線(xiàn)性控制第8章--線(xiàn)性離散控制系統(tǒng)課件

1、第8章 線(xiàn)性離散控制系統(tǒng)第8章 線(xiàn)性離散控制系統(tǒng)2隨著數(shù)字計(jì)算機(jī)，特別是微處理器的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)字控制器在許多場(chǎng)合已經(jīng)逐步取代了模擬控制器。離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)相比，雖然在本質(zhì)上有所不同，但是其分析和設(shè)計(jì)方法存在很大程度的相似性。本章在z變換理論基礎(chǔ)上，主要討論線(xiàn)性離散控制系統(tǒng)的分析和校正方法。 8.1 概述 第8章 線(xiàn)性離散控制系統(tǒng)1 8.2 信號(hào)采樣與恢復(fù) 8.3 z變換 8.4 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 8.5 離散控制系統(tǒng)的性能分析3 8.6 離散控制系統(tǒng)的數(shù)字校正234568.1 概述48.1.1 離散控制系統(tǒng)簡(jiǎn)介8.2.2 離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)和研究方法58.1.1 離散

2、控制系統(tǒng)簡(jiǎn)介A/D：經(jīng)采樣、量化、編碼轉(zhuǎn)換把模擬信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)。D/A：經(jīng)解碼、保持 (信號(hào)恢復(fù))將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化成模擬信號(hào)。8.1.1 離散控制系統(tǒng)簡(jiǎn)介A/D轉(zhuǎn)換過(guò)程是A/D轉(zhuǎn)換器每隔一個(gè)采樣周期對(duì)輸入的連續(xù)信號(hào)采樣一次，使其變?yōu)殡x散時(shí)間信號(hào)，再通過(guò)量化變成(二進(jìn)制表示的)數(shù)字信號(hào)。通常，采用采樣周期為常數(shù)即等速（單速）采樣的采樣方式。68.1.1 離散控制系統(tǒng)簡(jiǎn)介D/A轉(zhuǎn)換經(jīng)解碼過(guò)程把離散的數(shù)字信號(hào) 轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號(hào) ，再經(jīng)復(fù)現(xiàn)過(guò)程將離散的模擬信號(hào) 復(fù)現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號(hào) 去控制連續(xù)的被控對(duì)象。78.1.1 離散控制系統(tǒng)簡(jiǎn)介離散控制系統(tǒng)的定義：如果控制系統(tǒng)中有一處或多處的信號(hào)呈現(xiàn)脈沖序列

3、或數(shù)碼的形式，則稱(chēng)這類(lèi)控制系統(tǒng)為離散時(shí)間控制系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)離散控制系統(tǒng)。當(dāng)離散信號(hào)是脈沖序列形式時(shí)，稱(chēng)為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)；而將離散信號(hào)為數(shù)碼或數(shù)字序列形式的離散控制系統(tǒng)，稱(chēng)為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。88.1.2 離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)和研究方法與連續(xù)控制系統(tǒng)相比，離散控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)： 1) 數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。 2) 采用高精度的數(shù)字測(cè)量元件和數(shù)字控制元件，可以提高系統(tǒng)的測(cè)量和控制精度。 3) 可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)子系統(tǒng)，提高了設(shè)備的利用率，經(jīng)濟(jì)性好。 4) 在數(shù)字控制器中，由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變、控制靈活。 5) 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4、可以實(shí)現(xiàn)高級(jí)控制規(guī)律，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)管理和控制一體化。98.1.2 離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)和研究方法離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：從信號(hào)上看存在離散時(shí)間信號(hào)(離散信號(hào)、采樣信號(hào)、脈沖序列或數(shù)字序列)；從元件上看有采樣開(kāi)關(guān)與信號(hào)恢復(fù)器。研究方法：在時(shí)域中，需要采用差分方程對(duì)離散控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述；在頻域中，利用z變換這一數(shù)學(xué)工具得到離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。離散控制系統(tǒng)在z域中的分析方法與連續(xù)控制系統(tǒng)在s域中的分析方法有很多相似之處。108.2 信號(hào)采樣與恢復(fù)在離散控制系統(tǒng)中，一方面，為了把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列或數(shù)字序列，需要使用采樣器；另一方面，又需要使用保持器將脈沖序列或數(shù)字序列變換為連續(xù)

5、信號(hào)。因此，為了定量地研究離散控制系統(tǒng)，有必要對(duì)信號(hào)的采樣過(guò)程和恢復(fù)過(guò)程用數(shù)學(xué)的方法加以描述。118.2 信號(hào)采樣與恢復(fù)8.2.1 信號(hào)采樣8.2.2 采樣定理8.2.3 信號(hào)恢復(fù)128.2.1 信號(hào)采樣采樣過(guò)程：將連續(xù)信號(hào)變?yōu)殡x散信號(hào)的過(guò)程。T 為采樣周期。138.2.1 信號(hào)采樣離散信號(hào)x*(t)為一理想脈沖序列，脈沖僅在采樣時(shí)刻t=kT(k=0,1,2)出現(xiàn)，而脈沖強(qiáng)度由kT時(shí)刻的連續(xù)函數(shù)x (kT)值來(lái)確定。在數(shù)字式儀表或計(jì)算機(jī)中，離散信號(hào)x*(t)為一數(shù)字序列，而數(shù)字序列可以看作是以數(shù)字表示其幅值的脈沖序列，它與上述脈沖序列并沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。數(shù)學(xué)描述：148.2.2 采樣定理158.2

6、.2 采樣定理連續(xù)信號(hào)x(t)經(jīng)采樣后得到離散信號(hào)x*(t)，它仍應(yīng)包含連續(xù)信號(hào)x(t)的全部信息，也就是說(shuō)可以將離散信號(hào)x*(t)無(wú)失真地完全恢復(fù)為原來(lái)的連續(xù)信號(hào)x(t) 。香農(nóng)（Shannon）采樣定理：則采樣信號(hào)x*(t)可以完全復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)x(t)。其中，s為采樣頻率，T為采樣周期，h為連續(xù)信號(hào)中最高次諧波的角頻率。如果采樣頻率滿(mǎn)足下列條件采樣定理是從離散信號(hào)完全復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)的必要條件。該定理給出了信號(hào)采樣的最小采樣頻率，是設(shè)計(jì)離散控制系統(tǒng)時(shí)必須嚴(yán)格遵守的一條準(zhǔn)則。168.2.2 采樣定理采樣周期的選擇：工程實(shí)踐表明，根據(jù)表8-1給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期T，可以取得滿(mǎn)意的控制效果。

7、 控制參數(shù)采樣周期T/s流量13壓力15液位510溫度1020成分1020表 8-1 采樣周期T的參考數(shù)據(jù)178.2.2 采樣定理采樣周期的選擇：根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，從頻域性能指標(biāo)來(lái)看，隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣頻率可近似取為即采樣周期可按下式選取為從時(shí)域性能指標(biāo)來(lái)看，通過(guò)單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr或調(diào)節(jié)時(shí)間ts，按下列經(jīng)驗(yàn)公式選取：或者188.2.3 信號(hào)恢復(fù)零階保持器：將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換成在兩個(gè)連續(xù)采樣時(shí)刻之間保持常量的信號(hào)。信號(hào)恢復(fù)：將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)的過(guò)程。常用零階保持器來(lái)實(shí)現(xiàn)。1) 值外推x(kT+)=x(kT)(01，上式的無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的，那么可得利用z變換的定義式及z變換的基本定理，得到常

8、用函數(shù)的z變換表，如表8-2所示。x(t)=1(t) x(kT)=1 (k=0,1,2,3, )X(z)=1+z-1+z-2+z-k+解248.3.2 z變換的方法2) 部分分式法欲求拉氏變換X(s)的z變換，先將X(s)進(jìn)行部分分式分解，然后查z變換表，求得其對(duì)應(yīng)的z變換X(z)。例 8-3 已知X(s)=a/s(s+a)，求對(duì)應(yīng)的z變換X(z)。解 將X(s)表示為部分分式之和對(duì)應(yīng)的z變換為258.3.2 z變換的方法3) 留數(shù)法已知連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及其全部極點(diǎn)si(i=1,2, ,n)時(shí)，則x(t)的z變換X(z)可通過(guò)留數(shù)計(jì)算式求得。式中，si為彼此不相等的極點(diǎn)；ri

