江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽提優(yōu)教程教案：第講染色問題

1、第14講 染色問題本節(jié)主要講述用染色的方法解有關(guān)的競(jìng)賽題染色，是一種輔助解題的手段，通過染色，把研究對(duì)象分類標(biāo)記，以便直觀形象地解決問題，因此染色就是分類的思想的具體化，例如染成兩種顏色，就可以看成是奇偶分析的一種表現(xiàn)形式染色，也是構(gòu)造抽屜的一個(gè)重要方法，利用染色分類，從而構(gòu)造出抽屜，用抽屜原理來解題A類例題例1 有一個(gè)66的棋盤，剪去其左上角和右下角各一個(gè)小格(邊長(zhǎng)為1)后，剩下的圖形能不能剪成17個(gè)12的小矩形？ 剪去國際象棋棋盤左上角22的正方形后，能不能用15個(gè)由四個(gè)格子組成的L形完全覆蓋？例1(2)例1(！) 分析 把棋盤的格子用染色分成兩類，由此說明留下的圖形不能滿足題目的要求證明

2、 如圖，把66棋盤相間染成黑、白二色，使相鄰兩格染色不同則剪去的兩格同色但每個(gè)12小矩形都由一個(gè)白格一個(gè)黑格組成，故不可能把剩下的圖形剪成17個(gè)12矩形 如圖，把88方格按列染色，第1，3，5，7列染黑，第2、4、6、8列染白這樣染色，其中黑格有偶數(shù)個(gè)由于每個(gè)L形蓋住三黑一白或三白一黑，故15個(gè)L形一定蓋住奇數(shù)個(gè)黑格，故不可能 說明 用不同的染色方法解決不同的問題例2 用若干個(gè)由四個(gè)單位正方形組成的“L”形紙片無重疊地拼成一個(gè)mn的矩形，則mn必是8的倍數(shù)分析 易證mn是4的倍數(shù)，再用染色法證mn是8的倍數(shù)證明：每個(gè)L形有4個(gè)方格，故4|mn于是m、n中至少有一個(gè)為偶數(shù)設(shè)列數(shù)n為偶數(shù)，則按奇數(shù)

3、列染紅，偶數(shù)列染藍(lán)于是紅格與藍(lán)格各有 eq f(1,2)mn個(gè)，而 eq f(1,2)mn是偶數(shù)每個(gè)L形或蓋住3紅1藍(lán)，或蓋住1紅3藍(lán)，設(shè)前者有p個(gè)，后者有q個(gè)于是紅格共蓋住3p+q個(gè)即p+q為偶數(shù)，即有偶數(shù)個(gè)L形設(shè)有2k個(gè)L形于是mn=2k4=8k故證說明 奇偶分析與染色聯(lián)合運(yùn)用解決本題情景再現(xiàn)1下面是俄羅斯方塊的七個(gè)圖形：請(qǐng)你用它們拼出(A)圖，再用它們拼出(B)圖(每塊只能用一次，并且不準(zhǔn)翻過來用)如果能拼出來，就在圖形上畫出拼法，并寫明七個(gè)圖形的編號(hào)；如果不能拼出來，就說明理由2能否用圖中各種形狀的紙片（不能剪開）拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為75的正方形？（圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1）請(qǐng)說明理由 B

4、類例題例3 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：一定存在無窮條長(zhǎng)為1的線段，這些線段的端點(diǎn)為同一顏色 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：存在同色的三點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為另兩點(diǎn)中點(diǎn)分析 任意染色而又要求出現(xiàn)具有某種性質(zhì)的圖形，這是染色問題常見的題型，常用抽屜原理或設(shè)置兩難命題的方法解證明 取邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)中必有兩個(gè)頂點(diǎn)同色同色兩頂點(diǎn)連成線段即為一條滿足要求的線段，由于邊長(zhǎng)為1的等邊三角形有無數(shù)個(gè)，故滿足要求的線段有無數(shù)條 取同色兩點(diǎn)A、B，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使BC=AB，再延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AD=AB，若C、D中有一點(diǎn)為紅色，例如點(diǎn)C為紅色，則點(diǎn)B為AC中點(diǎn)

5、則命題成立否則，C、D全藍(lán)，考慮AB中點(diǎn)M，它也是CD中點(diǎn)故無論M染紅還是藍(lán)，均得證說明 中，兩種顏色就是兩個(gè)“抽屜”，三個(gè)點(diǎn)就是三個(gè)“蘋果”，于是根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)點(diǎn)落入同一抽屜中，這里實(shí)際上構(gòu)造了一個(gè)兩難命題：非此即彼，二者必居其一讓同一點(diǎn)既是某兩個(gè)紅點(diǎn)的中點(diǎn)，又是兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)的中點(diǎn)，從而陷入兩難選擇的境地，于是滿足條件的圖形必然存在達(dá)到證明的目的例4 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：一定可以找到無窮多個(gè)頂點(diǎn)為為同一種顏色的等腰三角形 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：一定可以找到無窮多個(gè)頂點(diǎn)為為同一種顏色的等腰直角三角形分析 同樣可以設(shè)置兩難命題：由于等腰三

6、角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，故先選兩個(gè)同色點(diǎn)連成底邊，再在連線的垂直平分線上找同色的點(diǎn)，這是解法1的思路利用圓的半徑相等來構(gòu)造等腰三角形的兩腰，這是解法2的思路利用抽屜原理，任5個(gè)點(diǎn)中必有三點(diǎn)同色，只要這5點(diǎn)中任三點(diǎn)都是一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)即可，而正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中任三個(gè)都是等腰三角形的頂點(diǎn)，這是解法3的思路連正方形的對(duì)角線即得到兩個(gè)等腰直角三角形，所以從正方形入手解決相題第2問 證明1 任取兩個(gè)同色點(diǎn)A、B(設(shè)同紅)，作AB的垂直平分線MN，若MN上(除與AB交點(diǎn)外)有紅色點(diǎn)，則有紅色三角形，若無紅色點(diǎn)，則MN上至多一個(gè)紅點(diǎn)其余均藍(lán)，取關(guān)于AB對(duì)稱的兩點(diǎn)C、D，均藍(lán)則若AB上有(除交點(diǎn)

7、外)藍(lán)點(diǎn)，則有藍(lán)色三角形，若無藍(lán)點(diǎn)，則在矩形EFGH內(nèi)任取一點(diǎn)K(不在邊上)若K為藍(lán)，則可在CD上取兩點(diǎn)與之構(gòu)成藍(lán)色三角形，若K為紅，則可在AB上找到兩點(diǎn)與之構(gòu)成紅色三角形證明2 任取一紅點(diǎn)O，以O(shè)為圓心任作一圓，若此圓上有不是同一直徑端點(diǎn)的兩個(gè)紅點(diǎn)A、B，則出現(xiàn)紅色頂點(diǎn)等腰三角形OAB，若圓上只有一個(gè)紅點(diǎn)或只有同一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是紅點(diǎn)，則圓上有無數(shù)藍(lán)點(diǎn)，取兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)(不關(guān)于紅點(diǎn)為端點(diǎn)的直徑對(duì)稱)C、D，于是CD的垂直平分線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)E、F為藍(lán)點(diǎn)，于是存在藍(lán)色頂點(diǎn)的等腰三角形CDE證明3 取一個(gè)正五邊形ABCDE，根據(jù)抽屜原理，它的5個(gè)頂點(diǎn)中，必有三個(gè)頂點(diǎn)(例如A、B、C)同色，則ABC即為

8、等腰三角形證明 任取兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)A、B，以AB為一邊作正方形ABCD，若C、D有一為藍(lán)色，則出現(xiàn)藍(lán)色三角形若C、D均紅，則對(duì)角線交點(diǎn)E或紅或藍(lán)， 出現(xiàn)紅色或藍(lán)色等腰直角三角形顯然按此作法可以得到無數(shù)個(gè)等腰直角三角形(由本題也可以證明上一題)例5 設(shè)平面上給出了有限個(gè)點(diǎn)(不少于五點(diǎn))的集合S，其中若干個(gè)點(diǎn)被染成紅色，其余點(diǎn)被染成藍(lán)色，且任意三個(gè)同色點(diǎn)不共線求證：存在一個(gè)三角形，具有下述性質(zhì)： 以S中的三個(gè)同色點(diǎn)為頂點(diǎn)； 此三角形至少有一條邊上不含另一種顏色的點(diǎn)分析 要證明存在同色三角形不難，而要滿足第個(gè)條件，可以用最小數(shù)原理證明 由于S中至少有五點(diǎn)，這些點(diǎn)染成兩種顏色，故必存在三點(diǎn)同色且據(jù)已知，此三

