線近端離球心的距離為r。設(shè)球面和線上的電荷分布不受相互作0用的影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場力和細(xì)線在該電場中的電勢能(設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零)。解一取坐標(biāo)如圖，在距原點(diǎn)為x處取線元dx,量為dq入dX，dq在q的電場中具有電勢能TOC o 1-5 h zdWdqUXdx-dx4,x4,x00:.WJ仏+ldx丄加丁!r4,x4,r0000該線元在帶