9、為重極點(diǎn)si的階數(shù)；n為彼此不相等的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。268.3.2 z變換的方法例 連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏變換為求對(duì)應(yīng)的z變換X(z)。解27表8-2 z變換的基本定理28表8-2 z變換的基本定理298.3.3 z變換的基本定理設(shè)x1(z)=Zx1(t)，x2(z)=Zx2(t)，x (z)=Zx(t)。在z變換中有一些與拉氏變換類(lèi)似的基本定理，應(yīng)用這些定理可使z變換的運(yùn)算變得簡(jiǎn)單方便。2) 滯后定理(負(fù)偏移定理、右偏移定理)時(shí)域信號(hào)滯后k個(gè)采樣周期，其z變換需乘以z-k。 1) 線(xiàn)性定理：離散信號(hào)線(xiàn)性組合的z變換等于它們的z變換的線(xiàn)性組合。式中a1、a2為常數(shù)。308.3.3 z變換的基本定理5

10、) 初值定理如果存在，那么 6) 終值定理：如果(z-1)X(z)在z平面的單位圓上和單位圓外均無(wú)極點(diǎn)，那么x(t)的終值為3) 超前定理(正偏移定理、左偏移定理)4) (復(fù)數(shù))位移定理式中a為常數(shù)。318.3.4 z反變換1) 冪級(jí)數(shù)(展開(kāi))法長(zhǎng)除法已知象函數(shù)X(z)，求原函數(shù)x*(t)或x(kT) 的運(yùn)算，稱(chēng)為z反變換，記為x*(t)=Z-1X(z)。設(shè)X(z)為有理函數(shù)將X(z)的分子和分母都寫(xiě)成z-1的升冪形式，則可以直接用分母去除分子，得到無(wú)窮冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式對(duì)應(yīng)的離散信號(hào)為328.3.4 z反變換例 已知試求其z反變換。解 將X(z)的分子和分母都寫(xiě)成z-1的升冪形式應(yīng)用長(zhǎng)除法得對(duì)應(yīng)

11、的離散信號(hào)x*(t) 為x(t)在各采樣時(shí)刻的值為x(0)=0； x(T)=10； x(2T)=30； x(3T)=70；338.3.4 z反變換2) 部分分式法先將X(z)/z展開(kāi)成部分分式的形式，然后再乘以z，化成的形式，通過(guò)查z變換表求得離散信號(hào)x*(t)或x(kT)或x(k)。348.3.4 z反變換例 已知，試求其Z反變換。查Z變換表得那么x(kT)或x(k)=10(1+2k) (k=0,1,2, )解358.3.4 z反變換3) 留數(shù)法留數(shù)法是求z反變換的一種普遍方法。x(kT)等于函數(shù)X(z)zk-1在其全部極點(diǎn)上的留數(shù)和。zi(i=1,2, ,n) 彼此不相等的極點(diǎn)n 彼此不相

12、等的極點(diǎn)個(gè)數(shù)ri(i=1,2, ,n) 重極點(diǎn)zi的重?cái)?shù)368.3.4 z反變換例 已知，試求其Z反變換。那么解378.4 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.4.3 離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖8.4.1 差分方程8.4.2 脈沖傳遞函數(shù)388.4.1 差分方程也可以用下列n階前向差分方程描述：398.4.1 差分方程求解差分方程常用的方法有迭代法和z變換法。1) 迭代法已知線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的差分方程式，并且給定輸出序列的初值，則可以遞推計(jì)算出在輸入作用下的輸出序列。例 已知下列二階差分方程輸入序列r(k)=1，初始條件c(0)=0，c(1)=1，試用迭代法求輸出序列c(k) (k=0,1,2, ,10) 。

13、408.4.1 差分方程解 由給定的差分方程可得遞推關(guān)系根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，求得418.4.1 差分方程2) z變換法解 設(shè)c*(t)的z變換為C(z)，由超前定理知對(duì)差分方程求z變換，可得對(duì)C(z)求z反變換，得到例 8-11 用z變換法解下列二階差分方程初始條件為c(0)=0，c(T)=1?；?28.4.2 脈沖傳遞函數(shù)1) 脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)(z傳遞函數(shù))：當(dāng)初始條件為零時(shí)，線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))輸出離散信號(hào)的z變換與輸入離散信號(hào)的z變換之比，即43利用z變換導(dǎo)出線(xiàn)性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，給線(xiàn)性離散系統(tǒng)的分析和綜合帶來(lái)極大的方便。 8.4.2 脈沖傳遞函數(shù)2) 脈沖

14、傳遞函數(shù)的物理意義 在大多數(shù)情況下，系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)c(t)，而不是離散信號(hào)，這時(shí)可在輸出端虛設(shè)一個(gè)與輸入采樣開(kāi)關(guān)同步的采樣開(kāi)關(guān)得到離散信號(hào)c*(t)，從而推導(dǎo)出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。448.4.2 脈沖傳遞函數(shù)假設(shè)當(dāng)n= 1, 2, 3, 時(shí)， g(nT)=0，即當(dāng)nk時(shí)， g(kTnT)=0。則有輸入脈沖序列根據(jù)疊加原理，輸出量c(t)為一系列脈沖響應(yīng)之和，即458.4.2 脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)z變換的定義，輸出量c(t)的z變換C(z)為468.4.2 脈沖傳遞函數(shù)上式可以寫(xiě)為那么脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的物理意義：脈沖傳遞函數(shù)G(z)是系統(tǒng)脈沖過(guò)渡函數(shù)g(t)經(jīng)采樣后g*(t)的z變換。

15、478.4.2 脈沖傳遞函數(shù)例 8-13 已知開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為G(s)=k/(s+a)(s+b)，試求對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解 將G(s)展開(kāi)為部分分式對(duì)應(yīng)的z變換為脈沖響應(yīng)g(t)級(jí)數(shù)求和法脈沖傳遞函數(shù)G(z)傳遞函數(shù)G(s)部分分式法或留數(shù)法差分方程z變換脈沖傳遞函數(shù)G(z)脈沖傳遞函數(shù)G(z)488.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖1) 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 環(huán)節(jié)間有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的情況有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)等于相串聯(lián)環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。498.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 環(huán)節(jié)間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的情況無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)

16、，串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)等于相串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積所對(duì)應(yīng)的z變換。508.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖有零階保持器時(shí)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，若W(s)所對(duì)應(yīng)的z變換為W(z)，則(1-e-Ts)W(s)所對(duì)應(yīng)的z變換是(1-z-1)W(z) 。518.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖連續(xù)信號(hào)進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)的情況連續(xù)的輸入信號(hào)直接進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)時(shí)，只能求得系統(tǒng)的輸出表達(dá)式C(z)。528.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2) 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在離散系統(tǒng)中，由于采樣開(kāi)關(guān)在系統(tǒng)中所設(shè)置的位置不同，結(jié)構(gòu)形式就不一樣，因此系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沒(méi)有一般的計(jì)算公式，只能根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)具體地求取。閉環(huán)

17、脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)離散控制系統(tǒng)輸出信號(hào)的z變換與輸入信號(hào)的z變換之比，即當(dāng)連續(xù)的輸入信號(hào)直接進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)時(shí)，而只能求得系統(tǒng)的輸出表達(dá)式C(z)。538.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的方法方法一：選擇系統(tǒng)輸出變量和采樣開(kāi)關(guān)輸出端的變量(中間變量)，用z域象函數(shù)列寫(xiě)方程組，消去中間變量，得到閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式。方法二：選擇系統(tǒng)輸出變量和采樣開(kāi)關(guān)輸入端的變量(中間變量)，用s域象函數(shù)列寫(xiě)方程組，然后對(duì)方程組中的各變量進(jìn)行采樣后取z變換，消去中間變量，得到閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式。s域象函數(shù)采樣的公式Y(jié)(s)X*(s)*=Y*(s)X*(s)Y*(s)X*(s)*=

