信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)及應(yīng)用第2章-連續(xù)時(shí)間信號分析課件

1、信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)及應(yīng)用第1章 信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)知識第2章 連續(xù)時(shí)間信號分析第3章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析第4章 離散時(shí)間信號分析第5章 離散時(shí)間系統(tǒng)分析第6章 離散傅里葉變換及應(yīng)用第7章 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)第2章 連續(xù)時(shí)間信號分析2.1 連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)（CTFS）2.2 連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換（CTFT）（Continuous Time Fourier Series）（Continuous Time Fourier Transform）2.1 連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)（CTFS）2.1.2 連續(xù)時(shí)間周期信號的頻譜與功率譜2.1.1 連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)2.1.3 連續(xù)時(shí)間傅里葉級

2、數(shù)的性質(zhì)（1） 在t1,t2區(qū)間上定義的非零實(shí)函數(shù)x1(t)與x2(t)，若滿足條件：則函數(shù)x1(t)與x2(t)為區(qū)間t1, t2上的正交函數(shù)。 （2） 若 x1(t)與x2(t)是復(fù)變函數(shù)，則 x1(t)與x2(t)在t1,t2區(qū)間上正交的條件是：1.完備正交函數(shù)集2.1.1 連續(xù)時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)（3）設(shè)有一函數(shù)集g1(t), g2(t)，gN(t)，它們定義在區(qū)間t1, t2上，如果對于所有i、 j(可取1, 2, ，N)都有 則該函數(shù)集就稱為區(qū)間t1, t2上的正交函數(shù)集。則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。 如果 （4）用一個(gè)在區(qū)間t1, t2上的正交函數(shù)集gr (t)中各函數(shù)的

3、線性組合逼近定義在t1, t2區(qū)間上的信號x(t)，即 其均方誤差為 ：若 ，則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。欲使均方誤差最小，其第r個(gè)函數(shù)gr(t)的加權(quán)系數(shù)cr應(yīng)按下式選?。?對于函數(shù)集gr(t)，所謂完備性，是指對任意函數(shù)x(t)，都可以用一無窮級數(shù)表示：且此級數(shù)之和收斂于x(t)。任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)都可以在定義域里用某個(gè)正交函數(shù)集來表示，若此函數(shù)集不僅是正交而且完備，則用它來表示信號時(shí)將沒有誤差，即逼近誤差是柯西收斂的，最終趨于零。結(jié)論常見的完備正交函數(shù)集有：三角函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集切比雪夫多項(xiàng)式集合沃爾什函數(shù)集（5）三角函數(shù)集是完備正交函數(shù)集，正交區(qū)間為t0, t0+T。是各個(gè)函數(shù)cosn

4、0t，sinn0t的公共周期。上述正交三角函數(shù)集中，當(dāng)n=0時(shí)，cos0=1, sin0=0，由于0不應(yīng)計(jì)在此正交函數(shù)集中，故正交三角函數(shù)集可具體寫為 （6）虛指數(shù)函數(shù)集式中，正交性質(zhì)為指數(shù)函數(shù)公共周期，m、n為整數(shù)。正交虛指數(shù)函數(shù)集可具體寫為 叫做基頻。1829年提出：只有在滿足一定條件時(shí)，周期信號才能展開成傅里葉級數(shù)。狄里赫利（18051859）,德國數(shù)學(xué)家，解析數(shù)論奠基者，現(xiàn)代函數(shù)概念的定義者。傅立葉（J. B. J Fourier，1768 1830），法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1807年提出：任何一個(gè)周期信號都可以展開成傅里葉級數(shù)。2. 三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 周期信號x(t)在區(qū)

5、間t0,t0+T上有定義，且 （1）Dirichlet條件表述如下：狄里赫利（Dirichlet）條件解決了傅里葉級數(shù)分解的嚴(yán)格性問題！1）在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；3）在一周期內(nèi)，信號滿足絕對可積。式中，0=2/T 稱為基波角頻率（基頻），a0、ak和bk為加權(quán)系數(shù)。 由于x(t)為周期信號，且其周期T與三角函數(shù)集中各函數(shù)的周期T相同，故上述展開式在(-, )區(qū)間也是成立的。 （2）三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 可得加權(quán)系數(shù)： 為k0的偶函數(shù)為k0的奇函數(shù)另一種常用的表示形式（僅有余弦函數(shù)）如下：解：該信號x(t)的周

6、期為T，基頻為它在一個(gè)周期（-T/2，T/2）內(nèi)的表達(dá)式為 【例2.1】求圖中信號x(t)的傅里葉級數(shù)。抽樣函數(shù)計(jì)算其傅里葉級數(shù)的系數(shù)： 抽樣函數(shù)定義為 為偶函數(shù)，且x0時(shí)，Sa(x)=1；當(dāng)x=k(k=1,2,)時(shí)，Sa(k)=0。 Sa(x)函數(shù)的波形 MATLAB中抽樣函數(shù)用sinc(x)表示。于是【例2.1】中x(t)的傅里葉級數(shù)表示為 【例2.2 】設(shè) x () 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為解: 先求傅里葉系數(shù)將 x () 展成傅里葉級數(shù)。（3）吉布斯現(xiàn)象（Gibbsphenomenon）用有限次諧波分量近似具有不連續(xù)點(diǎn)的周期信號時(shí)，在不連續(xù)點(diǎn)出現(xiàn)過沖；當(dāng)選取的項(xiàng)

