南京市2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)，是非零向量.若，則（ ）ABCD2已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與其準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）ABCD3在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆

2、星的星等與亮度滿(mǎn)足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.14如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線(xiàn)圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（ ）A2對(duì)B3對(duì)C4對(duì)D5對(duì)5拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的個(gè)數(shù)有（ ）A1個(gè)B2個(gè)C0個(gè)D無(wú)數(shù)個(gè)6設(shè)全集，集合，則集合（ ）ABCD7已知等差數(shù)列an，則“a2a1”是“數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件8設(shè)過(guò)

3、點(diǎn)的直線(xiàn)分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（ ）ABCD9已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（ ）ABCD10已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）ABCD11若集合，則（ ）ABCD12已知分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是其一條漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿(mǎn)足，若是等比數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式_14某校初三年級(jí)共有名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計(jì)了所

4、有女生分鐘“仰臥起坐”測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：個(gè)），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生有_個(gè)15復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為_(kāi)16如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，記和的面積分別為，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且，（1）求的值；（2）若求的面積18（12分）如圖，四棱錐VABCD中，底面ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，VO平面ABCD，E是棱VC的中點(diǎn)（1）求證：VA平面BDE；（2）求證：平面VAC平面BDE19（12分）已知函數(shù)（），是的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，令，為

5、的導(dǎo)數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.20（12分）某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲，每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與，測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛(ài)程度對(duì)其排序，然后由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為xAxBxCxD，家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四個(gè)數(shù)字的一種排列定義隨機(jī)變量X（xAyA）2+（xByB）2+（xCyC）2+（xDyD）2，用X來(lái)衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度（1）若參

6、與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解（）求他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率；（）求X的分布列（簡(jiǎn)要說(shuō)明方法，不用寫(xiě)出詳細(xì)計(jì)算過(guò)程）；（2）若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來(lái)三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿(mǎn)足X4，請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解，說(shuō)明理由21（12分）已知f(x)=|x +3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a +2b +3c=m，求證：22（10分）已知多面體中，、均垂直于平面，是的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

7、題目要求的。1D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，故也成立，故選D.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問(wèn)題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類(lèi)既能考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問(wèn)題，實(shí)有其合理之處.解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法是：利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；將條件通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用求解(較難)；建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問(wèn)題往往有很好效果.2D【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)，設(shè)出直線(xiàn)方程，代入拋物線(xiàn)方程，求得k的值，設(shè)出雙曲線(xiàn)方程

8、，求得2a丨AF2丨丨AF1丨（1）p，利用雙曲線(xiàn)的離心率公式求得e【詳解】直線(xiàn)F2A的直線(xiàn)方程為：ykx，F(xiàn)1（0，），F(xiàn)2（0，），代入拋物線(xiàn)C：x22py方程，整理得：x22pkx+p20，4k2p24p20，解得：k1，A（p，），設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：1，丨AF1丨p，丨AF2丨p，2a丨AF2丨丨AF1丨（ 1）p，2cp，離心率e1，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)及雙曲線(xiàn)的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題3A【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿(mǎn)足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)

9、用意識(shí)信息處理能力閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.4C【解析】畫(huà)出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作POAD于O，則有PO平面ABCD，POCD，又ADCD，所以，CD平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：POAOOD，所以，APPD，又APCD，所以，AP平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì)【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題5B【解析】圓心在的中垂線(xiàn)上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與相切的圓的

10、圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，圓心在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于2個(gè)點(diǎn)，得到2個(gè)圓【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，又焦點(diǎn)，由拋物線(xiàn)的定義知，過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓的圓心即為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，這樣的交點(diǎn)共有2個(gè)，故過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線(xiàn)上，且在垂直平分線(xiàn)上6C【解析】集合， 點(diǎn)睛：本題是道易錯(cuò)題，看清所問(wèn)問(wèn)題求并集而不是交集.7C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可解：在等差數(shù)列an中，若a2a1，則d0，即數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列

