建筑力學(xué)第五章-梁彎曲時(shí)位移課件

1、第五章 梁彎曲時(shí)的位移（了解）5-1 梁的位移撓度和轉(zhuǎn)角5-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分5-3 按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角5-4 梁的剛度校核提高梁的剛度的措施建筑力學(xué)5-1 梁的位移撓度和轉(zhuǎn)角建筑力學(xué) 彎曲后梁的軸線撓曲線為一平坦而光滑的曲線，它可以表達(dá)為w=f(x)，此式稱為撓曲線方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故橫截面的轉(zhuǎn)角q 也就是撓曲線在該相應(yīng)點(diǎn)的切線與x軸之間的夾角，從而有轉(zhuǎn)角方程：建筑力學(xué) 直梁彎曲時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個(gè)位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線曲率的大小)有關(guān)，也與支座約束的條件有關(guān)。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩M

2、e也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同。(a)(b)建筑力學(xué) 在圖示坐標(biāo)系中，撓度w向下為正，向上為負(fù)； 順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。建筑力學(xué)5-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分（了解）一. 撓曲線近似微分方程的導(dǎo)出 在4-4中曾得到等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲情況下中性層的曲率為這也就是位于中性層內(nèi)的撓曲線的曲率的表達(dá)式。建筑力學(xué) 在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還有剪力Q=Q(x)，剪力產(chǎn)生的剪切變形對(duì)梁的變形也會(huì)產(chǎn)生影響。但工程上常用的梁其跨長(zhǎng)l 往往大于橫截面高度h的10倍，此時(shí)剪力Q對(duì)梁的變形

3、的影響可略去不計(jì)，而有建筑力學(xué)從幾何方面來(lái)看，平面曲線的曲率可寫作式中，等號(hào)右邊有正負(fù)號(hào)是因?yàn)榍?/r為度量平面曲線(撓曲線)彎曲變形程度的非負(fù)值的量，而w是q = w 沿x方向的變化率，是有正負(fù)的。建筑力學(xué)建筑力學(xué)再注意到在圖示坐標(biāo)系中，負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)于正值w ，正彎矩對(duì)應(yīng)于負(fù)值的w ，故從上列兩式應(yīng)有由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的w2與1相比可略去，于是得撓曲線近似微分方程二. 撓曲線近似微分方程的積分及邊界條件求等直梁的撓曲線方程時(shí)可將上式改寫為后進(jìn)行積分，再利用邊界條件確定積分常數(shù)。建筑力學(xué) 當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩可用一個(gè)彎矩方程表示時(shí)(例如圖中所示情況)有 以上兩式中的積分常數(shù)

4、C1，C2由邊界條件確定后即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。建筑力學(xué) 邊界條件(這里也就是支座處的約束條件)的示例如下圖所示。建筑力學(xué) 若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程需分段寫出時(shí)，各段梁的撓曲線近似微分方程也就不同。而對(duì)各段梁的近似微分方程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的約束條件外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條件。這兩類條件統(tǒng)稱為邊界條件。建筑力學(xué) 例題5-1 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。建筑力學(xué)解：該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為以x為自變量進(jìn)行積分得于是得該梁的邊界條件為：在 x=

5、0 處 ，w =0建筑力學(xué)從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程 根據(jù)該梁邊界條件和全梁橫截面上彎矩均為負(fù)值，以及撓曲線應(yīng)光滑連續(xù)描出了撓曲線的示意圖。建筑力學(xué)可見該梁的qmax和wmax均在x=l的自由端處。于是有建筑力學(xué) 例題5-2 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。建筑力學(xué)解：該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為以x為自變量進(jìn)行積分得：建筑力學(xué)該梁的邊界條件為在 x=0 處 w=0，在 x=l 處 w=0于是有即從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程建筑力學(xué) 根據(jù)對(duì)稱性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角qA及qB的絕對(duì)值相等，且均為最大值，故最大撓度在跨中，其值為建筑力學(xué)5-3 按

6、疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角 當(dāng)梁的變形微小，且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與梁上的荷載成線性關(guān)系。在此情況下，當(dāng)梁上有若干荷載或若干種荷載作用時(shí)，梁的某個(gè)截面處的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個(gè)荷載或每種荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算梁的位移時(shí)的疊加原理。建筑力學(xué) 懸臂梁和簡(jiǎn)支梁在簡(jiǎn)單荷載(集中荷載，集中力偶，分布荷載)作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式，以及簡(jiǎn)支梁跨中撓度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式已在本教材的附錄中以及一些手冊(cè)中給出。根據(jù)這些資料靈活運(yùn)用疊加原理，往往可較方便地計(jì)算復(fù)雜荷載情況下梁的指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。建筑力學(xué) 例題5-3 試按疊加原理求圖a所示