18、Y*(s)X*(s)Y(s)X(s)*=YX*(s)548.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖例 設(shè)有如圖所示離散控制系統(tǒng)，在誤差信號(hào)傳遞通道上無(wú)采樣開(kāi)關(guān)。試求系統(tǒng)的輸出表達(dá)式C(z)。c*(t)r(t)c(t)TC(z)x(t)x*(t)TX(z)R(s)解 方法一：列寫(xiě)方程組X(z)=RG1(z)-G1G2H(z)X(z)C(z)=G2(z)X(z)558.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖消去中間變量，得方法二：列寫(xiě)方程組X(s)=R(s)- X*(s)G2(s)H(s)G1(s)C(s)=X*(s)G2(s)c*(t)r(t)c(t)TC(z)x(t)x*(t)TR(s)X(s)X*(s)

19、C*(s)568.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖消去中間變量，得對(duì)以上兩式離散化X*(s)=RG1*(s)- X*(s)G1G2H*(s)C*(s)=X*(s)G2*(s)以上兩式取z變換X(z)=RG1(z)- X(z)G1G2H(z)C(z)=X(z)G2(z)578.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖解 方法一：列寫(xiě)方程組X(z)=G1G2(z)E(z)-X(z)C(z)=G1(z)E(z)-X(z)E(z)=R(z)-G3(z)C(z)例 求如圖所示離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z)=C(z)/R(z)。r(t)c(t)c*(t)TC(z)R(s)C(s)x*(t)X(z)c*(t)

20、C(z)e*(t)E(z)圖 (a)588.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖消去中間變量，得r(t)c(t)c*(t)TC*(s)R(s)C(s)x*(t)X*(s)c*(t)C*(s)e*(t)E*(s)E(s)X (s)C (s)圖 (b)E(s)=R(s)- C*(s)G3(s)X(s)=E*(s)-X*(s)G1(s)G2(s)=E*(s)G1(s)G2(s)-X*(s)G1(s)G2(s)C(s)=E*(s)-X*(s)G1(s)=E*(s)G1(s)-X*(s)G1(s)方法二：列寫(xiě)方程組598.4.3 離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖對(duì)以上方程組離散化E*(s)=R*(s)- C*(s)

21、G3*(s)X*(s)=E*(s)G1G2*(s)-X*(s)G1G2*(s)C*(s)=E*(s)G1*(s)-X*(s)G1*(s)X(z)=E(z)G1G2(z)-X(z)G1G2(z)C(z)= E(z)G1(z)-X(z)G1(z)E(z)=R(z)- C(z)G3(z)取z變換消去中間變量，得60表8-3 典型閉環(huán)離散系統(tǒng)及其輸出z變換C(z)61表8-3 典型閉環(huán)離散系統(tǒng)及其輸出z變換C(z)628.5 離散控制系統(tǒng)的性能分析8.5.1 穩(wěn)定性8.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差8.5.2 動(dòng)態(tài)性能638.5.1 穩(wěn)定性1) 穩(wěn)定的充分必要條件線(xiàn)性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)pj - 閉環(huán)極點(diǎn) z

22、i 閉環(huán)零點(diǎn)M(z) 分子多項(xiàng)式 D(z) 分母多項(xiàng)式、特征多項(xiàng)式單位階躍輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出648.5.1 穩(wěn)定性1) 穩(wěn)定的充分必要條件線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1，即|pj|1，相應(yīng)的線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定條件z反變換得單位階躍響應(yīng)658.5.1 穩(wěn)定性2) 雙線(xiàn)性變換與穩(wěn)定判據(jù)通過(guò)一種雙線(xiàn)性變換，使z平面的單位圓內(nèi)映射到一個(gè)新平面的左半平面。雙線(xiàn)性變換或雙線(xiàn)性變換的映射關(guān)系：令z=x+jy，則668.5.1 穩(wěn)定性2) 雙線(xiàn)性變換與穩(wěn)定判據(jù) z平面的單位圓內(nèi)部：x2+y21u1u0，即w平面的右半平面。 z平面的單