11、，則a2a1，成立，即“a2a1”是“數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷8A【解析】設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出，從而可利用表示出；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，其中， ，即 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) 故選：【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.9A【解析】根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓，根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求.【詳解】如圖所示：設(shè)內(nèi)切球球心為，到平面的距離為，截面圓

12、的半徑為，因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的一半，所以球的半徑為，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算，難度一般.任何一個(gè)平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過(guò)球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.10A【解析】首先求得時(shí)，的取值范圍.然后求得時(shí)，的單調(diào)性和零點(diǎn)，令，根據(jù)“時(shí)，的取值范圍”得到，利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí)，.”，所以令，得，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段

13、函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11A【解析】用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可【詳解】解：由集合，解得，則故選：【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題12B【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)在第一象限，求出此坐標(biāo)，再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)在第一象限，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，所以，又以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，解得，所以，即，即，所以，雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的離心率，解決本題的關(guān)鍵在于求出與的

14、關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】利用遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以數(shù)列的公比為1又，所以當(dāng)時(shí)，有這說(shuō)明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.14【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)先求出，再求出分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.151【解析】試題分析：，即虛部為1，故填：1.考

15、點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算16【解析】依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo)，再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，直徑為，又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標(biāo)為，又B、D中點(diǎn)是E，所以D的橫坐標(biāo)為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（

16、1）3（2）78【解析】試題分析：（1）由兩角和差公式得到，由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到，進(jìn)而求得數(shù)值；（2）由三角形的三個(gè)角的關(guān)系得到，再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析：（1）在中，由，得為銳角，所以，所以， 所以. （2）在三角形中,由，所以， 由， 由正弦定理,得，所以的面積. 18（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）連結(jié)OE，證明VAOE得到答案.（2）證明VOBD，BDAC，得到BD平面VAC，得到證明.【詳解】（1）連結(jié)OE因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是棱VC的中點(diǎn)，所以VAOE，又因?yàn)镺E平面BDE，VA平面BDE，所以VA平面BDE；（2）因?yàn)?/p>

17、VO平面ABCD，又BD平面ABCD，所以VOBD，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以BDAC，又VOACO，VO，AC平面VAC，所以BD平面VAC又因?yàn)锽D平面BDE，所以平面VAC平面BDE【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面平行，面面垂直，意在考查學(xué)生的推斷能力和空間想象能力.19（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）設(shè)，注意到在上單增，再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】（1）由已知，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)，即在

18、區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）設(shè)，在單調(diào)遞增，即，從而，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上恒成立，令，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以一定存在，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.綜上，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、不等式恒成立問(wèn)題，在處理恒成立問(wèn)題時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來(lái)處理，本題是一道較難的題.20（1）（）（）分布表見(jiàn)解析；（2）理由見(jiàn)解析【解析】（1）（i）若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，家長(zhǎng)的排序有種等可能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿(mǎn)足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況

19、有9種，由此能求出他們?cè)谝惠営螒蛑?，?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率（ii）根據(jù)（i）的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列（2）假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P（X4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三輪游戲結(jié)果都滿(mǎn)足“X4”的概率為，這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解【詳解】（1）（i）若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，先考慮小孩的排序?yàn)閤A，xB，xC，xD為1234的情況，家長(zhǎng)的排序有24種等可能結(jié)果，其中滿(mǎn)足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的

20、情況有9種，分別為：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況，只需將角標(biāo)A，B，C，D按照小孩的順序調(diào)整即可，假設(shè)小孩的排序xA，xB，xC，xD為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACDB，再研究yAyByCyD的情況即可，其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的，他們?cè)谝惠営螒蛑?，?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為（ii）根據(jù)（i）的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況，列出所有情況，分別計(jì)算每種情況下的x的值，X的分布列如下表： X 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 P （2）這位家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解理由如下：假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，由（1）可知，在一輪游戲中，P（X4）P（X0）+P（X2），三輪游戲結(jié)果都滿(mǎn)足