江蘇省如皋、如東2019-2020學年度第一學期期中考試高三數(shù)學

1、高三數(shù)學第一學期期中考試（如皋、如東）、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分，請把答案填寫在答題卡相應位置上.已知集合A若 z 1 3ir r已知a bx f (x)10 ,則 zr(3,4), aln x ,的實部為B 1,2,3 ，則 AI B 已知函數(shù)f（x）2 x 雙曲線a2 y_ b2已知 m,n7.3,r-r則a b4x,x 11(a為直線x若函數(shù) f (x) cos(2x在棱長為E為線段已知A6的正方體CC1上一點,則實數(shù)a的最大值為10 .已知等差數(shù)列 an3,x0,by 12)(0ABCD,若 f(f(a) 16,則實數(shù) a k0）的漸近線方程為y述x ,且過點

2、5,3 J2 ,則其焦距為5，ri 14 ，0上一點，且 mn 0,則一 一的取小值為 m nQ的圖象關于直線 x -對稱，則e12AB1GD1中，F(xiàn)為棱AD的中點,則三棱錐EFDDi的體積為 k的公差為2,且a2,a4,a5成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為11 .如圖，已知點 O(0,0), A(2,0), P 是曲線 y x 0 x 1一uuu uuu則OP AP的最小值是12 .已知 cos x 61x 0, ，則 sin 2x =3322 x y13.已知橢圓-2 4 1(a ba b上不同于A、B的一點，直線1八，-，一0)的離心率e , A、B分別是橢圓的左、右頂點，P是橢圓2PA

3、、PB的傾斜角分別為、，則os()的值為 cos( )14 .已知函數(shù).4f (x) ln x 一 xx, 2,曲線yf(x)上總存在兩點 M (x1，y1)，N (x2,y2)使曲線y f (x)在M、N兩點處的切線互相平行，則xi+X2的取值范圍為二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答.解答時應寫出文字說明、 證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)在銳角4ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且(b2c2a2) tan AJ3bc .(1)求角A ;(2)若a 2, ABC的面積S=6,求1 1的值.b c16 .(本小題滿分14分)如圖，在直

4、四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，已知底面 ABCD是菱形, 點P是側(cè)棱GC的中點.(1)求證：AC1/平面 PBD ;(2)求證：BD A1P .高三數(shù)學（普通班）第3頁17 .(本小題滿分14分)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知ai =1 , S8 = 22 .(1)求 an；(2)若從an中抽取一個公比為q的等比數(shù)列akn ,其中k1 = 1 ,且 k v k2v kn v.當q取最小值時，求 kn的通項公式.18 .(本小題滿分16分)2、，2在平面直角坐標系 xOy中，如圖，已知橢圓E：與11(a b 0)的左、右頂點分別為 A、A2 ,a b上、下頂點分別為 B、B2.設直

5、線AB1傾斜角的余弦值為 平，圓C與以線段OA2為直徑的圓關 3于直線A1B1對稱.(1)求橢圓E的離心率；(2)判斷直線A1B1與圓C的位置關系，并說明理由;(3)若圓C的面積為，求圓C的方程.19 .(本小題滿分16分)C “休息區(qū)G如圖，有一塊半圓形空地，開發(fā)商計劃建造一個矩形游泳池 ABCD及左右兩側(cè)兩個大小相同的矩形休息區(qū)，其中半圓的圓心 為O,半徑為R,矩形BEFG的一邊BG在BC上，矩形 AHIJ 的一邊AH在AD上，點C, D,F,I在圓周上，E, J在直徑上，且 EOF二一，設 BOC= ,-,- .若每平方米游泳池的66 2造價與休息區(qū)造價之比為.3 :1.(1)記游泳池及

6、休息區(qū)的總造價為f ，求f的表達式;(2)為進行投資預算，當 為何值時，總造價最大？并求出總造價的最大值20 .(本小題滿分16分)已知函數(shù)f X(1)若函數(shù)h(x)1 CCln x 一，g x ax xf (x) g(x)在 0,上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；4一,一一一 .1 (2)若直線g x ax b是函數(shù)f x ln x 一圖象的切線，求a b的最小值； x，,一八一一，,1，(3)當b 3時，右直線g x ax b是函數(shù)fx lnx 一圖象有兩個交點，求實數(shù)x取值范圍數(shù)學n （附加題）21 .【選做題】本題包括 A、B、C共3小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答 .若

7、多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21 . A.選彳4-2:矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣A1 00 2，B求B2 ；(2)求 A 1B2.B.選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，圓C的圓心坐標為C 2,-，半徑為2.3以極點為原點，極軸為x的正半軸,取相同的長度單位建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù))（1）求圓C的極坐標方程；（2）設l與圓C的交點為A, B , l與x軸的交點為P ,求PA PB【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答 寫出文字說明、證明過程或演算步驟

