2012013第一學期數(shù)學建模選修課試題卷1

1、2012-2013 第一學期數(shù)學建模選修課試題一、解釋下列詞語，并舉例說明（每小題滿分5分，共15分）.模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡索、抽象、提煉出原型的替代品， 模型反映了原型中人們需要的一部分。.數(shù)學模型對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了特定的目的，根據(jù)特有的的內在規(guī)律做出一些 必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結構。即提煉數(shù)學結構的過程。.抽象模型通過人們對原型的反復認識，將獲取的知識以經(jīng)驗的形式直接存儲在大腦中的模型 稱之謂思維模型.如汽車司機對方向盤的操作.二、簡答題（每小題滿分8分，共24分）.模型的分類按照模型替代原型的方式，模型可以簡單分為形象模型

2、和抽象模型兩類形 象模型：直觀模型、物理模型、分子結構模型等；抽象模型：思維模型、符號模 型、數(shù)學模型等。.數(shù)學建模的基本步驟）建模準備：確立建模課題的過程；2）建模假設：根據(jù)建模的目的對原型進行抽象、簡化。有目的性原則、簡明 性原則、真實性原則和全面性原則；3）構造模型：在建模假設的基礎上，進一步分析建模假設的各條款，選擇恰 當?shù)臄?shù)學工具和構造模型的方法對其進行表征，構造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分 析模型的特征和模型的結構特點，設計或選擇求解模型的數(shù)學刻劃實際問題的數(shù) 學模型.；4）模型求解：構造數(shù)學模型之后，方法和算法，并借助計算機完成對模型的 求解；5）模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對模型

3、求解的數(shù)字結果，或進行穩(wěn)定性第2頁共12頁分析，或進行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進行誤差分析等。；6)模型檢驗：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實際中去對模型進行 檢驗，看它是否符合客觀實際；7)模型應用：模型應用是數(shù)學建模的宗旨，將其用于分析、研究和解決實際 問題，充分發(fā)揮數(shù)學模型在生產和科研中的特殊作用 .3.數(shù)學模型的作用應用數(shù)學去解決各類實際問題，建立數(shù)學模型是把錯綜復雜的實際問題簡 化、抽象為合理的數(shù)學結構的過程，利用數(shù)學理論和方法分析和解決問題，通過 調查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究固有特征和內在聯(lián)系，抓住主要矛盾，建立反 映實際的數(shù)量關系，來解決實際問題。三、解答題(滿分20分)

4、(1):問題國慶慶典活動的中心廣場有數(shù)萬名學生手持花環(huán)組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺120米，方陣縱列95人，每列長度192米，試問第一、二兩排間距多大能 夠達到滿意的觀禮效果?(2)、問題分析解答：可以認為從觀禮位置看到的縱列上每個花的部分是一樣的。設觀禮者居高a米，從觀禮位置看到的縱列上每個花的部分高度為b米。依題意，每列從第一個人到最后一個人(第95人)有94個間空，列長192米，則每列相鄰二人平均間距約2米。為簡單起見，不妨設位于192米長的隊列中點前后的兩人間隔是2米，則a _ 120 + (95+ 2)廠 2，設第一、二排間距為 x米，則第3頁共12頁a 120 + jt2x1

5、20一 m 一 一0十95四、綜合題（21分）K.養(yǎng)魚問題（7n+1, 7n, 7n+2）我國為支持農村經(jīng)濟發(fā)展，免費提某種魚苗用以支持某地區(qū)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展。 設某地區(qū)有一池塘，其水面面積 100 100平方米，根據(jù)當?shù)丨h(huán)境測出每平方米養(yǎng) 魚不超過1公斤，每公斤魚苗大約有 500條，魚可四季生長，每天的生長重量與 魚自重成正比，360天可長成成魚，其重量為2公斤，每公斤魚每天需要飼料0.005 公斤，給魚池內只投放魚苗，池內魚的繁殖與死亡均可忽略不計，市場上魚飼料價 格0.2元/公斤，此種魚的銷售價格為：每條魚重量（公斤）0.2-0.750.75-1.51.5-20.2每公斤的售價（元）6810