7、等直梁的跨中截面撓度 wC 和兩支座截面的轉(zhuǎn)角qA 及 qB。(a) 建筑力學(xué) 解： 作用在該簡(jiǎn)支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面C正對(duì)稱和反對(duì)稱荷載的疊加(圖b)。(b)(a)建筑力學(xué) 在集度為q/2的正對(duì)稱均布荷載作用下，有C建筑力學(xué)注意到反對(duì)稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分別視為受集度為 q/2 的均布荷載作用而跨長(zhǎng)為 l/2 的簡(jiǎn)支梁。于是利用附錄表中的公式有 在集度為q/2的反對(duì)稱均布荷載作用下，由于撓曲線也是與跨中截面反對(duì)稱的，故有C建筑力學(xué)按疊加原理得建筑力學(xué)5-4 梁的剛度校核提高梁的剛度

8、的措施一. 梁的剛度校核 對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強(qiáng)度條件的同時(shí)，為保證其正常工作還需對(duì)彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿足剛度條件：式中，l為跨長(zhǎng)， 為許可的撓度與跨長(zhǎng)之比(簡(jiǎn)稱許可撓跨比)，q為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱之為梁的剛度條件。建筑力學(xué) 土建工程中通常只限制梁的撓跨比， 。在機(jī)械工程中，對(duì)于主要的軸， ；對(duì)于傳動(dòng)軸還要求限制在安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角， 。建筑力學(xué) 例題5-5 圖a所示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組成(圖b)，試選擇既滿足強(qiáng)度條件又滿足剛度條件的槽鋼型號(hào)。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GPa， 。建筑力學(xué) 解：一般情況下，選擇梁的截面尺寸或選擇型鋼的型號(hào)

9、時(shí)，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸或型鋼型號(hào)，然后按切應(yīng)力強(qiáng)度條件以及剛度條件進(jìn)行校核，必要時(shí)再作更改。建筑力學(xué)1. 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號(hào) 作梁的剪力圖和彎矩圖如圖c和圖e。最大彎矩在距左支座0.8 m處，Mmax=62.4 kNm。梁所需的彎曲截面系數(shù)為Q建筑力學(xué)而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù)Wz36710-6 m3/2=183.510-6m3。由型鋼表查得20a號(hào)槽鋼其Wz=178 cm3，雖略小于所需的Wz=183.510-6 m3而最大彎曲正應(yīng)力將略高于許用彎曲正應(yīng)力s，但如超過(guò)不到5%，則工程上還是允許的。超過(guò)許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)為(175-170)/1703%，未超過(guò)5%，

10、故允許。事實(shí)上即使把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考慮進(jìn)去，超過(guò)許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)仍不到5%?，F(xiàn)加以檢驗(yàn)：建筑力學(xué)2. 按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件校核 最大剪力Qmax=138 kN，在左支座以右0.4 m范圍內(nèi)各橫截面上。每根槽鋼承受的最大剪力為每根20a號(hào)槽鋼其橫截面在中性軸一側(cè)的面積對(duì)中性軸的靜矩，根據(jù)該號(hào)槽鋼的簡(jiǎn)化尺寸(圖d)可計(jì)算如下：Qmax建筑力學(xué)當(dāng)然， 的值也可按下式得出：每根20a號(hào)槽鋼對(duì)中性軸的慣性矩由型鋼表查得為 Iz =1780 cm4于是Qmax建筑力學(xué)3. 按剛度條件校核 此簡(jiǎn)支梁上各集中荷載的指向相同，故可將跨中截面C的撓度wC作為梁的最大

11、撓度wmax。簡(jiǎn)支梁受單個(gè)集中荷載F 時(shí)，若荷載離左支座的距離a大于或等于離右支座的距離b，跨中撓度wC的計(jì)算公式為可見，對(duì)于此梁上的左邊兩個(gè)集中荷載，應(yīng)為建筑力學(xué)于是由疊加原理可得而許可撓度為由于wmaxw，故選用20a號(hào)槽鋼滿足剛度條件。建筑力學(xué)二. 提高梁的剛度的措施(1) 增大梁的彎曲剛度EI 由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量E大致相同(E210 GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來(lái)說(shuō)采用高強(qiáng)度鋼并無(wú)明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。建筑力學(xué) 跨長(zhǎng)為l 的簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布均布荷載時(shí)，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為(2) 調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)的體