高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：8.7空間角與距離37

1、第七節(jié) 空間角與距離考綱解讀掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別 ，弄清他們各自的取值范圍 。細(xì)心體會求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握平移，射影等方法。知識點精講空間角的定義和范圍兩條異面直線所成角的范圍是（0，2，當(dāng)=2時，這兩條異面直線互相垂直。斜線AO與它在平面內(nèi)的射影AB所成角叫做直線與平面所成的角。 平面的斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一直線所成角中最小的角，如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角為2；如果直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，那么就

2、是直線和平面所成的角為0.直線和平面所成的角的范圍為0，2；斜線和平面所成的角的范圍為(0,2).從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的角叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面，棱為l，兩個平面分別為，的二面角記做-l -，二面角的范圍是0,一個平面垂直于二面角的公共棱l，且與兩個半平面的交線分別是射線OA，OB，則AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的兩個平面垂直。點到平面距離的定義點到平面的距離即點到它在平面內(nèi)的正射影的距離。題型歸納及思路提示題型118 空間角的計算思路提示求解空間角如異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角的平面

3、角的大小；常用的方法有：（1）定義法；（2）選點平移法；（3）垂線法：（4）垂面法；（5）向量法。一、異面直線所成的角 方法一：通過選點平移法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為共面相交的兩直線的夾角來求解，但要注意兩條異面直線所成角的范圍是（0，2。 方法二：向量法，設(shè)異面直線a和b的方向向量為a和b，利用夾角余弦公式可求得a和b的夾角大小，且cos=|cos|=|ab|a|b|。例8.59 【2016高考新課標(biāo)理】平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，則m，n所成角的正弦值為A B C D變式1 如圖8-219所示,在長方體ABCD-

4、A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點,求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值.變式2 如圖8-220所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H平面AA1B1B,C1H=5,求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值.例8.60（2017全國卷理）已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為( )A. B. C. D. 變式如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點是正方形BCC1B1的中心，點是棱AA1的中點，設(shè)E1,G1分別是，在平面DCC1D1內(nèi)的正投影。求異面直線E1G1與所成角的正弦值。變式2 如圖8-

5、225所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD,E是PC的中點。已知AB=2,AD=22,PA=2.求異面直線BC與AE所成的角的大小.二、直線與平面所成的角方法一:(垂線法)直線與平面所成的角就是直線與此直線在平面內(nèi)的射影直線所成的角.過直線上一點作出平面的垂線,得到垂足,而射影直線就通過斜足與垂足,因此作出平面的垂線是必要的一步.具體步驟是:先作出該角;在直角三角形中求解.方法二:(向量法)直線與平面所成的角為直線的方向向量與平面的法向量所成的銳角的余角.如圖8-226所示，設(shè)直線l的方向向量為l1，平面的法向量為n，直線l和平面所成的角為，則+=2,或-=2,因

6、為的取值范圍是0,2，所以sin=|cos|=l1n|l1|n|.方法三：（點面距法）利用相關(guān)方法求出直線上一點到平面的距離d，再求出此點與斜足間的距離l,設(shè)直線和平面所成角的大小為，則sin=dl. 例8.61 （2017天津文17）如圖，在四棱錐中，平面，（）求異面直線與所成的角的余弦值（）求證：平面（）求直線與平面所成角的正弦值變式1 如圖8-229所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是BC1的中點.求DE與平面ABCD所成角的正切值. 變式2 如圖8-230所示，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，點D是AB的中點，且AC=BC=，VDC=(00）。點

7、E是SD上的點，且DE=a(02)。設(shè)二面角C-AE-D的大小為，直線BE與平面ABCD所成角為，若tantan=1，求 值。變式3 如圖8-236所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC,AB=2,CE=EF=1,二面角A-BE-D的大小.例8.63（2017天津理）如圖，在三棱錐中，平面，點分別為棱的中點，是線段的中點，（）求證：平面 （）求二面角的正弦值（）已知點在棱上，且直線與直線所成的角的余弦值為，求線段的長變式1 如圖8-239所示，四棱錐S-ABCD中，SD平面ABCD,ABDC,ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SD上的一點，平面

