三角形中的角格點(diǎn)問題

1、三角形中的角格點(diǎn)問題如果三角形的三個(gè)角的度數(shù)都是10的整數(shù)倍，三角形內(nèi)一點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別連結(jié)后，得到的所有的角也都是10的倍數(shù)，我們稱這樣的點(diǎn)為三角形中的格點(diǎn)求解三角形中的格點(diǎn)問題，?？衫脤?duì)稱點(diǎn)利用對(duì)稱點(diǎn)求解三角形中的格點(diǎn)問題，方法簡(jiǎn)單易行，解法簡(jiǎn)潔巧妙，題面新穎有趣，是學(xué)生鞏固知識(shí)，培養(yǎng)能力，陶冶情操，提高素質(zhì)的寶貴資料證明角格點(diǎn)的方法是作軸對(duì)稱圖形，即構(gòu)造軸對(duì)稱的全等三角形。例1 在ABC中，ABC60，ACB20，M為ACB的平分線上一點(diǎn)，MBC20求MAB的度數(shù) HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/jgd1.jpg t file:/C:

2、UsersAdministratorDesktop_blank HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/jgd1.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank 解：如圖，設(shè)MBA的平分線交AC于D，連DM顯然，BM平分DBC，而CM平分DCB，即M為DBC的內(nèi)心可知MDBMDC60有ADB60MDB故點(diǎn)A與點(diǎn)M關(guān)于BD對(duì)稱則MAB90DBA70這里證得“點(diǎn)A與點(diǎn)M關(guān)于BD對(duì)稱”是問題的關(guān)鍵。例2 如圖， 已知ABC中，AB=AC，BAC=80，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CBD=10，ADC=20，求ADB的度數(shù) HY

3、PERLINK /wp-content/uploads/2016/09/222x158xjgd2.jpg.pagespeed.ic_.W4Gchsuzu3.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/222x158xjgd2.jpg.pagespeed.ic_.W4Gchsuzu3.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank 解法1：把BDC沿直線CD作軸對(duì)稱變換至EDC則ECB=2BCD=60，EC=BC，BCE是正三角形

4、，又 AB=AC，直線AE是EBC、ABC的對(duì)稱軸，AEC=AEB=30=ECD，易證AECDCE，即四邊形ADCE為等腰梯形，ADC=150，又BDC=140，ADB=70解法2：作BC邊的高AH，延長(zhǎng)CD交AH于點(diǎn)F，連結(jié)BF AB=AC，AH是ABC的對(duì)稱軸，F(xiàn)B=FC，BCF=30=FBC，BFD=120=BFA，BDF=40=BAF，BF=BF，AFBDFB，F(xiàn)A=FD，ADF=30，ADB=70 HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/jgd3.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank HYPER

5、LINK /wp-content/uploads/2016/09/jgd3.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank 解法3：延長(zhǎng)CD交AB于G由題知CGA=CAG=80，GBD=GDB=40，CG=CA=AB，GD=GB，CD=AG，以CD為底邊構(gòu)造等腰PCD，使PC=PD=AC，且P、A在直線CD同側(cè)，PCD=PDC=80，CPD=ACG=20，PCA=60，PAC是等邊三角形，APD=40，PDA=70，ADC=150，ADP=70=ADB.解法4：如圖，作正三角形ABE連結(jié)EC,ED，易證BD=BE=AB，故ADB=(180-40)2=

6、70。 HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/218x175xjgd7-1.jpg.pagespeed.ic_.iGFjcgfngQ.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/218x175xjgd7-1.jpg.pagespeed.ic_.iGFjcgfngQ.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank 例3 如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，1=40，2=30，3=2

7、0，（1）求4的度數(shù)；（2）求證：AP=BP CP。 HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/191x246xjgd4.jpg.pagespeed.ic_.rb5QYHdzVY.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/191x246xjgd4.jpg.pagespeed.ic_.rb5QYHdzVY.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank 解：（1）作高AD，作點(diǎn)P關(guān)于AD的軸對(duì)稱

