九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)應(yīng)用之最大利潤問題(教師版)

1、14最大利潤問題知識點(diǎn)一：當(dāng)自變量為全體實(shí)數(shù)時的二次函數(shù)的最值對于二次函數(shù)y = ad+Ax + cva#O）,當(dāng)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)時，求它的最值，常用的方法有兩種：配方法：把y = +H + c（。干0）通過配方化成y =。（工一/?）2+攵的形式，若0,則當(dāng)時, y收小他=太；若“V0,則當(dāng)工=人時，丁農(nóng)力值=鼠八/ b、, 4ac 1廠 .eiw b .4ac-lr2、式法：y = ax + -y + jr- 若 4，則 IX = 一不時，）被小值=J7/ : TOC o 1-5 h z 2a 4“，2ab4i/c /72若“ 0,二當(dāng) x = = 一3 時,22doi2x 2

2、解法2：（配方法） y = x2 + 3x + = -(x2 + 6x +1) = (X2 +6x + 9-9 + l) = (x + 3)2 -8 = (x + 3)2 -4 22 2222當(dāng)?shù)?-3時，y有最小值-4。解法3：(判別式法),/ y = x +3x + , x2 +6x + (l-2y) = 0門是任意實(shí)數(shù)，4 = 364 （1 -2y） 20,二），2-% 即y 有最小值-4,此時/+6x + 9 = 0,即 x= -3變式訓(xùn)練1、求二次函數(shù)y = x? +4X一5的最大值或最小值。解：由“=1 0知，拋物線開口向上h 44K b： 20 16當(dāng)一三=一示二一2時）有最小值

3、為小值=_ = 一9知識點(diǎn)二：當(dāng)自變量在一定范圍內(nèi)時的二次函數(shù)的最值對于二次函數(shù)y = ad+公+ c（。黃0）,當(dāng)自變量4在一定范圍內(nèi)取值時，求它的最值，通常要考慮函數(shù)的增減性，若自變量X的取值范圍是內(nèi)WxW%2,則若則當(dāng)工=一（時，）,最仇二若工=一上不在內(nèi)WxW占范圍內(nèi)時，則要考慮函數(shù)在x,范圍內(nèi)的增減性： 2aI .如果在此范圍內(nèi)，隨X的增大而增大，則當(dāng)工=/時，/大值=奴；+/芍+c：當(dāng)X = X1時，y酸小魚=at： +如+ C；II.如果在此范圍內(nèi)，y隨工的增大而減小，則當(dāng)k=r時，3”火,=ax；+bM+c：當(dāng)工=時，y最小值=混+此+c例2分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)），=/一2工

4、一3的最大值或最小值。（1）0工2.（2）2入3分析：先求出拋物線丁 = /一21-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后看橫坐標(biāo)是否在所規(guī)定的自變量的取值范圍內(nèi)，根據(jù) 不同情況討論確定最值；也可畫出圖象，利用圖象求解。解：,/ y = x2 - 2x - 3 = x2 - 2x +1 -1 - 3 = （x2 - 2 + 1） - 4 = （x -1）2 - 4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1, -4）（1）.=1在0Vx0, .當(dāng)x=l時，y有最小值，最小值為-4,=1是0VxV2范圍內(nèi)的中點(diǎn)，圖象在x=l兩側(cè)均接近兩端點(diǎn)，不存在最大值.3 =1不在2WxW3范圍內(nèi)，.函數(shù)y = - - 2x-3（2 x 3）的圖象是拋物線

5、y=x2-2x-3的一部分（如圖實(shí)線部分所示）又“=10, .拋物線） =/一2刀一3的開口向上，當(dāng)xl時，y隨x的增大而增大.當(dāng)x=3 時，y最大值=32-2x3 3 = 0.當(dāng) x=2 時，），最小值=2?-2x2-3 = -3.點(diǎn)撥：求函數(shù)在自變量某一取值范圍內(nèi)的最值，可根據(jù)函數(shù)增減性進(jìn)行討論，或畫出函數(shù)圖象，借助于圖象 的直觀性求解。變式訓(xùn)練1、求二次函數(shù)y = / -4x + 3在0WxW6范圍內(nèi)的最大值和最小值。解：y = /-4% + 3 = （x2）2-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2, -1）而x=2在0WxW6范圍內(nèi)，且”=1 0,，當(dāng)x =2時，y有最小值，）最小的=；當(dāng)?shù)?6時，y有