23、位圓上：x2+y2=1u=0，即w平面的虛軸。0ujvw平面z平面xjy0-1利用勞斯判據(jù)判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 通過(guò)雙線(xiàn)性變換將特征方程D(z)=0變?yōu)樾碌奶卣鞣匠藾(w)=0； 對(duì)于新的特征方程D(w)=0，利用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。678.5.1 穩(wěn)定性將 代入上面的特征方程，得解w32.451.52w23.620.4w11.25w00.4Routh陣列表Routh表中第一列元素均為正，故離散系統(tǒng)穩(wěn)定。例 8.23 已知離散系統(tǒng)的特征方程為試判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。688.5.2 動(dòng)態(tài)性能69應(yīng)用z變換法分析線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，通常有時(shí)域法、根軌跡法和頻域法，其中時(shí)域法最簡(jiǎn)便。

24、如果已知離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)遞推法或者z變換法可以求出在典型給定輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。與線(xiàn)性定常連續(xù)控制系統(tǒng)類(lèi)似，線(xiàn)性定常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在z平面上的分布對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性起著決定性的作用。8.5.2 動(dòng)態(tài)性能離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上的分布對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)具有重要影響。確定它們之間的關(guān)系，對(duì)分析和設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)具有指導(dǎo)意義。1) 閉環(huán)極點(diǎn)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系線(xiàn)性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)708.5.2 動(dòng)態(tài)性能單位階躍響應(yīng)- 穩(wěn)態(tài)分量- 暫態(tài)分量718.5.2 動(dòng)態(tài)性能0pj1：?jiǎn)握{(diào)衰減過(guò)程-1pj1：?jiǎn)握{(diào)發(fā)散過(guò)程pj-1：正負(fù)交替振蕩的發(fā)散過(guò)程Pj=1：等幅過(guò)程pj=-1

25、：正負(fù)交替振蕩的等幅過(guò)程728.5.2 動(dòng)態(tài)性能|pj|1：發(fā)散振蕩過(guò)程pk越靠近正實(shí)軸，振蕩周期越大； pk越靠近負(fù)實(shí)軸，振蕩周期越小。|pj|1：衰減振蕩過(guò)程738.5.2 動(dòng)態(tài)性能由階躍響應(yīng)求性能指標(biāo)的步驟如下：2) 動(dòng)態(tài)性能分析(1) 由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z) ，求輸出量的z變換：(2) 利用長(zhǎng)除法將上式展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，通過(guò)z反變換求得c*(t)。(3) 由c*(t)在各采樣時(shí)刻的值，得到p%、tr、tp、ts等性能指標(biāo)。其中p%為最高采樣值的超調(diào)量； tr為第一次等于或接近穩(wěn)態(tài)值所對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)刻； tp為最高采樣值所對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)刻； ts為進(jìn)入允許誤差范圍時(shí)采樣點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的采樣時(shí)刻。74

26、8.5.2 動(dòng)態(tài)性能例8-20 已知系統(tǒng)如圖所示，T=1(s)，K=1，r(t)=1(t)，試求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解 開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為758.5.2 動(dòng)態(tài)性能單位階躍響應(yīng)的z變換為用長(zhǎng)除法將C(z)展成冪級(jí)數(shù)：則768.5.2 動(dòng)態(tài)性能由圖可以求得給定離散系統(tǒng)的近似性能指標(biāo)為：p%=40%、tr=2(s)、tp=4(s)、ts=12(s)778.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性與連續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似，它是用穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)表征的，且穩(wěn)態(tài)誤差的大小取決于系統(tǒng)的特性(結(jié)構(gòu)和參數(shù))和輸入信號(hào)的形式，仍然與系統(tǒng)的無(wú)差度(或系統(tǒng)的型別)有關(guān)。下面介紹計(jì)算線(xiàn)性離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的終值定理和靜態(tài)