8、點(diǎn)E，作點(diǎn)P關(guān)于AB軸對(duì)稱點(diǎn)F，易證PE=CE=PB，PBF為正三角形，F(xiàn),P,C共線，AFPAPE，以A為頂點(diǎn)的每個(gè)最小的角都為10，即4=10；（2）顯然FAC=FCA=50，AP=FA=FC=FP CP=BP CP.例4 如圖，AB=AC，A=20，點(diǎn)D在AB上，AD=BC，求BDC的度數(shù)。 HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/573x294xjgd6.jpg.pagespeed.ic_.GKM7y8jvPK.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank HYPERLINK /wp-content/up

9、loads/2016/09/573x294xjgd6.jpg.pagespeed.ic_.GKM7y8jvPK.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank 解法1：作正三角形ACE，連DE，這樣ADEABC，于是ADE和DCE均為等腰三角形，且頂角為20和40，于是不難求出BDC=30解法2：作正三角形BCE，不難證明CEAADC，于是不難求出BDC=30解法3：作ABC的角平分線CE，在AC上取點(diǎn)F使CF=CB，在AB上取點(diǎn)D使DF=FC，不難證明AD=BC=AD，即D與D重合，從而可以計(jì)算BDC=30解法4：作正三角形BCC，連DC，不難證明

10、四邊形ADCC是等腰梯形，所以CD=CB=CC，即C是DBC的外心，所以BDC=BCC2=30 HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/238x198xjgd7.jpg.pagespeed.ic_.4K5ZPBmAYF.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/238x198xjgd7.jpg.pagespeed.ic_.4K5ZPBmAYF.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank

11、例5 在ABC中，ABC50，ACB30，Q為形內(nèi)一點(diǎn)，QBAQCA20求QAB的度數(shù) HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/174x79xjgd8.jpg.pagespeed.ic_.QXZVToWQdd.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/174x79xjgd8.jpg.pagespeed.ic_.QXZVToWQdd.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank 解：如圖，設(shè)

12、BQ交AC于D，過點(diǎn)D作BC的垂線交QC于連BE由QBC30ACB，可知DE為BC的中垂線由QCB10，可知EBC10，QBE20QBA由EDB60EDC，可知BDA60BDE有點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于BD對(duì)稱則QABQEB EBCECB20這里注意到BQ是AQC的平分線，故想到在QC上取點(diǎn)E，使EQBABQ，則點(diǎn)E為點(diǎn)A關(guān)于BQ的對(duì)稱點(diǎn)為此想到滿足條件的點(diǎn)E，恰為BC中垂線與QC的交點(diǎn)。又由QBC30ACB，想到BQ與AC的交點(diǎn)D應(yīng)為BC中垂線上的另一點(diǎn)于是，我們選擇了如上的方法找到點(diǎn)A關(guān)于BQ的對(duì)稱點(diǎn)E例6 在ABC中，ABC50，ACB30，Q為形內(nèi)一點(diǎn)，QCAQAB20求QBC的度數(shù) HYPER

13、LINK /wp-content/uploads/2016/09/172x116xjgd9.jpg.pagespeed.ic_.L6jiQrKjxS.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/172x116xjgd9.jpg.pagespeed.ic_.L6jiQrKjxS.jpg t file:/C:UsersAdministratorDesktop_blank 解：如圖，設(shè)BC的中垂線分別交BA、AC于D、E，F(xiàn)為垂足連QE、BE、DC由ACD20ACQ，DAC80QAC，可知點(diǎn)D與點(diǎn)Q關(guān)于AC對(duì)稱有AEQAEDFEC60由BEFFEC60，可知AEB60AEQ有B、Q、E三點(diǎn)共線則QBCEBC30這里注意到AC是AQB的QAB的外角平分線（這一點(diǎn)并不引人注目），在BA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使DAQA，則點(diǎn)D為點(diǎn)Q關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為此我們通過BC的中垂線，把ABC“翻折”到DCB的位置，是非常恰當(dāng)?shù)睦? 如圖ABC中，C=90，D,E分別在AC,BC上，CAE=20，EAB=30，CBD=10，求DEA的度數(shù)。 HYPERLINK /wp-content/uploads/2016/09/jgd11.gif t file: