《數(shù)學(xué)建?！返谝徽?數(shù)學(xué)模型概論課件

1、第一講 數(shù)學(xué)建模概論講授內(nèi)容：1 數(shù)學(xué)建模概論2 建模示例3 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1 數(shù)學(xué)建模概論1.1現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，隨著科技的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)應(yīng)用已從傳統(tǒng)的物理、力學(xué)、電磁學(xué)等工程技術(shù)領(lǐng)域，深入到科技、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等社會(huì)生活方方面面，特別是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合，使數(shù)學(xué)如虎添翼，由一門理論學(xué)科發(fā)展成為一種數(shù)學(xué)技術(shù)，成為高新技術(shù)的基礎(chǔ)，在各領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。1.2 什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。1.3 建模步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型

2、建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用1.4 數(shù)學(xué)模型分類按照模型所使用的數(shù)學(xué)方法 ：初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、 圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。按照模型應(yīng)用領(lǐng)域有工程模型、人工模型、交通模型、生態(tài)模型、生理模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。1.5 課程意義培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，洞察力，想象力，計(jì)算能力，提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力。2 建模示例2.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問(wèn)題：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動(dòng)幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了。試用數(shù)學(xué)方法證明能否找到一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢枚鴮⒁话岩巫拥乃哪_同時(shí)著地?對(duì)于這個(gè)與數(shù)學(xué)似乎毫不相干的問(wèn)題，

3、我們將建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型給予解答。首先假設(shè)（1）椅子的四條腿構(gòu)成平面上的嚴(yán)格正方形。（2）地面高度是連續(xù)變化，不會(huì)出現(xiàn)間斷，亦即不會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階式地面或裂縫。（3）椅子在任何位置至少有三只腳著地。問(wèn)題的核心是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將椅子四腳同時(shí)著地的條件和結(jié)論表示出來(lái)。 xyAABBCCDDO建模分析表示A,C與地面距離之和表示B,D與地面距離之和則由三點(diǎn)著地，有不失一般性，設(shè)初始時(shí)：假設(shè)： 是 的連續(xù)函數(shù)， 且 對(duì)任意 ，求證：至少存在 ，使得數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)命題：.模型求解證明： 將椅子轉(zhuǎn)動(dòng) ，對(duì)角線互換，由可得令由 的連續(xù)性， 根據(jù)介值定理，在 中至少存在一點(diǎn) ,使得 ,即又所以結(jié)論：能放穩(wěn)。連續(xù)函數(shù)的

4、介值定理oxyab思考題1：長(zhǎng)方形的椅子會(huì)有同樣的性質(zhì)嗎？思考題1：長(zhǎng)方形的椅子會(huì)有同樣的 性質(zhì)嗎？2.2 安全渡河問(wèn)題問(wèn)題：三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊幽兀?這是一道阿拉伯早期的智力題，有多種解法，下面介紹兩種。 1應(yīng)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移法求解 商人過(guò)河問(wèn)題同樣是帶有約束條件的過(guò)河問(wèn)題，可視為一個(gè)多步?jīng)Q策過(guò)程，每一步，即船由南岸到北岸或由北岸到南岸，都要對(duì)船上人員(商人、隨從各幾人)作出決策，在允許的前提下，有限次內(nèi)使三對(duì)商人全部過(guò)河。 記

5、第次過(guò)河前南岸的商人數(shù)為，隨從數(shù)為，0，1，2，3，則狀態(tài)向量可表為(，)，所有可能狀態(tài)共16個(gè)，其可取狀態(tài)或允許狀態(tài)有10個(gè)： (0，0)(0，1)，(0，2)，(0，3)，(3，0) (3，1)，(3，2)，(3，3)，(1，1)，(2，2)為便于計(jì)算機(jī)求解，記允許狀態(tài)集合和決策向量集合分別為 并以 ，1，2，表示狀態(tài)變化過(guò)程，表示過(guò)河決策,取奇偶數(shù)與前面表示意義相同，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足下列關(guān)系： 我們的問(wèn)題就成為：求決策 ( 1，2，)使?fàn)顟B(tài)按(221)式由初始狀態(tài) 經(jīng)步轉(zhuǎn)移到 的最小 的n值。 2圖解法求解在 平面坐標(biāo)系中，畫出圖的方格，方格點(diǎn)表示狀態(tài) ，允許狀態(tài)用園點(diǎn)標(biāo)出。允許決策 是沿

6、方格線移動(dòng)1或2格，規(guī)定： 1) 奇數(shù)時(shí)，向左或下方移動(dòng)；2) 為偶數(shù)時(shí)，向右或上方移動(dòng)； 3)每次移動(dòng)必須落在允許狀態(tài)即點(diǎn)“”上。 圖給出了一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程，經(jīng)過(guò) 決策實(shí)現(xiàn)了。這個(gè)結(jié)果容易制定出過(guò)河方案，細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，應(yīng)有4種狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程。 這是一種規(guī)格化的方法，具有推廣意義。請(qǐng)考慮：將商人數(shù)增加或小船容量增大時(shí)，如何建模求解。2.3 人口預(yù)測(cè)1.問(wèn)題人口問(wèn)題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問(wèn)題之一.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提.下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型，并利用表1給出的近兩百年的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)模型做出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2000年、2010年美國(guó)人口.(1)指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）此模型由英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus17661834）于1798年提出. 假設(shè)：人口增長(zhǎng)率r是常數(shù)（或單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比）.(2)阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）假設(shè)：（a）人口增長(zhǎng)率r為人口的函數(shù)（減函數(shù)），最簡(jiǎn)單假定（線性函數(shù)），r叫做固有增長(zhǎng)率.（b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量 3 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是全國(guó)高校規(guī)模最大的課