27、誤差系數(shù)法。788.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差1) 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差誤差脈沖傳遞函數(shù)誤差當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定，即e(z)的全部極點(diǎn)都位于z平面的單位圓內(nèi)時(shí)，應(yīng)用終值定理可得穩(wěn)態(tài)誤差798.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差2) 靜態(tài)誤差系數(shù)法系統(tǒng)的型別：若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)含有個(gè)z=1的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，則稱(chēng)之為型系統(tǒng)或系統(tǒng)的無(wú)差度為 。 階躍輸入信號(hào)r(t)=R1(t)式中- 靜態(tài)位置誤差系數(shù)808.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差 速度輸入信號(hào)r(t)=Rt式中- 靜態(tài)速度誤差系數(shù)818.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差 加速度輸入信號(hào)r(t)=Rt2/2式中- 靜態(tài)加速度誤差系數(shù)828.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差表8-6 單位反饋離散控制系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)

28、和穩(wěn)態(tài)誤差838.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差例 已知離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，采樣周期T=1秒，求在 r(t)=3+4t 作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。r(t)e(t)e*(t)c(t)圖 離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解 開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為848.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)特征方程為即解得特征根特征根均位于z平面的單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。靜態(tài)誤差系數(shù)分別為則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為858.6 數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)線(xiàn)性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法：1、模擬化設(shè)計(jì)-間接設(shè)計(jì)法 先按連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后將所設(shè)計(jì)的模擬控制器離散化得到數(shù)字控制器。2、數(shù)字化設(shè)計(jì)-根軌跡法和頻率法 根軌跡法和頻率法在離散系統(tǒng)中的推廣。將控制對(duì)象離散化，并用離散系統(tǒng)理論在z平面或w

29、平面上進(jìn)行設(shè)計(jì)的兩種直接設(shè)計(jì)方法。3、數(shù)字化設(shè)計(jì)-數(shù)字控制器直接設(shè)計(jì)法 直接根據(jù)離散系統(tǒng)理論在z域進(jìn)行綜合的解析方法。868.6 數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)8.6.1 模擬控制器的離散化8.6.3 頻率特性法校正8.6.2 根軌跡法校正8.6.4 數(shù)字控制器直接設(shè)計(jì)法878.6.1 模擬控制器的離散化將模擬控制器離散化為數(shù)字控制器，首先要滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件，即一個(gè)穩(wěn)定的模擬控制器離散化后，應(yīng)當(dāng)也是一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)字控制器。此外，數(shù)字控制器在關(guān)鍵頻率范圍內(nèi)的頻率特性，應(yīng)與模擬控制器相近，這樣才能起到設(shè)計(jì)時(shí)預(yù)期的綜合校正作用。離散化的方法很多，這里介紹常用的兩種方法：雙線(xiàn)性變換法和零極點(diǎn)匹配法。888.6.1 模擬控制器的離散化89由z變換算子 可得 ，而 的級(jí)數(shù)展開(kāi)式為取其一次近似，即于是，有雙線(xiàn)性變換公式因此，雙線(xiàn)性變換法的離散化公式為該雙線(xiàn)性變換又叫做圖斯?。═ustin）變換，它是最常用的一種離散化方法。 1雙線(xiàn)性變換法8.6.1 模擬控制器的離散化902零極點(diǎn)匹配法零極點(diǎn)匹配法的具體步驟如下：1) 用 將s平面的零點(diǎn)、極點(diǎn) 映射z為平面的零點(diǎn)、極點(diǎn) 。通常選擇 。否則，當(dāng) 有 的極點(diǎn)，必須使用某個(gè)不為零的頻率值。2) 如果在s平面上傳遞函數(shù)有無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)，則在z平面上配置 的零點(diǎn)。的增益 ，使得3) 數(shù)字控制器與模擬控制器的增益相匹配。選擇8.6.1 模擬控制器的離散化91解 雙線(xiàn)