9、點(diǎn)不共線，故可連成三角形取所有同色三角形，由于S只有有限個(gè)點(diǎn)，從而能連出的同色三角形只有有限個(gè)，故其中必有面積最小的其中面積最小的三角形即為所求首先，這個(gè)三角形滿足條件，其次，若其三邊上均有另一種顏色的點(diǎn)，則此三點(diǎn)必可連出三角形，此連出三角形面積更小，矛盾說明 最小數(shù)原理，即極端原理見第十二講例6 將平面上的每個(gè)點(diǎn)都染上紅、藍(lán)二色之一，證明：存在兩個(gè)相似的三角形，其相似比為1995，且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色(1995年全國聯(lián)賽加試題)分析 把相似三角形特殊化，變成證明相似的直角三角形，在矩形的網(wǎng)格中去找相似的直角三角形，這是證法1的思路證法2則是研究形狀更特殊的直角三角形：含一個(gè)角為30的

10、直角三角形證明可以找到任意邊長(zhǎng)的這樣的三角形，于是對(duì)任意的相似比，本題均可證證法3則是考慮兩個(gè)同心圓上三條半徑交圓得的三組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連出的兩個(gè)三角形一定相似，于是只要考慮找同心圓上的同色點(diǎn)，而要得到3個(gè)同色點(diǎn)，只要任取5個(gè)只染了兩種顏色的點(diǎn)就行；而要得到5個(gè)同色點(diǎn)，則只要取9個(gè)只染了兩種顏色的點(diǎn)即行證明1 首先證明平面上一定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點(diǎn)同色設(shè)此兩點(diǎn)為P、Q，不妨設(shè)P、Q同著紅色過P、Q作直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點(diǎn)著紅色，則存在紅色直角三角形若l1、l2上除P、Q外均無紅色點(diǎn)，則在l1上任取異于P的兩點(diǎn)R、S，則R

11、、S必著藍(lán)色，過R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍(lán)色RST即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形下面再證明存在兩個(gè)相似比為1995的相似的直角三角形設(shè)直角三角形ABC三頂點(diǎn)同色(B為直角)把ABC補(bǔ)成矩形ABCD(如圖)把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù)，n1，本題中取n=1995)連結(jié)對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn)，把矩形ABCD分成n2個(gè)小矩形AB邊上的分點(diǎn)共有n+1個(gè)，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色，(否則任兩個(gè)相鄰分點(diǎn)異色，則可得A、B異色)，不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E、F同色考察E、F所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F，若E、F異色，則EFE或DFF為三個(gè)頂點(diǎn)同色的小直角三角形若E、F同色，再考察以此二點(diǎn)為頂

12、點(diǎn)而在其左邊的小矩形，這樣依次考察過去，不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色同樣，BC邊上也存在兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)同色，設(shè)為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)異色，則存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)都同色現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，MNH為頂點(diǎn)同色的直角三角形由n=1995，故MNHABC，且相似比為1995，且這兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)分別同色證明2 首先證明：設(shè)a為任意正實(shí)數(shù)，存在距離為2a的同色兩點(diǎn)任取一點(diǎn)O(設(shè)為紅色點(diǎn))，以O(shè)為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個(gè)紅

13、點(diǎn)，則存在距離為2a的兩個(gè)紅點(diǎn)，若圓上沒有紅點(diǎn)，則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)均為藍(lán)色，但此六邊形邊長(zhǎng)為2a故存在距離為2a的兩個(gè)藍(lán)色點(diǎn)下面證明：存在邊長(zhǎng)為a， eq r(3)a，2a的直角三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色如上證，存在距離為2a的同色兩點(diǎn)A、B(設(shè)為紅點(diǎn))，以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點(diǎn)為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形若C、D、E、F為藍(lán)色，則存在滿足要求的藍(lán)色三角形下面再證明本題：由上證知，存在邊長(zhǎng)為a， eq r(3)a，2a及1995a，1995 eq r(3)a，19952a的兩個(gè)同色三角形，滿足要求證明3 以任一點(diǎn)O為圓心

14、，a及1995a為半徑作兩個(gè)同心圓，在小圓上任取9點(diǎn)，其中必有5點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A，B，C，D，E，則此五點(diǎn)中必存在三點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C則ABC與ABC為滿足要求的三角形情景再現(xiàn)3以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：一定存在一個(gè)矩形，它的四個(gè)頂點(diǎn)同色4以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：一定可以找到無窮多個(gè)頂點(diǎn)全為同一種顏色的全等三角形5圖中是一個(gè)66的方格棋盤，現(xiàn)將部分11小方格涂成紅色。如果隨意劃掉3行3列，都要使得剩下的方格中一定有一個(gè)是紅色的，那么至少要涂多少個(gè)方格？6有兩個(gè)同心圓，圓上的每個(gè)點(diǎn)都用