8、.22 .(本小題滿分10分)已知 f0(x) exsin x+，記 fn(x) fn 1(x) n N* .4(1 ) fi(x), f2(x), f3(x)；(2)求 S4nfo(x) fi(x) Lf4ni(x).23 .(本小題滿分10分)已知 Sn= 1 + -+-+.2 3 n(1 )求S2, S4的值;7n+ 11(2)若哈丁，試比較為與Tn的大小，并給出證明.答案、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分,請把答案填寫在答題卡相應位置上.x f (x)ln x,B 1,2,3 -I B2,32 .【選做題】若3i10,則z的實部為【選做題】若f(x)lga為奇函數(shù)，則

9、a的值為3 .已知 a b (3,4), a4.已知函數(shù)f (x)4x,x-15 .【選做題】雙曲線則其焦距為3,x2 y b2【選做題】若P( 2,1)為角6.已知 m,n為直線x,若f(f(a) 16,則實數(shù)a11(a 0,b 0)的漸近線方程為的終邊上一點，則tan 212，ri 10上一點，且mn 0,則一m26x ,54，一，一的最小值為n且過點5,3.27.若函數(shù) f (x) cos(2x(0汽)的圖象關于直線 x 對稱,1268.在棱長為6的正方體ABCDAB1C1D1中，F(xiàn)為棱AD的中點,1B1FECAB(第8題圖)E為線段CCi上一點，則三棱錐E FDDi的體積為 A189

10、.已知 A 0,2 , Bx2 x a 0 ,若A B則實數(shù)a的最大值為一4y(第11題圖)10 .已知等差數(shù)列 an的公差為 2,且a2,a4,a5成等比數(shù)列，則a2,a4,a5的公比為 11 .如圖，已知點 0(0,0), A(2,0), P是曲線y Jx 0 x 1上一個動點,uuu uuu則OP AP的最小值是12 .已知 cos x 一60,則 sin 2x =34.213 .【選做題】已知橢圓2與 1(a b 0)的離心率e b2A、B分別是橢圓的左、右頂點,P是橢圓上不同于A、B的一點，直線PA、PB的傾斜角分別為cos(，則-cos(-的值為)【選做題】已知flogyx,x 0

11、 log1 x ,x70,若正實數(shù)a滿足=f a 2則a的值為 14 .已知函數(shù)f(x)4In x - x,x2 ,曲線y f(x)上總存在兩點M(x， y1)， N (x2,y2)使曲線y f(x)在M、N兩點處的切線互相平行，則x1+x2的取值范圍為 A8,十二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答.解答時應寫出文字說明、 證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)在銳角4ABC中，角A、B、C的對邊分別為 a、b、c,且(b2 c2 a2) tan A 、/3bc .(1)求角A;_-11 .（2）若a 2, ABC的面積S=J3，求的值. b c解：（1

12、）由（b2 c2 a2）tan A J3bc,及余弦定理 b2 c2 a2 2bccosA得 TOC o 1-5 h z 2bcsin A 73bc,又 bc 0 ,得 sin A . 4分26 分因為ABC為銳角三角形，所以 0 A ,故人=. HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 23（2）因為a 2, A=，根據(jù)余弦定理b2 c2 a2 2bccosA得 3.22.b c 4 bc,8 分又S 1bcsin A bc 解得 bc 4 . 10分 HYPERLINK l bookmark198 o Current Document 24一 .2

13、2,22.2_2_所以 b c 44,即 b c b c 2bc b c 8 8.又b+c 0,所以b c 412-分11b c411根據(jù)得，二 1,所以，的值為1.14分bc bc4bc（本小題求出a 2,b 2酌情給分）16 .（本小題滿分14分）如圖，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，已知底面 ABCD是菱形, 點P是側(cè)棱CiC的中點.（1 ）求證：AG /平面PBD ；（2）求證：BD AF.（1）證明：連結 AC交BD于。點，連結OP,（答題紙上圖中不作輔助線扣因為四邊形ABCD方形，對角線 所以。點是AC的中點，所以AO 又因為點p是側(cè)棱gc的中點，所以,AO C1P在AC

14、Ci中， 1,OC PCAC交BD于點O , OC .CP PC1 所以 AC1/OP .1分）又因為OP 面PBD, ACi 面PBD ,（少ACi 面PBD扣2分） TOC o 1-5 h z 所以AC/平面PBD . 6分（2）證明：連結A .因為ABCD A1B1C1D1為直四棱柱，（此條件不寫扣4分）所以側(cè)棱CQ垂直于底面 ABCD,又BD 平面ABCD,所以CC1 BD . 8分因為底面ABCD是菱形，所以 AC BD . 10分又 ACI CCi C, AC 面ACi,CCi 面ACi,所以 BD 面ACi . 12 分又因為P CC1,CC1 面ACC1A，所以P 面ACC1A