7、數(shù)越多，在所合成的波形中出現(xiàn)的峰起越靠近原信號的不連續(xù)點(diǎn)；當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，大約等于總跳變值的9%。 吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生的原因：時(shí)間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得在間斷點(diǎn)傅里葉級數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。美國人，1839-1903，物理化學(xué)家，數(shù)學(xué)物理學(xué)家約西亞威拉德吉布斯（Josiah Willard Gibbs）N=5N=15N=50N=5009%9%9%9%3. 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 利用歐拉公式再次寫出三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)如下：令為復(fù)函數(shù)式中，T=2/0為指數(shù)函數(shù)公共周期，k為整數(shù)。復(fù)振幅系數(shù)為采用指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的原因是：表達(dá)形式和系數(shù)計(jì)算比三角形式簡單。k信號的

8、帶寬時(shí)，信號傳輸與處理結(jié)果才能接近不失真。2.1.3 連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)周期信號傅里葉級數(shù)系數(shù)/頻譜線性時(shí)移頻移時(shí)間反轉(zhuǎn)共軛共軛對稱性質(zhì)周期信號傅里葉級數(shù)系數(shù)/頻譜尺度變換周期卷積相乘微分2.2 非周期信號的傅里葉變換（CTFT）2.2.1 傅里葉變換的導(dǎo)出與非周期信號的頻譜2.2.2 常見信號的傅里葉變換 2.2.3 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì) (Continuous Time Fourier Transform)2.2.1傅里葉變換的導(dǎo)出與非周期信號的頻譜設(shè)任意周期信號為其傅里葉級數(shù)指數(shù)形式的展開式為其中傅里葉系數(shù)為推導(dǎo)思路：令周期T趨近記成傅里葉正變換當(dāng)T時(shí)，反過來當(dāng)時(shí)，傅里葉反

9、變換X(j)描述的是單位頻帶的復(fù)振幅，稱為頻譜密度函數(shù)。傅里葉反變換傅里葉正變換幅度譜相位譜2.2.2常見信號的傅里葉變換 【例2.6】門函數(shù)的寬度為， 高度為A，通常用符號AG(t)來表示。試求其頻譜函數(shù)。 解：頻帶寬度：周期和非周期矩形脈沖信號頻譜的對比對于由非周期脈沖按一定的周期T重復(fù)后構(gòu)成的周期信號，其X(j)和Xk之間可以互相推算。非周期矩形脈沖信號頻譜的特點(diǎn)連續(xù)性；無限延續(xù)性；收斂性?！纠?2.7 】求單位沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 解：【例2.8】 求指數(shù)信號的頻譜函數(shù)。 右單邊指數(shù)函數(shù)解：左單邊指數(shù)信號其幅度頻譜為： 相位頻譜為： 偶雙邊指數(shù)信號其幅度頻譜為： 相位頻譜為： x

10、 (t) 為偶函數(shù)， 為 的實(shí)函數(shù)，且為 的偶函數(shù)。 奇雙邊指數(shù)信號 x (t) 為奇函數(shù)， 為 的純虛函數(shù)，且為 的奇函數(shù)。 幅度頻譜為： 相位頻譜為： 考察奇雙邊指數(shù)信號 【例 2.9 】求符號函數(shù)的頻譜函數(shù)。 解：幅度頻譜為： 相位頻譜為： 【例2. 10】 求階躍函數(shù)u(t)的頻譜函數(shù)。 1 - 1 解：2.2.3 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì) 時(shí)間函數(shù)x(t)和頻譜函數(shù)X(j)有一一對應(yīng)的關(guān)系，可記為正變換反變換1. 線性若 且設(shè)a1, a2為常數(shù)，則有 2. 時(shí)移性若x(t)X(j)， 且t0為實(shí)常數(shù)(可正可負(fù))，則有【例2.11 】求移位門信號的頻譜函數(shù)。 相位譜 幅度譜 解：3.

11、頻移性 若則相乘調(diào)制【例 2.12 】求矩形調(diào)幅信號的頻譜。解：4. 時(shí)頻展縮特性 若則矩形脈沖的時(shí)頻展縮情況？a=0.5a=1a=25. 對稱性 若則【例2.13 】求抽樣函數(shù)Sa(t)的頻譜。解：（1）時(shí)域卷積的運(yùn)算 6. 時(shí)域卷積定理 卷積運(yùn)算的4個(gè)步驟：翻轉(zhuǎn)平移相乘積分【例2. 14】求信號 和 的卷積。 解： 另外本結(jié)論被用來獲取系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)。 系統(tǒng)若則(2)時(shí)域卷積定理 【例2.15】求信號 和 的卷積。 設(shè) 其中， 它們的頻譜分別為 令 則 解： 信號 和 均為抽樣信號， 根據(jù)卷積定理有 【例2.16 】求三角脈沖信號的頻譜。解：7. 頻域卷積 若則例如， , 利用時(shí)域微分性質(zhì)顯然有 此性質(zhì)還可推廣到x(t)的n階導(dǎo)數(shù)， 即 若則且存在傅立葉變換8. 時(shí)域微分 9. 時(shí)域積分 時(shí)域積分性質(zhì)多用于X(0)=0的情況，而X(0)=0表明x(t)的頻譜函數(shù)中直流分量的頻譜密度為零。 若則如果則