6、0請你為一承包戶設計一下最優(yōu)方案.1.此承包護承包期為一年；2.此承包護承包 期為三年；此承包護承包期為三十年.對養(yǎng)魚問題數(shù)學建模摘要：本文據(jù)題意再結合現(xiàn)實生活中的實際情況，忽略部分次要因素， 建立解決養(yǎng)魚問題的數(shù)學模型。從簡單的側邊描述和設計了基本的養(yǎng)育模型：模型：基本養(yǎng)殖模型，一年賣一次，投放一定數(shù)量的魚讓魚長成成魚；此模型都從某方面反映了養(yǎng)魚問題。由于養(yǎng)魚問題的復雜性、多 變性，我們忽略了部分養(yǎng)魚的因素，并應用線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃模型予 以解決我們的養(yǎng)魚問題。關鍵詞：養(yǎng)魚模型線性規(guī)劃最大利潤（1）、問題提出設某地有一池塘，其水面面積約為100X 100m2,用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下第4頁共

7、12頁 的假設下，設計能獲取較大利潤的三年的養(yǎng)魚方案。魚的存活空間為1kg / m2;每1kg魚每天需要的飼料為0.005kg ,市場上魚飼料的價格為 0.2元/kg ；魚苗的價格忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚；魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，360天長為成魚，成魚的重量為2kg；池內魚的繁殖與死亡均忽略；若q為魚重，則此種魚的售價為：0元/kgq 0.26元/kg0.2 q 0.758元/kg0.75 q 1.5 10 / kg 1.5 q 2該池內只能投放魚苗(2)、問題分析本文主要是設計一個可以獲得最佳的養(yǎng)魚方案，我們知道魚塘的面積，魚的 存活空間，不考慮魚的繁殖與

8、死亡，每1kg魚每天需要的飼料以及魚長成成魚的時間以及不同質量魚的價格，將魚的價位與魚的養(yǎng)殖時間聯(lián)系起來，構建一個價 格體系。但由于養(yǎng)魚問題的復雜性，我們忽略了部分影響?zhàn)B魚的因素，并應用線 性規(guī)劃模型予以解決養(yǎng)魚問題。(3)、模型假設 1、該池內只能投放魚苗。而且不考慮魚的繁殖與死亡；2、魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，360天長為成魚，成魚的重量為2kg；3、魚的存活空間為1kg /m2；每1kg魚每天需要的飼料為0.005kg,市場上魚飼料 的價格為0.2元/kg；魚苗的價格忽略不計，每1kg魚苗大約有500條魚4、假設魚在生長過程中沒有出現(xiàn)過變異，每條魚的生長都服從生長系數(shù)

9、。5、假設我們在捕魚的過程中，魚都是新鮮的，可以買到題目所給的價格。6、假設每天捕的魚都能夠正常賣出，沒有魚殘留下來。7、放養(yǎng)魚苗和捕魚在一年四季都能進行，不受時間、季節(jié)的限制。8、放入的魚苗不受個體差異的影響，都能按照題目所給的條件生長，同時放入的魚苗在相同的時間內能長到同樣大。9、市場上魚的售價和飼料的售價在三年之內沒有發(fā)生變化。(4)、模型構成與求解符號說明：以下為文本中使用的符號：a0 最初放入的魚的數(shù)量第5頁共12頁魚每天增重的比例。Ct 每條魚在養(yǎng)殖t大的條件下需要的飼料費用。mt每條魚在養(yǎng)殖t大的條件下的重量。M 三年的收益總額。a每天放入的魚苗數(shù)目。qt 每條魚在養(yǎng)殖t大的條件

10、下的重量。(5)、基本養(yǎng)殖模型假設將魚苗一次性放入魚塘，等到年終長成成魚是一次性賣出，第二年、第 三年都分別按照第一年的方案。根據(jù)魚塘的容量，等到魚長成成魚時的質量為 2kg,每條魚的存活空間為1 kg/m2,則我們設最初放入的魚的數(shù)量為 , a。=10000/2=500(條)設魚每天增重的 比例為，則 1000/500(1)360 =2000化簡可以得到=360 1000 1計算可以求出 =0.0191 TOC o 1-5 h z 設養(yǎng)殖t大的條件下每條魚的重量為 mt,則mt =1/500(1)t設每條魚在養(yǎng)殖t大的條件下需要的飼料費用為 gtitiCt=1/500(1) 0.005 0.

11、23/250(1)1i 1設三年的收益總額為M ,則M=10 5000 2 3 5000ct 3通過計算可以得出最大利潤為：M= 3 (100000 34415) 196753.2故在這個模型的狀態(tài)和條件下養(yǎng)魚，三年可以獲得的收益為196573.2元。(6)、模型評價此模型是根據(jù)原有的條件假設之下，結合現(xiàn)實生活中的實際情況，忽略部分次要因素，建立解決養(yǎng)魚問題的數(shù)學模型。模型講的是計算出一整年魚塘中可以養(yǎng)的魚的數(shù)量，計算出魚長成成魚后的利潤；這個模型是最基本得模型。不足：但在現(xiàn)實生活中不可取，因為在魚在某段時間內還存在一些空間，這樣會有很大的浪費。五、復述題(21分)Q.三級火箭發(fā)射衛(wèi)星模型.(

12、3n+1)解答：第6頁共12頁首先通過天體物理學知識求解得到發(fā)人造衛(wèi)星的在軌速度。又通過動力守恒定律 求解出火箭的飛行速度與其噴氣推動力、火箭初始質量和飛行過程中的質量有關, 進而分析得出提高火箭的飛行速度的簡單措施。最后問題一：由萬有引力定律及牛頓第三定律推理得到v R g r當r 600 km/s r時，帶入得：v末7.58km/s問題二：由v(t) ulnd 式得火箭的末速度有噴氣速度及火箭在飛行中的質 m(t)量決定，為了提高火箭的末速度可以通過提高噴氣速度和減少火箭在飛行過程中 的質量。具體地說就是加大火箭推力，拋掉已經(jīng)沒用的結構，以此來加大火箭末 速度。10% 時：vm 6.6 k

13、m/s,問題三：由計算得到vm uln ，當u 3km/s, 由此得到結論：使用一級火箭不能發(fā)射人造衛(wèi)星。問題四：燃料用完時末速度為v u1 ln 0mP問題五：二級火箭：要使 v2 10.5km/s,則應使：k 11.2,而：m一m2一mP 149 mP即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星需要148噸重的火箭。三級火箭：要使 v3 10.5km/s ,則 k 3.25,而 m1 m2 m3 mP /mP 77 即 發(fā)射一噸重的衛(wèi)星需要76噸重的火箭，由此可見三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了 一半。4k 1k 1四級火箭：v4 3ln 12ln 要使 v4 10.5km/s ,則0.1k 10.1k 1k 1 /

14、0.1k 1 2.45,k 1.92 ,而 m1 m2 m3 mdmP /mP 65。即使用四級 火箭發(fā)射1噸重的衛(wèi)星需要64噸重的火箭，比三級火箭要省。但是由于工藝的復雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進器，所以使用四級或四 級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最好的方案。當然若燃料的價錢很便宜而推進器的價錢很貴切且制作工藝非常復雜的 話，也可選擇二級火箭。關鍵詞：動量守恒定律萬有引力定律牛頓第三定律一、 問題重述建立一個模型說明要用三級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星的道理第7頁共12頁1設衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，證明其速度為 v rJ, R為地球半徑，r r為衛(wèi)星與地心距離，g為地球地面重力加速度。要把

15、衛(wèi)星送上離地面600km的軌道， 火箭末速度應為多少？2設火箭飛行中速度為v(t),質量為m(t),初速度為零，初始質量為mo,火箭噴 出的氣體相對于火箭的速度為 u,忽略重力和阻力對火箭的影響。用動量守恒原理 證明v(t) uln&。由此你認為要提高火箭的末速度應采取什么措施？m(t)3火箭質量包括3部分：有效載荷(衛(wèi)星)mp；燃料m結構(外殼、燃料艙等) m,其中m在m+m中的比例計作 ，一般不小于10%證明若mp=0 (即火箭不帶衛(wèi) 星)，則燃料用完時火箭達到的最大速度為 Vmuln o已知目前的u=3km/s,取=10%求ve這個結果說明什么？4假設火箭燃料燃燒的同時，不斷丟棄無用的結

16、構部分，即結構質量與燃料質 量以 和1一 的比例同時減少，用動量守恒原理證明 v(t) (1 )uln0。問燃m(t)料用完時火箭末速度為多少？與前面的結果有何不同。5 4是個理想化的模型，實際上只能用建造多級火箭的辦法一段段地丟棄無用 的結構部分。計m為第i級火箭質量(燃料和結構部分)，m為結構質量(對 各級是一樣的)。有效載荷仍用mp表示。當?shù)谝患壍娜剂嫌猛陼r丟棄第一級的結 構，同時第二級點火。再設燃燒級的初始質量與其負載質量之比保持不變，比例k 1系數(shù)為k0證明3級火箭的末速度v3 3uln計算要v3=10.5km/s,發(fā)射1 k 1噸重的衛(wèi)星需要多重的火箭(u, 用以前的數(shù)據(jù))。若用2

17、級火箭或4級火箭， 結果如何？由此得出使用3級火箭發(fā)射衛(wèi)星的道理)二、基本假設1衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運動。2、地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球對衛(wèi)星的引力忽略不計。3、忽略重力和阻力對火箭的影響、4、假設衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動5、假設產生影響的各個因素相互獨立；三、符號說明v：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的速度R:地球半徑為r :衛(wèi)星與地心距離g :地球地面重力加速度第8頁共12頁vt :火箭飛行中速度mt :火箭飛行中質量m0:火箭初始質量u：火箭噴出的氣體相對于火箭的速度mp :有效載荷(衛(wèi)星)mf :燃料ms :結構(外殼、燃料艙等)，其中m

18、s在mt ms中的比例計作mi :為第i級火箭質量k：燃燒級的初始質量與其負載質量的比例系數(shù)Vi ：第i級火箭的速度四、問題的分析問題一：由萬有引力定律及牛頓第三定律得：f GMm/r2mv2/r(5-1-1 )在地面上：GMm/R2mg(5-1-2 )由(5-1-1 )和(5-1-2)聯(lián)立得： v rJ&(5-1-3)當 r 600km/s時，帶入(5-1-3)式得：v末 7.58km/s問題二：用動量守恒原理證明vulndm(t)由動量守恒定律得：m(t)v(t) m(t t)v(t t) t ( t2) (v(t) t) dt(5-2-1 )火箭在t 時刻的質量和速度分別為 m(t)和

19、v(t) 有：m(t t) m(t) dm t ( t2)(5-2-2)dt由(5-2-1 )和(5-2-2 )聯(lián)立得：mdv u 電 (5-2-3 ) dt dt由此解得：v(t) uln . (5-2-4)得以證明。 m(t)由(5-2-4)式得火箭的末速度有噴氣速度及火箭在飛行中的質量決定，為了 提高火箭的末速度可以通過提高噴氣速度和減少火箭在飛行過程中的質量。具體 地說就是加大火箭推力，拋掉已經(jīng)沒用的結構，以此來加大火箭末速度。第9頁共12頁m0問題三：由問題二的結果知：v(t) uln m(t)在此問題中m0 mf msmsmf ms m(t) ms (5-3-1 )代入(5-2-4

20、)式解得：vm uln (5-3-2)當 u 3 km,/s ,10% 時：vm 6.6 km/s由此得使用一級火箭不能發(fā)射人造衛(wèi)星。問題四：記結構質量ms在ms mF中占的比例為 ,假設火箭理想，它能隨時拋棄無用的結構，即結構質量與燃料質量以與1的比例同時減少建立模型：由動量守恒定律mtvt m t t 1m vt u t O t2dt(5-4-1 )dmdm/ 八、得到：mu 1(5-4-2)dtdt解得：vt u1 ln S-,得證。 m t理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料耗盡時，結構質量也逐漸拋盡，它的最終質量為mP,所以燃料用完時末速度為：v u1lnm0,mP只要m。足

21、夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，發(fā)射衛(wèi)星要使v 10.5km/m才行，則可推算出m0 /mp約為51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要 50噸重的理想火箭。問題五：理想過程的實際逼近 一一多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)考慮二級火箭：由vt v0 uln 值 (5-5-1 ),第一級火箭燃燒完時，其末速度為： mtv2 uln里一m2 mP ( 5-5-2 ),第二級火箭燃盡時，末速度為 m m2mpm2mpm1m2mpm?mp,二一、v v uln uln ? (5-5-3)m2mpm1m2mpm2mp又由假設燃燒級的初始質量與其負載質量之比保持不變，比例系數(shù)為k,可知:m1 k m2 mpm2 kmp(5-5-4 ),代入上式，并且仍設 u 3km/s,取 0.1則可得:第10頁共12頁m1V2 31n豆叵0.1m11m2mpml 1 mP0.1m2mP3ln上工20.1k 16lnk 1 (5-5-5 )0.1k 1要使V