2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)5.4　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI5.4數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第五章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念形如(aR,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中實(shí)部為,虛部為當(dāng)b=0時(shí),a+bi為實(shí)數(shù);當(dāng)a=0,且b0時(shí),a+bi為純虛數(shù);當(dāng)b0時(shí),a+bi為虛數(shù)復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di(a,b,c,dR)實(shí)數(shù)能比較大小,虛數(shù)不能比較大小共軛復(fù)數(shù)a+bi與c+di共軛(a,b,c,dR)實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)是a本身a+bi a ba=c,且b=d a=c,且b=-d 內(nèi)

2、容意義備注復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面,叫做復(fù)平面,叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù),各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示虛數(shù)復(fù)數(shù)的模設(shè) 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,bR),則向量 的長度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)的模,記作|z|或|a+bi|z|=|a+bi|= (a,bR)x軸 2.復(fù)數(shù)的幾何意義 3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;(a

3、+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.(3)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義z2+z1 z1+(z2+z3) 常用結(jié)論2.-b+ai=i(a+bi)(a,bR).3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*).4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a|z|b表示以原點(diǎn)O為圓心,以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);(2)|z-(a+bi)|=r(r0)

4、表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)若aC,則a20.()(2)已知z=a+bi(a,bR),當(dāng)a=0時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).()(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)的虛部為bi.()(4)方程x2+x+1=0沒有解.()(5)由于復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)能比較大小,因此在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)也能比較大小.()2.(2020浙江,2)已知aR,若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則a=()A.1B.-1C.2D.-2答案 C解析 由條件可知a-2=0,即a=2,故選C.3.(2020北京,2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z

5、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),則iz=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i答案 B解析 由題意得z=1+2i,所以iz=i-2.故選B.4.(2020全國2,文2)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案 A解析 (1-i)4=(1-i)22=(-2i)2=-4.故選A.5.(2020江蘇,2)已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i)的實(shí)部是.答案3解析 本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算.z=(1+i)(2-i)=3+i,實(shí)部是3.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】 (1)(2020全國1,文2)若z=1+2i+i3,則|z|= ()A.0B.1C. D

6、.2(2)(2020陜西寶雞三模,文2)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,m),若iz為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為()A.-1B.0C.1D.1或-1(3)(2019江蘇,2)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值是.答案 (1)C(2)B(3)2解析 (1)因?yàn)閦=1+2i+i3=1+2i+i2i=1+2i-i=1+i,(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,m),所以z=1+mi.因?yàn)閕z=i(1+mi)=-m+i為純虛數(shù),所以m=0.故選B.(3)(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,a-2=0,a=2.思考求解與復(fù)數(shù)概念

7、相關(guān)問題的基本思路是什么?解題心得求解復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及求復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部時(shí)都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān),通常需先把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根據(jù)題意求解.答案 (1)D(2)A 考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】 (1)(2019全國1,理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1(2)(2020全國2,理15)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2= +i,則|z1-z2|=.思考復(fù)數(shù)具有怎樣的幾

8、何意義?幾何意義的作用是什么?2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|+|z+i|=4,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()(2)(2020山東歷城二中模擬四,2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+1-i|=|z|,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(x,y),則()A.y=x+1B.y=xC.y=x+2D.y=-x答案 (1)D(2)A解析 (1)方程|z-i|+|z+i|=4的幾何意義為:復(fù)平面上的點(diǎn)Z到復(fù)平面上的兩點(diǎn)(0,1)和(0,-1)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡,符合橢圓

9、的定義,且焦點(diǎn)在y軸上,故選D.(2)(方法1直接法)由|z+1-i|=|z|,得(x+1)2+(y-1)2=x2+y2,化簡整理,得y=x+1.(方法2數(shù)形結(jié)合法)|z+1-i|=|z|的幾何意義為點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)A(-1,1)的距離相等,所以點(diǎn)P的軌跡為兩點(diǎn)(-1,1)和(0,0)的垂直平分線,其對(duì)應(yīng)方程為考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算A.1B.-1C.iD.-i(2)(2020江蘇南京六校5月聯(lián)考,2)已知復(fù)數(shù)z=(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,a為實(shí)數(shù),則 =.答案 (1)D(2)-4i 思考利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求復(fù)數(shù)的一般方法是什么?解題心得利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)

10、算求復(fù)數(shù)的一般方法:(1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算.(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算主要是利用分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡.答案 (1)D(2)3-2i 要點(diǎn)歸納小結(jié)1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的主要方法.對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR),既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它,又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí).2.在復(fù)數(shù)的幾何意義中,加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則,其方向是應(yīng)注意的問題,平移往往和加法、減法相結(jié)合.3.在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中,加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行,除法則需將分母實(shí)數(shù)化.要點(diǎn)歸納小結(jié)1.判定一個(gè)復(fù)數(shù)是不是實(shí)數(shù),僅注意虛部等于0是不夠的,還需考慮它的實(shí)部是否有