6、最大值，y最大業(yè)=62 - 4 x 6 + 3 = 15.知識點(diǎn)三：銷售中的最大利潤問題利用二次函數(shù)求利潤問題的一般步驟是：（1）設(shè)未知數(shù)，引入自變量：（2）用含自變量的代數(shù)式分別表示銷售單價或銷售量及銷售收入：（3）用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品的購進(jìn)成本：（4）用因變量（函數(shù)）及含自變量的代數(shù)式分別表示銷售利潤，列出函數(shù)關(guān)系式：（5）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出最值及取得最值時自變量的值。例3（天津中考）注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了一種分析問題的方法，你可以根據(jù)這個方 法按要求完成本題的解答，也可以選用其他方法，按照解答題的一般要求進(jìn)行解答即可。某商品現(xiàn)在的售價為每件35元，每天可賣

7、出50件.市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每降價1元，每天可多 賣出2件，請你幫助分析，當(dāng)每件商品降價多少元時，可使每天的銷售額最大，最大銷售額是多少？設(shè)每件商品降價x元，每天的銷售額為y元.（1）分析：根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，用含x的式子填表：原價每件降價1元每件降價2元 每件降價X元每件售價（元）353433 每天銷量（件）505254 （2）由以上分析，用含x的式子表示），并求出問題的解，分析：（1）原價每件為35元，降價x元后，每件的售價為（35-x）元，降價x元后，銷量可增加2x件，所 以銷量為（50+2r）件；（2）列出二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)= （35-a） （50+2r）后，再利用二次函數(shù)

8、的性質(zhì)，求出最值, 即可解決實(shí)際問題，解：（1）第一行：35-X：第二行：50+2r（2）根據(jù)題意,每天的銷售額y = （35x）（50 + 2x） = 2%2+20 x + 1750（0=（lO+.r） （500-101）,整理得 y = 10（x 20）2+9000,.（2）當(dāng)= 20 時，y 有最大值為 9000, 20 +50=70答：8000元不是最大利潤，最大利潤為9000元，此時籃球的銷售單價為70元。題型一：二次函數(shù)最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用例1（湖北武漢）某賓館有50個房間供游客住宿，當(dāng)每個房間的房價為每天180元時，房間全部住滿；當(dāng)每 個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個

9、房間空出。賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費(fèi) 用。根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元。設(shè)每個房間的房價每天增加x元（x為10的正整數(shù)倍）。（1）設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）設(shè)賓館一天的利潤為卬元，求W與x的函數(shù)關(guān)系式：（3）一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？分析：（1）房價每增加10元，就會空出一個房間，則增加X元，可空出房間土間，故y = 50-；（2）居1010的每個房間1人的禮涌是,時）十.一2。）兀，如卬一（5（）-二 時）+2。）：（3）利用求：次函數(shù)Q大k出 10最小值的方法，求出當(dāng)x為

10、何值時，W有最大值.注意x的取值范闈是0WxW160,在此取值范闈確定最大值。解：（1） y = 50-lx（0160,且x 是 10 的正整數(shù)倍）。(2)W =(5。一L a)(1 80+X-20) =-x （2）依題意得：y = （40- -（2x-540） = - - x2 + 65x + 540.+34x + 8000.(3)W =_x2 + 34x + 8000 = -(x-170尸 +10890.1010/ a = - 0 ,且對稱軸為 x= 170,10.當(dāng)x-120 = (-A+8)(x-40)-120 = -A-2 +10 x-440 = -(x-100)2 +60.,.當(dāng)x

11、=100時，即銷售單價為100元時，年獲利最大，最大值為60萬元。(3)令 z=40,得40 = -!-+10X一440,即/一200 + 9600 =0,20解得$=80,=120.由圖象可知，要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應(yīng)在80元到120元之間。又因?yàn)殇N售單價越低，銷售量 越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應(yīng)定為80元。變式訓(xùn)練.為了擴(kuò)大內(nèi)需，讓惠于農(nóng)民，豐富農(nóng)民的業(yè)余生活，鼓勵送彩電下鄉(xiāng)，國家決定對購買彩電的農(nóng)戶實(shí)行政 府補(bǔ)貼，規(guī)定每購買一臺彩電，政府補(bǔ)貼若干元，經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電分?jǐn)?shù)y （臺）與補(bǔ)貼款額x （元）之間大 致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，

