經(jīng)濟數(shù)學基礎講義第章導數(shù)與微分

1、第2章導數(shù)與微分2.1極限概念研究函數(shù)是利用極限的方法來進行；極限是一個變量在變化過程中的變化趨勢 .例1圓的周長的求法.早在公元263年，古代數(shù)學家劉徽用圓內接正四邊形、正五邊 形、正八邊形、正十六邊形等的邊長近似圓的周長，顯然隨著邊數(shù)的增加，正多邊形 的邊長將無限趨近圓的周長 .例2討論當XT +必時，I的變化趨勢.例3討論一個定長的棒，每天截去一半，隨著天數(shù)的增加，棒長的變化趨勢?！耙怀咧?，日截其半，萬世不竭”一一莊子 ？天下定義2.3設函數(shù)f (X)在點Xo的鄰域(點Xo可以除外)內有定義，如果當 X無限趨于Xo(但X*X)時，f(X)無限趨近于某個常數(shù) A,則稱X趨于Xo時，f(X

2、)以A為極限， 記為阿 f(X)=A或 f(X)T A (XT Xo)若自變量X趨于Xo時，函數(shù)f (X)沒有一個固定的變化趨勢，則稱函數(shù)f (x)在Xo處沒有極限.在理解極限定義時要注意兩個細節(jié)：1. XT Xo 時，(X #Xo )2. X X( Xo) . Xo _、X(Xo)T Xo(包括這兩種情況)2例1討論y = x2時，Xm,x =?解：求極限時，可以利用極限的概念和直觀的了解，我們可以借助幾何圖形來求函數(shù)的極2限.由幾何圖形可以看出，當 XT 2時，y = X2 T 4,即lX =4X2 -1X2 -1例2 討論函數(shù) y =,當XT 1時的極限lim X -1X 11 X 1解

3、：此函數(shù)在X=1處沒有定義，可以借助圖形求極限.由E /口 , X2 -1圖形得到lim - / 15 = 2X 1 X -1左極限和右極限考慮函數(shù)y = JX ,依照極限的定義，不能考慮XT o的極限.因為y = jX在X o處無定義. xx E0 一 . 一 一又如函數(shù)f(X)=，如果討論XT 0是的極限，則函數(shù)分別在 X0XA0時不是同一個表達式，必須分別考慮.由此引出左右極限的概念.定義2.4 設函數(shù)f (X)在點X。的鄰域(X0點可以除外)內有定義，如果當X X0且X無限于X0 (即X從X0的左側趨于X0 ,記為XT X0-)時，函數(shù)f(X)無限地趨近于常數(shù) L,則稱當X趨于X0時，

4、f(X)以L為左極限，記作阿/二 0 .二/ (加)=L;如果當X AX0且X無限趨于X0 (即X從X0的右側趨于X0 ,記為XT X：)時，函數(shù)f (X)無限地趨近于常數(shù) R則稱當X趨于X0時，f(X)以R為右極限，記作一二 R .si r1 d Qi極限存在的充分必要條件：極限吧f(X)存在的充分必要條件是：函數(shù)f (X)在X0處的左，右極限都存在且相等lim /(X)= Em /(x)= A例 3 f(X)=,求X嗎f(X)解：注意到此函數(shù)當X=0的兩側表達式是不同，在0點處分別求左、右極限.lim J (x) = limj =1 lim f(X)= lim x=0 x )0 x)0 x

5、 0 -x W -可見左右極限都存在但不相等；由幾何圖形易見，由極限的定義知，函數(shù)在某點處有極限存在需在該點處的左右端同趨于某個常數(shù)，因此此函數(shù)在0點處極限不存在.無窮小量lim f(x)=0稱當xt %時，f(x)為無窮小量，簡稱無窮小. x rx0補充內容：無窮小量是一個特殊的變量，它與有極限變量的關系是：2 / 15變量y以為A極限的充分必要條件是：y可以表示成 A與一個無窮小量的和，即lim y = A：= y = A(lim =二0)無窮小量的有以下性質：性質1有限個無窮小量的和是無窮小量；性質2有限個無窮小量的乘積是無窮小量；性質3有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量.無窮大量：在某

6、個變化過程中，絕對值無限增大且可以大于任意給定的正實數(shù)的變量 稱為無窮大量.例如因為xlim2x =收，所以，當XT +如時,2X是無窮大量.無窮小量與無窮大量有如下“倒數(shù)關系”：1定理：當XT X0 (或XTg)時，若f (x)是無窮小(而f (x) #0),則 X 是無否 f (x)1大；反之，若f(X)是無窮大，則 二一是無窮小.人工)例 4 y =x2 ,當 XT 0 時，X2 T ?解：由圖形可知，當XT 0時，x2T 0,當XT 0時，X2是無窮小量.極限的運算.2.1極限的四則運算法則在某個變化過程中，變量 u,v分別以A,B為極限，則=lim u lim v = A Blim(

7、 u v) = lim u lim v = A B , lim( u v)求購X2解:=lim (x x) = (lim x)(lim x) =2 2 = 4解:求limX 1x2 -1x -1-1limx 1 x -1(x -1)(x 1)X -1= limS=2x 11八x2 一 1求 lim -2X 3x X3 / 15X2 1x2。)解:lim -2 二 limx(, X 1 1) 兩個重要極限 sin x （ 二1 XF:3xx fx2(31)x求limX_0 x 1 -1解:limx0X 1 -1=limX0(.X 1 - 1)( , X 1 1)x( X 1 1)2.2.21.

8、limX_0幾何說明： 如圖，設X為單位圓的圓心角，則sin xX對應的小三角形的面積為，X2 X 對應的扇形白面積為 一，X對應的大三角形的面積為2趨于0的，即之比的極限是趨于1的.例 1 limx0sin 3x解：limX )0Xsin 3x3sin 3x=lim x 0 3xsin 3x .=3 lim = 3x。 3xtan x當XT 0時，它們的面積都是213. lim (1)x1=e lim (1 x)x例2 求極限1 xm(1 3X).1斛：lim (13x）X 二網(wǎng)1 ；x）13x 1 31=e31例3求極限jm（1-2x）x=四(1+(2x) 2x“ =e”后1(解 l!”(

9、1-2x)X = limQ(1 ( -2x) 2x函數(shù)的連續(xù)性定義設函數(shù)f（x）在點X0的鄰域內有定義，若滿足ximif（x）=f（4），則稱函數(shù)f（X） x x0在點X0處連續(xù).點是f （x）的連續(xù)點.4 / 15函數(shù)間斷、間斷點的概念如果函數(shù)f(x)在點x。處不連續(xù)，則稱f(x)在點x。處發(fā)生間斷.使f(x)發(fā)生間斷的點x。，稱為f(x)的間斷點例如 函數(shù) y = x2,y=x3, y=sin x, y = cosx, y = |nx, y = ex在定義域內都是連續(xù)的.x +1 x 1J注意：此函數(shù)是分段函數(shù)，x=1是函數(shù)的分段點.解. lim J(x) =lim2x_3) =-1lim

10、 f (x) = lim (x+1) = 2x-1 -x_1 -， x_1 -x 1 -11ml f (x)不存在，f (x)在x=1處是間斷的. x 1,1c_ x sin x - 0例2 y = q x，問f (x)在x = 0處是否連續(xù)？0 x =01解： lim f (x) = lim xsin 一 = 0 = f (0) TOC o 1-5 h z X 0X 0 x(無窮小量X有界變量 =無窮小量)二f(x)在x=0處是連續(xù)的.結論：(1)基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的；(2)連續(xù)函數(shù)的四則運算、復合運算在其有定義處連續(xù)；(3)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的.x2例 3 lim e

11、 1 xx 0 cos xex1 x2e01 021 1 o斛：lim2 =2 = 2Jcos xcos 01x2注意：e、2 x是初等函數(shù)，在x=0處有定義，利用cos x結論有極限值等于函數(shù)值.2.4導數(shù)與微分的概念本節(jié)的主要內容是導數(shù)與微分的概念.三個引例邊際成本問題瞬時速率問題曲線切線問題引例1:邊際成本問題5 / 15C-總成本，q 總廠量已知C =C(q),當q0 T qo +Aq時(當自變量產(chǎn)生改變量，相應的函數(shù)也產(chǎn)生改變量)C(q)T C(qo +Aq) , C(qo 然 -C(qo)(成本平均變化率)， qC(q：q) -C(qo)lim(邊際成本)q o：q引例2:瞬時速率

12、問題路程S是時間t的函數(shù)S(t),當t從to T to +/時，S(t)從S(to)T S(to +M)S(to+&)-S(to)(平均速率) :tlimS(to+At)-S(to) (在to時刻的瞬時速率)二t引例3:曲線切線問題考慮曲線y= f(x)在x=Xo處的切線斜率.當 Xo T Xo +Ax 時，對應的 yoT yo +Ay,曲線上(%, f(x。)和(% +&x, f (x。+ Ax)兩點間割線的斜率為tan = f (xo ：x) - f (xo) xf (xox) - f (xo)(當 Axt o時)，tana = ijm tane=lim 稱為切線的斜率 .x oxo: x

13、C(qoq) -C(q。)C(q) = lqmoS(t)二眄廿)Tfo)關于函數(shù)y = f(x)xo-*xo+Ax, f (xo)-* f (xo+ Ax),考慮極限蛆 f(xo+x) f (xo)X )0 x定義設函數(shù)y = f (x)在點xo的鄰域內有定義，當自變量 x在點xo處取得改變量Ax(# o)6 / 15時，函數(shù)y取得相應的改變量.Ay = f (x0+Ax) f (x0)若當Axt 0時，兩個改變量之比 包的極限xyy lim =lim .,x 0 x .x 0f (x. ：x) - f (x0)存在,則稱函數(shù).xy = f (x)在點x0處可導,并稱此極限值為y = f (x

14、)在點x0處的導數(shù)，記為f (x0)或yx或即 f (x0) = lim f(x0 x)f(x0)x 0 x若極限不存在，則稱函數(shù)y= f (x)在點x0處不可導.在理解導數(shù)定義時要注意：導數(shù)也是逐點討論的.導數(shù)定義的意義數(shù)量意義變化率經(jīng)濟意義邊際成本幾何意義切線的斜率例 1y = f(x)=x2,求 f(1),f(3),f(2).思路：先求f (x),再求f (x0).解：因為 f (x) =x2, f (x lx) = (x lx)2則0f (x x) - f (x)x7m0(xx)2 -x2x=2x所以 f (x) =(x2)=2x, f (1) =2, f(3) =6, f 7-2)

15、= -4例 2 g(x) = ln x ,求 g (10), g (0.5).解：因為 g(x) =ln x, g(x + Ax) =ln(x+Ax)7 / 15lim g(x 加-g(x)ln(x lx) - In xlimx 0 xLXlim Inx p x1x.：x.-lim(ln) x= lnlxm 0(1 1 x + AX)”= lnex.1所以 g (10) = ,g (0.5) =210 . 1導數(shù)公式 (ln x)= x求導步驟1、求 f (x) ; 2、求 f (x)x 點.注意：f (x)是f (x)的導函數(shù)，函數(shù)在x0處的導數(shù)值f (xo) = f (x)微分的概念設y

16、= f (x),導數(shù)dy =55= yF= f，(x),兩邊同乘dx,得到函數(shù)的微分 dx dx微分 dy = df (x) = y dx = f (x)dx導數(shù)公式(c) = 0 (sin x) = cosx(ln x)= x(x-) _ ： x- 4 (cosx) = -sin x (ax) = ax ln a TOC o 1-5 h z xx(e ) = e微分公式由導數(shù)公式可以得到微分公式1.1 .(x ) - - x d(x ) - x- dx (ln x) = d(lnx)= dx xxd(cosx) = -sin xdx(sin x) = cosx d(sin x) = cosx

17、dx (cosx) = - sin x(ax) = ax ln a d(ax) = ax ln adx 一 ：一二 二;2.5導數(shù)的計算8 / 15導數(shù)的加法法則設u(x),v(x)在點x處可導，則u(x)v(x)在點x處可導亦可導，且(u(x)二 v(x) = u (x)二 v (x)(cv(x) = cv(x) ( c 為常數(shù))加法公式證明(u(x) v(x) = u (x) v (x)證：設 f(x) =u(x) +v(x),則f (x + Ax) = u(x + Ax)十 v(x + Ax), f (x) = u(x)+ v(x)f (x) =(u(x) v(x) = l0 f(x-

18、X - f x u(x ： =x)u(x) v(x + =x)v(x) lx=lim.x 0: lim u(x)limx 0.以x 0v(x Lx) - v(x)lx二 u (x) v (x)(u(x ：x) v(x：x) 一(u(x) v(x)由已知條件，u(x),v(x)均可導.導數(shù)的乘法法則設u(x),v(x)在點x處可導，則u(x) v(x)在點x處可導亦可導，且(u(x)v(x) =u (x)v(x) u(x)v (x)(cv(x): c v(x) cv (x); cv (x)導數(shù)除法法則u(x), 一 一、 一 一設u(x),v(x)在點x處可導，則上在點x處可導亦可導，且 v(x

19、)%)設函數(shù) y =5x3 4x +1 ,求 y = ?析:解:現(xiàn)在分別知道募函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式，利用上述法則可求它們組合后函數(shù)的導y = (5x3) (4x) + (1)(利用加法法則)9 / 15= 5(x3) -4(x)1(cv(x) =cv(x)=15x2 -4（利用導數(shù)公式（x町二嶺心，（c） = 0）例 2 設 y =4x3 _6 +2ln x,求 y.解：y =(4x3) -( x) (2lnx)= 4(x3) -(、, x) 2(lnx)(提示(x)12. x、.1(ln x)=- )x212=12x - 一2、x x例3設y = 3x +竺x,求y.4解：y，= （3x

20、） + （詈）,（提示（axy_x _=a ln a(cosx) r= -sinx)v1V= 3xln3 -(-sin x) =3xln3 -sin x一x3 1例 4y= +ln px , y =?2x311;1、斛：因為y=一十一 1nx (由對數(shù)的性質：ln JI = ln x2 = ln x)22 223 91所以y = 3x2 +工（其中常數(shù)的導數(shù)為 0）2 2x例 5 設 y = x2ex，求 y .解：利用導數(shù)的乘法法則，y = （x2）ex+x2（ex）（利用導數(shù)公式（ex） = ex）二 2xex x2ex = xex(2 x)解：方法1由導數(shù)基本公式（x4） = 4x3方法

21、2利用導數(shù)的乘法法則4224222222223y 二 x = x x y = (x ) = (x x ) = (x ) x x (x ) = 2x x x 2x = 4x說明無論用哪種方法其結果是唯一的小 sin x例 7 y =，求 y .10 / 15. 一解：萬法1將函數(shù)看成 y = sin x,利用乘法法則求導.x11 .1-sin x xcosxy = sin x 一 (sin x)二-二 sin x cosx =2 TOC o 1-5 h z x xx xx方法2利用導數(shù)的除法法則求導y=(x)，=內0sx 1s1nxxx其中u(x) =sin x,v(x) =x.兩個結果是完全一