15、紅、藍(lán)、黃三色之一染色試證明：可以分別在每個(gè)圓上找到同色的三個(gè)點(diǎn)連成圓的內(nèi)接三角形，且這兩個(gè)三角形相似C類例題例7 把平面上每個(gè)點(diǎn)都以紅、黃兩色之一著色求證：一定存在一個(gè)邊長(zhǎng)為1或 eq r(3)的正三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)是同色的分析 邊長(zhǎng)為1及 eq r(3)的三角形在半徑為1的圓內(nèi)接正六邊形中出現(xiàn)，故應(yīng)設(shè)法在這樣的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi)找滿足要求的三角形以紅點(diǎn)M為圓心，1為半徑作圓，6等分此圓，若其中沒有紅點(diǎn)，則存在邊長(zhǎng)為 eq r(3)的黃頂點(diǎn)三角形，若有紅點(diǎn)R，則與之相鄰的兩分點(diǎn)中有紅點(diǎn)則有邊長(zhǎng)為1的紅頂點(diǎn)三角形，若與R相鄰的兩分點(diǎn)均黃，則考慮直徑RQ的另一端點(diǎn)Q，若為黃則可證故應(yīng)相距為2的兩

16、點(diǎn)R、Q，這樣就可構(gòu)造兩難命題了證明：1任取一染成紅色的點(diǎn)P，以P為圓心，1為半徑作圓，如果圓上及圓內(nèi)的點(diǎn)都是紅色，則存在邊長(zhǎng)為1及 eq r(3)的三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同為紅色若圓上及圓內(nèi)的點(diǎn)不全染成紅色則存在圓上或圓內(nèi)一染成黃色的點(diǎn)Q，|PQ|1作PQR，使PR=QR=2，則R必與P、Q之一染色不同設(shè)R與Q染色不同，即R染紅色2取QR中點(diǎn)M，則M必與Q、R之一同色設(shè)與R同色，即同為紅色以RM=1為一邊，作正三角形RMS、RMT若S、T中任一點(diǎn)染紅，則存在邊長(zhǎng)為1的紅色頂點(diǎn)三角形若S、T都為黃色，則與Q組成邊長(zhǎng)為 eq r(3)的黃色頂點(diǎn)三角形說明 把問題歸結(jié)為相距為2的異色兩點(diǎn)例8 在一張1

17、00100的方格紙內(nèi)，能否把數(shù)字0，1，2分別放在每一個(gè)小方格內(nèi)(每格放一個(gè)數(shù))，使得任意由34(及43)小方格構(gòu)成的矩形中都有3個(gè)0，4個(gè)1及5個(gè)2分析 34方格由4個(gè)31方格組成，因此研究這樣的方格的可能填法證明 設(shè)存在這樣的填法兩個(gè)圖形中填入的0、1、2的個(gè)數(shù)如果完全相同，就稱這兩個(gè)圖形是填法相同的圖形圖11現(xiàn)在研究圖中的4個(gè)31或13矩形(陰影部分)，由于它們都與中心的33矩形組成34矩形，若存在滿足要求的填法時(shí)，它們的填法必相同圖22對(duì)于任一3n矩形(如圖2中部)，比較兩個(gè)只相錯(cuò)一個(gè)13矩形的兩個(gè)34矩形，知，同色的13矩形的填法應(yīng)相同即染色是周期出現(xiàn)的題3現(xiàn)考慮112矩形，如圖2，

18、根據(jù)的結(jié)果可知，圖2中同色的13或31矩形的填法相同于是每個(gè)112矩形應(yīng)與一個(gè)34矩形的填法相同即圖中一面的112矩形含有4個(gè)13矩形，分別有4種顏色4但112矩形中填了5個(gè)2，從而必有某個(gè)13矩形中填了2個(gè)2不妨設(shè)黃色的13矩形中填了2個(gè)2于是用下面的112矩形的染色法知每個(gè)112矩形中至少有6個(gè)2由3、4矛盾，知這樣的填法不存在情景再現(xiàn)7設(shè)有428個(gè)小方格，給每個(gè)小方格都染上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的一種試證明：至少存在一個(gè)矩形，它的四個(gè)角的小正方形同色 419小方格如上染三色，試證：至少存在一個(gè)矩形，它的四個(gè)角的小正方形同色8一個(gè)等邊三角形的三邊上所有的點(diǎn)(包括頂點(diǎn))都染成紅色或藍(lán)色之一，求

