a第三章參數曲面第一基本形式

1、微分幾何 Differential GeometryChapter 3 參數曲面第一基本形式第一基本形式設 是 中一個正則參數曲面. 則 是曲面上任意一點 處的切向量，這個向量作為 中的向量可以計算它的長度. 這三個函數 稱為曲面 的第一類基本量. 第一基本形式而矩陣 稱為切空間(關于基底 )的度量矩陣(metric matrix). 由于 的度量是正定的，這是一個正定矩陣. 事實上，它的2個順序主子式均 ：(Lagrange 恒等式)第一基本形式利用第一類基本量 的定義，有 這是一個關于變量 的二次型，稱為曲面 的第一基本形式(first fundamental form)，記為記參數變換

2、的Jacobi矩陣為 則第一類基本量之間的關系為 新的參數 下，第一基本形式保持不變：第一基本形式第一基本形式與參數選擇無關，也與 的標架選擇無關，是一個幾何量. 其實，這一結論也可由微分形式不變性直接得到：如果 和 是 處的兩個切向量，則它們的內積為 因此切向量 的長度為兩個切向量 和 之間的夾角 滿足 它們相互正交的充分必要條件是正交曲線網在參數曲面 上，參數曲線網是正交曲線網 . 對于參數曲面 上的一條曲線 ，它的弧長為面積元素定義 稱 為曲面S的面積元素，稱 為曲面 的面積.曲面的幾何量曲面上曲線的弧長 ，曲面的面積元素 以及曲面的面積 都是幾何量. 證明 假設參數變換為 ，其中 則在

3、新參數 下， 的參數方程 與原參數方程 之間滿足曲線的參數方程由 變成了 所以由(3.12)可見，在新參數 下，第一類基本量 滿足 其中 是 的逆映射 的Jacobi行列式. 另一方面根據二重積分的變量代換公式， 所以在新參數 下的面積元素根據二重積分的變量代換公式，有EXAMPLES例1 求旋轉面 的第一基本形式. 所以 這說明在旋轉面上，經線和緯線構成正交曲線網. 第一基本形式為這說明在旋轉面上經線(v-曲線)和緯線(u-曲線)構成正交參數曲線網. 例2 求曲面上參數曲線網的二等分角軌線的微分方程. 解 設正則參數曲面 的第一基本形式是 再設二等分角軌線的切向量為 由題意，它與u-曲線的夾

4、角要等于它與v-曲線的夾角，而u-曲線的切方向為 ，v-曲線的切方向為 ，所以將 和 代入上式，得即由于 ，即 ，所以上式可化簡為或等價地，參數曲線網的二等分角軌線的微分方程為注 求解一階常微分方程初值問題得到的解 是曲面 上過 點的一條曲線 ，在 的每一點 ，切方向 與該點處的兩條參數曲線的切方向夾角相等. 固定 ，讓初始條件 變動，就得到2族這樣的曲線，它們就是參數曲線網的二等分角軌線.曲面上正交參數曲線網的存在性在正交參數曲線網下，第一基本形式比較簡單：問題：曲面上是否存在正交參數曲線網？引理設 是定義在區(qū)域 上的連續(xù)可微的1次微分形式，且 處處不為零. 則對于任意一點 ， 在 的某個鄰

5、域 內存在積分因子，即有定義在 上的非零連續(xù)可微函數 ，使得 是某個定義在 上的連續(xù)可微函數 的全微分：定理4.1 假定在曲面 上有兩個處處線性無關的、連續(xù)可微的切向量場 , . 則對每一點 ，必有 點的一個鄰域 ，使得在 上存在新的參數 ，滿足 . 分析：設 ， . 則由 線性無關可知 如果這樣的可允許參數變換 存在，則應有函數 使得 即有 在上述等式兩邊取逆矩陣得 因此逆參數變換 應滿足定理4.1的證明：考慮兩個1次微分形式 由引理可知存在積分因子 使得 是全微分，即有函數 ， 使得由此可見因為 參數變換 是可允許的. 在新的參數 下， 同理有 . 注 滿足條件的新參數僅是局部存在的，并且不能使得 . 曲面上正交參數曲線網的存在性定理4.2 在曲面 上每一點 ，有 點的一個鄰域 ，使得在 上存在新的參數 ，滿足 .證明