22、樣的.例 8 求(tan x), 八 、.，sinx、. cosx cosx - sin x(sin x) 1解：(tanx) =() =2=cosxcos xcos x1(利用二角公式 sin2 x +cos2 x = 1)同理可求(cot x) =2一. sin x2.5.2復合函數(shù)求導法則問題：y =(2x + 3)2 ,求 y = ?y = (2x +3)100,則 y =?解：第一個問題y =(2x+3)2,求導數(shù)沒有直接公式可用.方法1：將函數(shù)展開 y =(2x 3)2 =4x2 12x 9利用加法法則有y =8x 12方法2：將函數(shù)寫成兩個因式乘積的形式2y = (2x+3) =

23、(2x+3)(2x+3),利用四則運算法則求導數(shù).y： =2(2x 3) 2(2x 3) =4(2x 3)第二個問題y = (2x + 3)10,展開？共101項，求導很麻煩. TOC o 1-5 h z 寫成因式乘積的形式，求導也將很麻煩.在這節(jié)課我們將介紹復合函數(shù)求導法則.討論y =(2x+3)100,引進中間變量u=2x + 3dy dy du9999y = = =100u2 =200(2x 3)dx du dx2.5.2復合函數(shù)求導法則定理設y=f(u), u= (x),且u= (x)在點x處可導，y=f (u)在點u=x)處可導，則復合函數(shù)y=f ( (x)在點x處可導，且y： =

24、f (u)a(x)或 yx =y； u；復合函數(shù)求導步驟11 / 15分清函數(shù)的復合層次，找出所有的中間變量； TOC o 1-5 h z 依照法則，由外向內一層層的直至對自變量求導多層復合的函數(shù)求導數(shù)對于多層復合的函數(shù)，即若丫 = f(u),u =(v),v=Wx),則 y= f，(u產(chǎn)，(v)Mx)或 yx =y： u：，v；注意：多層復合的函數(shù)求導數(shù)仍是經(jīng)過一切中間變量直至對自變量求導問題：求由方程x2+y2 =1所確定的隱函數(shù)y = y(x)的導數(shù)y？解：先將y從方程中解出來，得到 y = v1 _ x2和y = / _ X2-xx分別求導y:J7和y =亍1 -x21 -x2x將y

25、=、：1x2和丫 = JTT?分別代入，得 y =；2x -3x -2y +1 = 0 (1),1 , 2由(1)解得：y = (x - 3x 1)2exy +y -ex =0 在(2)中 F(x,y) =0 隱含 y = y(x)隱函數(shù)求導方法步驟方程兩邊求導，y = y(x)；整理方程，求出 y .例1求下列函數(shù)的導數(shù)或微分 2 xI-y =e ，求 y .解：方法一：由 y = e2x =e(1*)x =ex -exy=e2x +e2x =2e2x.這是用導數(shù)的乘法法則.方法二：利用復合函數(shù)求導法則，設 y = eu,u = 2xy.二(eu)u ux =2e2x (其結果是完全一樣的)

26、y = ex , 求 y .解：利用復合函數(shù)求導法則，設y =eu,u = Vx12 / 15u uy =(e )u ux =e112.x I2.x(3)y =ln cosx,求 dy.解：利用復合函數(shù)求導法則，設 y =ln u,u =cosx11y =(lnu)u ux= (cosx) =(-sin x) = -tanx, dy =-tanxdxucosx例2設丫 =元/ ,求y(0).解：先求一般點上函數(shù)的導數(shù)，再將 x = 0代入求彳#結果.y =(、.u)u (1-x2)x設y =，u,u =1 - x2 ,利用復合函數(shù)求導法則，:(-2x) -2 , y(0) =0.u1 -x2例 3 設函數(shù) y = sin2(2 + x3)，求 y.解：(首先對函數(shù)進行分解，找出所有中間變量)23y = u ,u =