19、證：必可找到此三角形邊上的三個(gè)同色點(diǎn)，使這三個(gè)點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)習(xí)題141以任意方式對(duì)數(shù)軸上的每一坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：對(duì)任意正整數(shù)，都能找到無數(shù)個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)同色且坐標(biāo)能被整除2以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：一定可以找到無窮多個(gè)頂點(diǎn)全為同一種顏色的三角形3對(duì)正整數(shù)列按照以下方法由小到大進(jìn)行染色：如果能夠表示為兩個(gè)合數(shù)的和，則染成紅色，否則染成藍(lán)色所有被染成紅色的數(shù)中由小到大數(shù)的第1994個(gè)數(shù)是多少？4把一個(gè)馬放入48的國際象棋棋盤的任何一格上，能否把它連跳32步，使得馬跳遍棋盤上每一格并回到最初位置？5能否用一個(gè)“田”格與15個(gè)14矩形紙片蓋滿88棋盤？圖

20、 6用右圖中4個(gè)小方格組成的“L”形若干個(gè)蓋住了一個(gè)4n矩形，那么，n一定是偶數(shù)7一個(gè)立方體的八個(gè)頂點(diǎn)分別染上紅色或綠色，六個(gè)面的中心也都分別染色，若一個(gè)面的四個(gè)頂點(diǎn)中有奇數(shù)個(gè)綠點(diǎn),則這個(gè)面的中心也染成綠色,否則就染成紅色.求證:這樣得到的十四個(gè)色點(diǎn)不可能一半是紅色一半是綠色.8把4個(gè)同心圓的圓周各分成100等分把這400個(gè)分點(diǎn)染成黑、白兩色之一，使每個(gè)圓上都恰有50個(gè)黑點(diǎn)及50個(gè)白點(diǎn)證明：可以適當(dāng)旋轉(zhuǎn)這4個(gè)圓，使得能夠從圓心引出的13條射線，每條射線穿過的4個(gè)染色相同的分點(diǎn)9將一個(gè)三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別染上紅、藍(lán)、黑之一，在ABC內(nèi)部取若干點(diǎn)也任意涂紅、黑、蘭三色之一，這些點(diǎn)間(沒有三點(diǎn)

21、共線)連有一 些線段，把大三角形分成若干互相沒有重疊部分的一些小三角形.求證:不論怎樣涂，都有一個(gè)小三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)涂的顏色全不同.10一個(gè)棱柱以五邊形A1A2A3A4A5及B1B2B3B4B5分別為上下底,這兩個(gè)多邊形的每一條邊及線段AiBj(i,j=1,2,3,4,5)均涂上紅色與綠色,每個(gè)以棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),以涂色線段為邊的三角形都有兩邊顏色不同,求證:上底與下底10條邊的顏色相同11將凸2003邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都染色，且任意相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)都異色試證：對(duì)上述任何一種染色法，都可以用互不相交于內(nèi)點(diǎn)的對(duì)角線將多邊形完全剖分成若干三角形，使得剖分中所用每條對(duì)角線的兩端點(diǎn)都不同色12100100小

22、方格表中每一個(gè)都被染成4種顏色之一，使得每行與每列恰有每種顏色的小方格各25個(gè)證明：可以在表中找到2行與2列，它們交得的4個(gè)小方格所染的顏色互不相同(2000第26屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1解 將(A)的方格染成黑白兩色，使相鄰的方格都不同色(圖(C)，則此圖中黑白方格的個(gè)數(shù)相等，但如將染色，則都可染成黑白相間的兩黑兩白，但只能染成一黑三白或三黑一白，于是染色后黑白方格數(shù)不等所以(A)圖不能被完全覆蓋而圖(B)則因染色后黑白格相差1格，故有被蓋住的可能經(jīng)試驗(yàn)，可如圖(D)沿粗線分開的方格分別用蓋住2解 把7575方格與圖中給出的4種形狀的小方格都染成黑白兩色，使任何相鄰的格