12、隨著補(bǔ)貼款額x的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺彩電的收益z （元） 會相應(yīng)降低且z與x之間也大致滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系。（1）在政府未出補(bǔ)貼措施前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元？，（2）在政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，分別求出該商場銷售彩電臺數(shù)y和每臺家電的收益z與政府補(bǔ)貼款額x之間的 函數(shù)關(guān)系式：（3）要使該商場銷售彩電的總收益W （元）最大，政府應(yīng)將每臺補(bǔ)貼款額x定為多少？并求出總收益“，的最解：（1）該商場銷售家電的總收益為800 x200= 160000 （元，（2）依題意可設(shè)y =占工+ 800 z = M + 200:圖的直線過點(diǎn)（400,1200）.圖的直線過點(diǎn)（200, 16

13、0）,，有400】+800= 1200.200+200= 160.解得 =1,七=-1y = x + 800, = -1 x + 200.5 .5（3）由題意，得W = yz = * + 800）（Lx + 200）+ 4O.v +160000 = 一（ （x - 100尸 +162000.，政府應(yīng)將每臺補(bǔ)貼款額X定為100元時，該商場銷售彩電的總收益取得最大值，其最大值為162000元。題型三：實(shí)際問題中的方案決策例3 某小區(qū)有一長100?，寬80，的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場，設(shè)計(jì)圖案如圖所示。陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū) 域（四塊綠化區(qū)域是全等矩形），空白區(qū)域?yàn)榛顒訁^(qū)域，且四周出口一樣寬，寬度不小于5

14、0小，不大于60小。預(yù)計(jì) 活動區(qū)域每平方米造價60元，綠化區(qū)域每平方米造價50元。（1）設(shè)其中一塊綠化區(qū)域的長邊長為*，寫出工程總造價），（元）與x /）的函數(shù)式系式（寫出x的取值 范圍）；（2）如果小區(qū)投資46.9萬元，問能否完成工程任務(wù)？若能，請寫出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請說 明理由。（參考數(shù)據(jù)：右41.732 ）分析：（1）總造價=活動區(qū)域的面積X60+綠化區(qū)域的面積x50： （2）令），=469000,求出x的值，看是否符合 實(shí)際的取值范圍即可，解：（1） 綠化區(qū)域的長邊長為xcm,出口寬為（100-22 ,，綠化區(qū)域的短邊長為Lx80-（100-2x） = （x-10）l2

15、，綠化區(qū)域的面積為：4x（x-10） = 4x2 -AOx.活動區(qū)域的面積為：100 x 80 - 4x（x10） = 8000 - 4x2 + 40 x.總造價y = 50 （4x2 - 40 x） + 60 x（8000 - 4x2 + 40 x） = 200.V2 -2000a- + 480000-240 x2 + 2400 x=-40 x2 +400.V + 480000 （20 x25）.（2）能，v-Ox2 + 400.r +480000 = 469000 , ?. x2 - lOx- 275 = 0,解得x= ）士;0、” =510a.，=5 + 106人22.32 （負(fù)值舍去）

16、，即投資46.9萬元能完成工程任務(wù)。方案一：一塊矩形綠化區(qū)域的長為23/，寬為13?：方案二：一塊矩形綠化區(qū)域的長為24/，寬為14/：方案三：一塊矩形綠化區(qū)域的長為25/，寬為15,。變式訓(xùn)練1.為紀(jì)念辛亥革命100周年，某廣告公司要設(shè)計(jì)一幅周長為126的矩形廣告牌，廣告設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米1000 元，設(shè)矩形一邊長為x（ m）,而積為S （川2）。（1）求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍；（2）請你設(shè)計(jì)一個方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出這個費(fèi)用；（3）為使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請你按要求設(shè)計(jì)，并計(jì)算出可獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)用.（精確到1元，參考資料：當(dāng)矩形的長是寬與（