15、1,因為A 面ACC1A ,所以AiP 面ACi ,（此結論不證明扣 2分）所以BD AP . 14分17.(本小題滿分14分)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a =1 , & = 22 .(1 )求 an;(2)若從an中抽取一個公比為q的等比數(shù)列akn,其中k1 = 1 ,且k1 v k2v kn0),(不設焦距直接寫出因為直線AB1的傾斜角的余弦值為 母,所以-=J=3a2 b2于是a2 8b2,即a2 8(a2 c2),所以橢圓E的離心率e 舟 也 手.4分(2)由 e 平可設 a 4k k 0 , c 714k，則 b T2k ,于是AB的方程為：x 2j2y 4k 0, 6分一

16、12k 4k故OA2的中點2k, 0到A1B1的距離d 一-一2k, 8分又以OA2為直徑的圓的半徑r 2k,即有d r ,所以直線 AB與以OA2為直徑的圓相切. 因為圓C與以線段OA2為直徑的圓關于直線 A1B1對稱，10分所以直線AB1與圓C相切.(3)由圓c的面積為 知, 設OA2的中點2, 0關于直線圓半徑為2,從而kA1B1 ： x 272y1 ,0的對稱點為m, n ,12分n則mm 221,22解得0.3,n82314分所以，圓C的方程為16分.【選做題】已知函數(shù)3f (x) x 13x a | ( a R).(1)當a=3時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)當a 3時，求函

17、數(shù)f(x)在2,1上的最大值;(3)對任意x 2,1,恒有f(x) a 2,求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)當 a=3 時，f (x)x3 3x 3(x 1)x3 3x 3(x 1)若 x 1,則 f(x)=3x2 3,令 f(x) 0,解得 x 1;若x 1,則f(x)=3x2+3 0恒成立，所以x 1.所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，1,1,若 a 3,當 x 2,1時，f(x) x3 3x a , f (x) 3x2 3.x2(2, 1)1(1,1)1f(x)+0f(x)a 2Za+2a 2令f （x） 0 ,解得x 1或x 1 .列表如下：6分10分由當x(3)1時,函數(shù)f(x)取得最

18、大值a+2.當(1) (2)得，a 3.a36即一 2時，f(x) x 3x a33x 2a 2.因為所以,3 x2a3x在2,1上單調(diào)遞增，所以當214,解得6,x所以2時, ay8.3 ，一x 3x取得最小值 14.12分當1 時,f(x)3xa.(3)3xza a,(31)與x3所以,3x實數(shù)亙時3，2=( xf(x)1)2(xa的取值范圍為2)3x a a即x33x0矛盾.,8 .16分G游泳池息 區(qū).（本小題滿分16分）且 EOF 二一，設 BOC =,6造價與休息區(qū)造價之比為 . 3:1.（1）記游泳池及休息區(qū)的總造價為.若每平方米游泳池的 6,2f ，求f的表達式;（2）為進行投

19、資預算，當為何值時，總造價最大？并求出總造價的最大值解：（1）設游泳池每平方米的造價為 J5t ,休息區(qū)每平方米造價為 2t（t在矩形所以，ABCD 中，BC=Rsin ,OB Rcos 2 .SABCD 2OB BC 2R sin cos_ 2_R sin 2 .4分在矩形RBEFG 中，EF Rsin - -,BE 62Rcos Rcos6所以,2Sbefg2EF23BE R cos2所以,f= SABCD3t 2Sbefg 2t=tR2. 3 sin 22cos.3,(2)由（1）得，f=tR2 2、. 3 cos22sin2tR2 .3A O B E(第19題圖)0）,則（不設扣2分）

20、2、3sin622.sin10分如圖，有一塊半圓形空地，開發(fā)商計劃建造一個矩形游泳池 ABCD及左右兩側(cè)兩個大小相同的矩形休息區(qū)，其中半圓的圓心 為O,半徑為R,矩形BEFG的一邊BG在BC上，矩形 AHIJ 的一邊AH在AD上，點C, D,F,I在圓周上，E, J在直徑上， TOC o 1-5 h z =2tR2 2sin 亞 T3sin1 ,一， ,1因為 -,-,所以sin -,1 . HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 6 2212分令f 0,解得sin =巫.因為,，所以=-.26 236,33萬,萬f+0fZ極大值列表如下：所以，當