23、子染色不同由于7575方格的格子數(shù)為奇數(shù)，故其黑白格子的個(gè)數(shù)相差1個(gè)但這四種形狀的方格的染色中，前兩種黑白格子數(shù)相等，第三種染的黑白格子數(shù)分別為4與1(黑4白1或者白4黑1)，第四種形狀染的黑白格子數(shù)分別為5與2，這兩種格子的黑白格子數(shù)相差3，于是用這四種形狀中的任何幾種覆蓋住的方格，應(yīng)蓋住相等的黑白格或蓋住的黑白格相差3的整數(shù)倍，不可能只相差1所以本題是不可能蓋住的3證明：取3行7列共21個(gè)點(diǎn)組成矩形網(wǎng)格考慮每列3個(gè)點(diǎn)的染色方式共有8種，若有某列3點(diǎn)全染紅色，則只要其余6列中有某列有2個(gè)點(diǎn)染紅，則存在四個(gè)頂點(diǎn)都是紅色的矩形，若有某列3個(gè)點(diǎn)全藍(lán)也同理若7列中沒有全紅、全藍(lán)兩種情況，則7列的染色

24、方式只有6種，必有兩列染色方式相同，此二列中有四點(diǎn)滿足要求4證明 以1為邊長(zhǎng)作正五邊形，其五個(gè)頂點(diǎn)染二色，必有三個(gè)頂點(diǎn)同色于是出現(xiàn)同色三角形，由于正五邊形中的三角形只有兩種形狀，而邊長(zhǎng)為1的五邊形有無窮多個(gè)，故由抽屜原理知，至少有一種形狀的(三個(gè)頂點(diǎn)同色的)三角形有無數(shù)個(gè)取這種形狀的頂點(diǎn)同色的三角形集合，該集合有無窮多個(gè)元素但這無數(shù)個(gè)三角形均全等，于是據(jù)抽屜原理，必有其中一種顏色的頂點(diǎn)的三角形有無窮多個(gè)5分析 當(dāng)涂紅格少于或等于6時(shí)，只要?jiǎng)澣r(shí)，先劃去涂有紅格的3行，則余下的紅格至多還有3格，再劃去有涂紅格的列（當(dāng)然不超過3列）則所有的涂紅格都被劃去了仿此，當(dāng)涂紅格少于或等于9格時(shí)，由于這個(gè)圖

25、形只有6行，故總有某些行的涂紅格不止1格，首先劃去涂紅格至少2格的某一行，余下5行中，如涂紅的格子仍不止5格，則必有某行的不止1個(gè)涂紅格，再劃去至少有2個(gè)涂紅格的行，從第二步起，如涂紅格不足3格時(shí)，則任意劃去某行這樣，當(dāng)涂紅格不多于9格時(shí)，總可以劃去3行，使余下涂紅格不多于3格，這時(shí)劃去有涂紅格的列，則總可以使余下方格中沒有紅格故，要保證劃去3行3列后余下格中一定有涂紅格，就一定要涂至少10格當(dāng)涂紅格為10格時(shí)，可如圖的涂法，此時(shí)劃去3行后至多劃去6個(gè)涂紅格，余下至少4個(gè)涂紅格在至少4列中，從而任意劃去3列后至少還要余下1個(gè)涂紅格6證明 按兩個(gè)圓的半徑的大小稱這兩個(gè)圓為大圓與小圓在大圓上任取1

26、9個(gè)點(diǎn)，這19個(gè)點(diǎn)都染了三種顏色，故其中必有 eq bbc(f(19,3)+17個(gè)點(diǎn)同色，作過這7個(gè)同色點(diǎn)的半徑，交小圓于7點(diǎn)于是，這7個(gè)點(diǎn)中必有 eq bbc(f(7,3)+13個(gè)點(diǎn)同色這三點(diǎn)不可能在同一條直線上，可連成一個(gè)三角形，過這三個(gè)點(diǎn)的半徑與大圓的三個(gè)交點(diǎn)再連成三角形，這兩個(gè)三角形就滿足要求7證明 第一行中必有一種顏色有至少10個(gè)設(shè)為紅，把它們換到前10列，下面3行的前10列中，若有某一行有2個(gè)紅格，則可得證設(shè)每行至多有1個(gè)紅格于是至少有7列中沒有紅色格這個(gè)37矩形可證(可見情景再現(xiàn)第3題的證明) 由于一列4格染成3色，必有某色至少染2格每種顏色染2格的方案都各有6種，故共有18種可