17、長+寬）的比例中項(xiàng)時，這樣的矩形叫做黃金矩形；、后x 2. 236）解：（1）矩形的周長為12孫 其中一邊長為W2,，S=x (6-a) =-x2 +6x ,自變量x的取值范圍是0 Vx 6.（2） 5=-/+6工=一。-3）2+9, 當(dāng)x=3時，S最大為9,此時廣告費(fèi)用最多，即矩形廣告牌設(shè)計(jì)成邊長為3?的正方形時，面枳最大，最大面積為9小2,此時可獲得的最多設(shè)計(jì)費(fèi)用為9X1000 =9000 （元）。（3）設(shè)黃金矩形的長為卬”,。+ = 6, 寬為從，根據(jù)題意，得,=/?（ + /7）,4 = 3.5 3,、或b = 9-3忘 =9 + 3 6CI = -3y 3,（舍去）即當(dāng)矩形長為（36

18、一3）7時，將成為黃金矩形.所以5=。 = （3、5-3）（9-36）=36（、后一2）.此時可獲得設(shè)計(jì)費(fèi)為 1000 x 36(、5 2) = 36000 x(2.236 2) = 8496(元)一、能力培養(yǎng)產(chǎn)品每件售價（萬元）每件成本（萬元）每年其他費(fèi)用（萬元）每年最大產(chǎn)銷量（件）甲6a20200乙20H）40+0.05a280某公司計(jì)劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每年產(chǎn)銷x件。己知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如下表:其中“為常數(shù)，且3W5。（1）若產(chǎn)銷甲乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為W萬元、力萬元，直接寫出X、”與X的函數(shù)關(guān)系式：（2）分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)，品的最大年利潤：（3）為獲得最大年

19、利潤，該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？請說明理由。22靜：05 V3C5. ：，隨卜的墻大兩塔大.VjrOOO.當(dāng)EW時.乃取狎找大儂11孫200a”丁尸產(chǎn)“005/M0 xY0 O.OXr OO）Jt46O.-:.當(dāng)Z100時小謝f的博大而墻大.2分丁工 80.二當(dāng)NO時,力取得最大值448珠匕 若生產(chǎn)甲種產(chǎn)亂，最大年和W為。儂-2碗）萬元，若生產(chǎn)乙種產(chǎn)乩 酸大年利潤為0）的對稱軸為直線=1,且經(jīng)過點(diǎn)（l,y）,v2,”），試比較V和戶的 大?。簓i V2 （填或“=）。.已知二次函數(shù)y有最大值4,且圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離是8,對稱軸為x=-3,求此二次函數(shù)的表達(dá)式。.某農(nóng)機(jī)服務(wù)站銷售一批柴油

20、，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元。為了支援我市抗旱救災(zāi)，農(nóng)機(jī)服務(wù) 站決定采取降價措施。經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果每桶柴油降價1元，農(nóng)機(jī)服務(wù)站平均每天可多售出2桶。（1）假設(shè)每桶柴油降價x元，每天銷售這種柴油所獲利潤為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）每桶柴油降價多少元出售，農(nóng)機(jī)服務(wù)站每天銷售這種柴油可獲得最大利潤？此時，與降價前比較，每天 銷售這種柴油可多獲利多少元？.國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟(jì)”政策后，某環(huán)保節(jié)能設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)品供不應(yīng)求。若該企業(yè)的某種環(huán) 保設(shè)備每月的產(chǎn)量保持在一定的范圍，每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元，己 知這種設(shè)備的月產(chǎn)量x （套）與每套的售價y,（萬元）之間滿足關(guān)系式# = 1702x,月產(chǎn)量x （套）與生產(chǎn)總成本 y2 （萬元）存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系。（1）直接寫出”與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求月產(chǎn)量x的范圍：（3）當(dāng)月產(chǎn)量x （套）為多少時，這種設(shè)備的利潤W （萬元）最大？最大利潤是多少？4 M（萬元）參考答案O提示：-=x2+4a-7= （x+2） 2-11.”（）.函數(shù)有最小值，當(dāng)犬=-2時，函數(shù)的最小值是TLB提示:y=-2x2-4x+ =- （x+1）43 .-5WxW0,.當(dāng)x=T時，y有最大值3：當(dāng)工=-5時，y有最