21、二時，總造價f取得極大值1+2 73 tR2,即最大值為1+2J3 tR2.16314分分(不列表需寫出導函數(shù)正負性及原函數(shù)單調(diào)性，缺一扣4分).(本小題滿分16分)一1已知函數(shù) fx lnx,gx axb. x(1)若函數(shù) h(x) f (x) g(x)在 0,上單調(diào)遞增，求實數(shù) a的取值范圍;1.,1，ln x -圖象有兩個交點，求實數(shù)a的(2)右直線g x ax b是函數(shù)f x ln x 一圖象的切線，求a b的最小值; x(3)當b3時，若直線g x ax b是函數(shù)f x取值范圍. TOC o 1-5 h z 11.一斛：(1)由 f x ln x一，g x ax b ,得 h(x)

22、f (x) g (x)= ln x一axb ,則 HYPERLINK l bookmark86 o Current Document xx、11h (x) - - a, x x11因為h(x)在0,上單調(diào)遞增，所以， x 0, h(x) 1 2 a 0,2分x x一 一11122即 x 0, a 一下，令一t,H (t) t t2,t 0, H(t) t t2在 0, 上單調(diào)x x x遞增，且H t能取到0,上一切實數(shù)，所以 a 0,故實數(shù)a的取值范圍為,0.4112XoXo HYPERLINK l bookmark186 o Current Document 、11(2)設切點為x0,ln

23、x0一 ,則切線萬程為 y lnx0一Xox1因為直線g x ax b是函數(shù)f x ln x 一圖象的切線,x所以a1Xo1-T，Xoax0 b In x0八1一令 一 u u 0 ,Xo2u 12u21,11,In ,所以 bXoXoXo2ln u u u 1,則2u 1 u 1uIn XoXo1,當u o,1時,u o, u在o,1上單調(diào)遞減；當u 1,+ 時,在1,+上單調(diào)遞增，所以a b u 1=1.所以a b的最小值為 1. 8分1_11(3)當 b 3 時，令 F(x) lnX - aX 3 ,則 F(x)XX Xa=2ax x 1當 a o時，F(xiàn)(x) o, F(x)在 o,上單

24、調(diào)遞增，F(xiàn)(x)在o,上至多一個零點,1o分故a o.令方程 ax2 x 1=o的大根為xo,則 axo2 xo 1 o .當xo,xo時，F(xiàn)(x) o, F(x)在o,xo上單調(diào)遞增；當xXo,時，F(xiàn)(x) o, F(x)在Xo,上單調(diào)遞減.12因為F(x)在o,上有兩個奪點，所以 F (xo) ln xo axo 3= ln xo +2 o ,2解得Xo 1 (構造函數(shù)G(x) lnx - 2 ,根據(jù)單調(diào)性求解) x TOC o 1-5 h z .11所以 a o,2 . 12分Xo Xo取 x1eXoo,xo，則 F(e)xoeaeXo3% e 3 aeXoo,根據(jù)零點存在性定理，F(xiàn)(x

25、)在0,x0上至少有一個零點，又 F(x)在0,x0上單調(diào)遞增,所以F(x)在o,xo上只有一個零點.14分同理，F(xiàn)(x)在x0,上只有一個零點.綜上，實數(shù)a的取值范圍為 0,2 16分數(shù)學n （附加題）21 .【選做題】本題包括 A、B、C共3小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答 .若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21. A.選彳4-2:矩陣與變換（本小題滿分10分)1已知矩陣A 0(1)求 B2；(2)求 A 1B2.02，b解：（1）因為,所以B2（2）因為AA =20,所以10分10分)在極坐標系中，圓C的圓心坐標為C 2,3,半徑

26、為2.以極點為原點，極軸為 X的正半軸,取相同的長度單位建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為1名2 （t為參數(shù)）.2（1）求圓C的極坐標方程；（2）設l與圓C的交點為A, B , l與x軸的交點為P ,求PA 解：（1）設P（,）為圓C上任意一點，則圓C的圓心坐標為C 2,-,半徑為2,得圓C過極點,3所以，OP OAcos一,即二4cos 3所以圓C的極坐標方程為=4cosp(2)由(1)得=4cos=2cos2、. 3 sincos2V3 sin ,根據(jù) cos x, siny,所以A 1B2 =（用逆變換求解逆矩陣需寫出原變換及其逆變換）B .選彳4 4-4:坐標系與參數(shù)方程（本小題滿

27、分x2 y2 2x 2氐,即 x2 y2 2x 2石y 0. (*) 6分設A(12t ,2ti, -ti), B(112,12）,將直線l的參數(shù)方程代入（*）,整理得22t2、6t i otl t2.6,tlt21所以，PA PB = t1t2|Jt1t22卜1t224t1t2J64 VW .10分（本小題用普通方程求解酌情給分）【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫 出文字說明、證明過程或演算步驟.22.（本小題滿分10分）(1)已知 f0(x)exsin x+ ，記 fn(x)fn 1(x) n4f(x), f2(x), f3(x)；N*(2)求