27、能在19列中，必有兩列染兩格的方法相同故證8證明 分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，使AD=BE=CF= eq f(1,3)AB易證DEBC，EFAC，F(xiàn)DAB由于D、E、F三點(diǎn)染成紅、藍(lán)兩色，故必有兩點(diǎn)同色，設(shè)D、E兩點(diǎn)染成紅色則若BC上除點(diǎn)E外還有一點(diǎn)K染成紅色，則出現(xiàn)紅色頂點(diǎn)直角DEK若BC上除E外全染藍(lán)色則AB與AC上除點(diǎn)D外有任一點(diǎn)染藍(lán)，就出現(xiàn)藍(lán)色三角形如果AB、AC上沒有藍(lán)色點(diǎn)則ADF即為紅色頂點(diǎn)三角形“習(xí)題14”解答：1證明：坐標(biāo)為n 的倍數(shù)的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，染成兩色，則必有一種顏色有無窮多個(gè)2證明 任取兩個(gè)紅點(diǎn)A、B及兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)C、D，平面上不在直線AB及CD上的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，于

28、是至少有一種顏色染了無數(shù)個(gè)點(diǎn)，即有無數(shù)個(gè)同色三角形3解 1，2，3，4，5，6，7，9，11都不能寫成兩個(gè)合數(shù)的和由于4k=4+4(k1)，4k+2=4+2(2k1)，故不小于8的偶數(shù)都能寫成兩個(gè)合數(shù)的和由于2k+1=9+2k8=9+2(k4)，故不小于13的奇數(shù)均可以寫成兩個(gè)合數(shù)的和所以，第1994個(gè)數(shù)是20034解 這半個(gè)棋盤有4行，把上下兩行的格子稱為外格，中間兩行的格子稱為內(nèi)格外格與內(nèi)格的格子數(shù)一樣多一只國際象棋的馬不能一步從外格跳到外格，所以如果馬從某一格開始每格正好跳一次地跳遍棋盤，并且最后回到起點(diǎn)，它就不能從內(nèi)格跳到內(nèi)格（否則內(nèi)格就會(huì)比外格多）這就說明 ，馬只能外格與內(nèi)格交替地跳

29、現(xiàn)在把半個(gè)國際象棋棋盤按右圖所示染色顯然，馬從外格跳到內(nèi)格時(shí)是跳到同色的格子上去，而從內(nèi)格跳到外格時(shí)也是跳到同色的格子上這樣一來，按上述跳法，馬就只在同色的格子之間跳動(dòng)，這就說明，馬是不能從這半個(gè)棋盤上的任一格出發(fā)，跳遍棋盤上的所有格子并回到起點(diǎn)處的故這樣的跳法是不存在的5把88矩形按右圖染成黑白兩色，則一個(gè)“田”字形必蓋住3白1黑格或3黑1白格，而一個(gè)14矩形蓋住2白2黑格故本題無解6把4n方格按右圖的方法染成黑白兩色，則任一“L”形必蓋住3白1黑或3黑1白，如n為奇數(shù)，則蓋住這個(gè)圖形的“L”形個(gè)數(shù)也必為奇數(shù)，于是蓋住的白格與黑格也都是奇數(shù)個(gè)但圖中的白格與黑格數(shù)都是偶數(shù)故不可能蓋住7證明 設(shè)

30、此立方體的六個(gè)面中有x個(gè)面頂點(diǎn)是4紅，y個(gè)面的頂點(diǎn)是2紅2綠，z個(gè)面的頂點(diǎn)是4綠；有k個(gè)面頂點(diǎn)是3紅1綠，h個(gè)面頂點(diǎn)是1紅3綠統(tǒng)計(jì)每個(gè)面上在頂點(diǎn)處的綠點(diǎn)數(shù)：2y+4z+k+3h，每個(gè)頂點(diǎn)都在3個(gè)面上統(tǒng)計(jì)了一次，故頂點(diǎn)上的綠點(diǎn)共有 eq f(1,3)(2y+4z+k+3h)個(gè)，中心的綠點(diǎn)共有k+h個(gè)若這14個(gè)點(diǎn)中，紅綠各一半，則得 eq f(1,3)(2y+4z+k+3h)+k+h=7即(2y+4z+k+3h)+3k+3h=21，2y+4z+4k+6h=21這是不可能的故證8證明 把圓旋轉(zhuǎn) eq f(2,100)稱為一次旋轉(zhuǎn)，再把四個(gè)同心圓從內(nèi)到外依次稱為圓、先過圓心O任作一條射線OX，把四個(gè)圓