8、EDC平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。變式2 如圖8-240所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側(cè)棱CC1上，且不與點C重合，設(shè)二面角C-AF-E的大小為，求tan的最小值。變式3 如圖8-241所示，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上.若BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C的大小.例8.64（2016年新課標(biāo)I理18）如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，PA，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是BAD=600（=

9、 1 * ROMANI）證明平面ABEFPAEFDC；（= 2 * ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值變式1 如圖8-244所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60，AB=2AD,PD底面ABCD。若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.變式2 如圖8-245所示，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為棱形，AB=2，BAD=600,當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長。變式3 如圖8-246所示，四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，BC=CD=2,AC=4,ACD=ACB=600,F為PC的中點，AFPB.求PA的長；求二面

10、角B-AF-D的正弦值。變式4 如圖8-247所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，OA1平面ABCD，AB=AA1=2,證明：A1C平面BB1D1D;求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小。題型119 點到平面距離的計算思路提示 求解點到平面的距離，常用方法有:定義法，作出點到免的垂線，垂線段的長度就是點到平面的距離，通常是借助某個直角三角形來求解。轉(zhuǎn)化法，利用等體積法或者線面平行的位置關(guān)系，將點A到平面的距離轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的點B到平面的距離。向量法，點P為平面外一點，點Q為平面上的任一點，n為平面的法向量，點P到平面的距離d=|PQn|n|。例8.

11、65 如圖8-248所示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2,ACB=900,AP=BP=AB,PCAC,求點C到平面PAB的距離。變式1 如圖8-250所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的棱形，ABC=450，OA底面ABCD,OA=2,求點B到平面OCD的距離。變式2 如圖8-251所示，四棱錐P-ABCD為矩形，PA底面ABCD,PA=AB=6，求直線AD與平面PBC的距離。例8.66 如圖8-252所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求點C到平面A1BD的距離。變式1如圖8-253所示，在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD,PD=

12、DC=BC=1,AB/CD,BCD=900,點A到平面PBC的距離.變式2 如圖8-254所示，三角形BCD與三角形MCD都市邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB面BCD，AB=23，求點A到平面MBC的距離。例8.67 如圖8-255所示，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，且AC=2，ACB=900,側(cè)棱AA1=2,D,E分別是CC1與A1B的中點。求點A1到平面AED的距離。變式1 如圖8-257所示，已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1 的交點，若點C到平面AB1D1的距離為43，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1

13、的高。變式2 如圖8-258所示，四棱錐P-ABCD中PA底面ABCD,四邊形ABCD中，ADAB,AB+AD=4,CD=2,CDA=450,AB=AP。若直線PB與平面PCD所成的角為300，求線段AB的長；在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P,B,C,D的距離相等？說明理由。最有效訓(xùn)練題37（限時45分鐘）正方體ABCDA1B1C1D1中AB=A1A=2,AD=1,E為CC1 的中點，則異面直線BC1 與AE所成角的余弦值為（ ） A.1010 B.3010 C.21510 D.31010 如圖8-259所示，在正三棱柱ABCA1B1C1 中，AB=A1A，則AC1 與平面BCC1

14、 B1所成角的正弦值為（ ）A.22 B.155 C.64 D.63 已知兩平面的法向量分別為n=(0,1,1),，則兩平面所成的二面角為（ ）A.450 B.1350 C.450或1350 D.900 二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直與AB，已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,則該二面角的大小為（ ）A.1500 B.450 C.600 D.1200 如圖8-260所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O為底面A1B1C1D1的中心，則點O到平面ABC1D1 的距離為（ ） A.12 B.24 C.22 D.32 6.正四棱錐

15、P-ABCD的底面邊長為2，高為3，E,F分別為PC,PD的中點，則異面直線AC與 EF的距離為（ ） A.12 B.32 C.233 D.23 7.如圖8-261所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M,N分別為CD,CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小為 8.如圖8-262所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1 的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1CD所成角的正弦值為 9.在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，G為A1A的中點，則直線BD與平面GB1D1的距離為 .10.如圖8-263，三棱柱ABCA1B1C1 中,A1A面ABC,BC=AC=2,AA1=3,D為AC的中點，則二面角C1