31、旋轉(zhuǎn)，使每個(gè)圓都有一個(gè)分點(diǎn)在OX上，固定圓，其上的某個(gè)分點(diǎn)A在OX上，旋轉(zhuǎn)圓，使其上每個(gè)點(diǎn)都與OX對(duì)齊一次，記下圓在每個(gè)位置時(shí)兩圓同色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù)，由于圓的每個(gè)點(diǎn)都與圓的點(diǎn)A對(duì)齊1次，故點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中共與圓的同色點(diǎn)對(duì)齊了50次，每個(gè)圓的點(diǎn)都是這樣，故在圓的旋轉(zhuǎn)過程中，共有50100次同色點(diǎn)對(duì)齊于是至少有一次，同色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)數(shù)不少于 eq bbc(f(50100,100)50次在圓的100個(gè)位置中，必有某個(gè)位置使圓、的同色點(diǎn)對(duì)齊的個(gè)數(shù)最多把圓固定于該位置此時(shí)兩圓至少有50個(gè)同色點(diǎn)對(duì)齊把異色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)去掉，則兩圓上至少留下對(duì)齊的50對(duì)同色點(diǎn)再把圓旋轉(zhuǎn)，同上，把圓與圓的同色點(diǎn)對(duì)齊個(gè)數(shù)最多的

32、位置固定，此時(shí)圓與圓至少有 eq bbc(f(5050,100)25個(gè)同色點(diǎn)對(duì)是對(duì)齊的，把這些點(diǎn)對(duì)留下，其余點(diǎn)去掉再旋轉(zhuǎn)圓，同樣，把圓與圓的同色點(diǎn)對(duì)齊個(gè)數(shù)最多的位置固定，此時(shí)圓與圓至少有 eq bbc(f(2550,100)+113個(gè)同色點(diǎn)對(duì)是對(duì)齊的即此時(shí)四個(gè)圓至少有13個(gè)同色點(diǎn)是對(duì)齊的，從圓心引穿過這些對(duì)齊的同色點(diǎn)的射線至少有13條9解法1：按頂點(diǎn)顏色分類，三角形共有10類：三紅，兩紅一藍(lán)，兩紅一黑，一紅兩藍(lán)，一紅兩黑，紅藍(lán)黑，三藍(lán)，兩藍(lán)一黑，一藍(lán)兩黑，三黑按線段兩端顏色分類，線段共有6類：紅紅，紅藍(lán)，紅黑，藍(lán)藍(lán)，藍(lán)黑，黑黑現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)兩端分別為紅、藍(lán)的邊，在兩紅一藍(lán)或兩藍(lán)一紅這兩類三角形中，每

33、個(gè)三角形都有2條紅藍(lán)邊，每個(gè)紅藍(lán)黑三角形都有1條紅藍(lán)邊，設(shè)前兩類三角形共有p 個(gè)，后一類三角形共有q個(gè)則兩端紅藍(lán)的邊共有2pq條而每條兩端紅藍(lán)的邊，在大三角形內(nèi)的紅藍(lán)邊設(shè)有k條，每條都被計(jì)算了2次，大三角形的紅藍(lán)邊有1條，計(jì)算了1次故2pq2k1，于是q0，即紅藍(lán)黑三角形至少有1個(gè)(注：統(tǒng)計(jì)兩端不同色的邊都可以)解法2 在每個(gè)劃出的小三角形內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，在三角形形外也取一個(gè)點(diǎn)如果兩個(gè)三角形有一條紅藍(lán)的公共邊，則在相應(yīng)點(diǎn)間連一條線于是得到了圖G，此時(shí)，兩紅一藍(lán)或兩藍(lán)一紅的三角形都是圖G的偶頂點(diǎn)，而紅藍(lán)黑三角形則對(duì)應(yīng)著圖G的奇頂點(diǎn)，大三角形外的那個(gè)頂點(diǎn)也是奇頂點(diǎn)，由奇頂點(diǎn)的成對(duì)性，知圖G中至少還有一個(gè)奇頂點(diǎn)，于是，至少還有一個(gè)紅藍(lán)黑三角形10證明 首先證明此棱柱的上底面的棱顏色相同否則必有兩條相鄰邊顏色不同不妨設(shè)A1A5為紅，A1A2為綠5條線段A1Bi(i=1，2，3，4，5)中必有3條同色設(shè)有3條同為紅色這3條紅色的線段中，總有兩條是向相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)引出的，例如A1B1、A1B2都為紅色于是在A1B1B2中B1B