張量初步及應(yīng)力、應(yīng)變基本方程

1、巖土塑性力學(xué)參考文獻(xiàn)：龔曉南：土塑性力學(xué)徐秉業(yè)：塑性理論引論陸明萬(wàn)等：彈性理論基礎(chǔ)孫炳楠等：工程彈塑性力學(xué)鄭穎人等：巖土塑性力學(xué)原理教師：徐平 下載：1:2007 TEL一章 張量初步及應(yīng)力、應(yīng)變基本方程1.1 張量初步1.2 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1.3 最大(最小)剪應(yīng)力1.4 應(yīng)力張量的分解1.5 八面體應(yīng)力、等效應(yīng)力1.6 應(yīng)力圓和洛德(Lode)參數(shù)1.7 應(yīng)力空間1.8 應(yīng)力路徑1.9 應(yīng)變張量的分解1.10 應(yīng)變空間與應(yīng)變平面1.11 各種剪切應(yīng)變間的關(guān)系1.12 應(yīng)力和應(yīng)變的基本方程 力學(xué)中常用的量可以分成幾類(lèi)：只有大小沒(méi)有方向性的物理量稱(chēng)為標(biāo)量，通常用一個(gè)字

2、母來(lái)表示，例如溫度T、密度、時(shí)間t等。既有大小又有方向的物理量稱(chēng)為矢量，常用黑體字母(或字母上加一箭頭)來(lái)表示，例如矢徑r( )和力F( )等。具有多重方向性的的更為復(fù)雜的物理量稱(chēng)為張量，常用黑體字母或字母下加一橫表示，例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用應(yīng)力張量( )表示，它具有二重方向性，是二階張量，而標(biāo)量和矢量分別為零階和一階張量。1.1 張量初步 矢量可以在參考直角坐標(biāo)系下分解，以位移矢量u為例，它可以表示成位移分量ux、 uy 、 uz與基矢ex、 ey 、 ez的乘積之和的形式： (1-1)x1=xuu2(uy)u3(uz)u1(ux)e2( j )e1( i )e3( k )x2=yx3=z

3、o圖1.1 位移矢量的分解指標(biāo)：對(duì)于一組性質(zhì)相同的n個(gè)量可以用相同的名字加不同的指標(biāo)來(lái)表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示，這里的i就是指標(biāo)。今后約定，如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁字母i，j，k，均表示三維指標(biāo)，取值1，2，3，例如，采用ui可以表示u1、 u2和 u3三個(gè)數(shù)值，這種名字加指標(biāo)的記法稱(chēng)為指標(biāo)符號(hào)。指標(biāo)符號(hào)的正確用法：(1) 三維空間中任意點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)通常記為x，y和z。指標(biāo)符號(hào)可縮寫(xiě)成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。 引入愛(ài)因斯坦求和約定： 如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和，該重復(fù)指標(biāo)稱(chēng)

4、為啞指標(biāo)，或簡(jiǎn)稱(chēng)啞標(biāo)。 用啞標(biāo)代替求和符號(hào)，則位移矢量u和點(diǎn)積ab可表示成：u=uiei，ab=aibi。顯然，aibi =biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：ab= ba；由于啞標(biāo)僅表示遍歷求和，因此可以成對(duì)地任意換標(biāo)，例如ab=aibi=ajbj=akbk。(2) 矢量a和b的分量可分別記為ai 和bi ，它們的點(diǎn)積為： (1-2)(3) 對(duì)于各向同性的均質(zhì)彈性體，物理方程可描述為：采用張量，則物理方程可表示： (1-3) i和j為自由指標(biāo)，表示輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立，式中ij和ij分別表示9個(gè)應(yīng)力和應(yīng)變分量：k為啞標(biāo)，ij為Kronecher符號(hào)：ij =1(i=j

5、)， ij =0(ij)，根據(jù)場(chǎng)論，ij可以表示兩個(gè)基矢的點(diǎn)積：ij =ei ej注意： aibj 表示9個(gè)數(shù)，而 aibi則只是一個(gè)數(shù)。自由指標(biāo)和啞標(biāo)舉例： 的應(yīng)用與計(jì)算示例如下： (1) (2) (3) (4) (5) (6)(4) 指標(biāo)符號(hào)同樣適用于微分關(guān)系。例如，三維空間中線(xiàn)元長(zhǎng)ds和其分量dxi之間的關(guān)系：(ds)2= (dx1)2+(dx2)2+(dx3)2可以寫(xiě)成： (ds)2= dxidxi。再如多變量函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分可寫(xiě)成 。對(duì)于不計(jì)體力的平衡微分方程，則可表示成： (1-4)更進(jìn)一步可表示為： ，這里下標(biāo)“ , j ”表示對(duì)xj求偏導(dǎo)。則幾何方程可表示成：

6、更進(jìn)一步得可表示成：在幾何方程中，為了表示方便，在這里及以后的討論中，統(tǒng)統(tǒng)采用ux、uy和uz來(lái)分別表示u、v和w。對(duì)于體積應(yīng)變e：則可表示成： (1-6)(1-5)(5) 啞標(biāo)只能成對(duì)地出現(xiàn)，若要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)遍歷求和，必須： 綜上所述，能過(guò)啞標(biāo)可把許多項(xiàng)縮成一項(xiàng)，通過(guò)自由指標(biāo)又可把許多方程縮成一個(gè)方程。一般來(lái)講，在一個(gè)用指標(biāo)符號(hào)寫(xiě)出的方程中，若有k個(gè)自由指標(biāo)，它們的取值范圍都是1n，則更有nk個(gè)分量方程；在方程的某項(xiàng)中若現(xiàn)時(shí)出現(xiàn)m對(duì)取范圍為1n的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)表示了互相疊加的nm項(xiàng)。(6) 一般來(lái)講，由aibi = aici 并不能推導(dǎo)得出bi = ci 。1.2 一點(diǎn)的應(yīng)力

7、狀態(tài)圖1.2 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)yxz圖1.3 傾斜面上的應(yīng)力xyzNzyzxzxxzxyyyxyzo應(yīng)力張量：或：傾斜面上沿x方向的力為yxznzxxyxpx同理，可以得到張量方程： 如果作用在這個(gè)傾斜面上只有正應(yīng)力，而沒(méi)有(1-8)(1-7)剪應(yīng)力，則傾斜面上的總應(yīng)力就是主應(yīng)力，傾斜面的方向就是主應(yīng)力方向，用表示，它在各坐標(biāo)軸上的投影為：式(1-9)有零解的條件是： (1-10) 將 代入 ，可得：(1-9)(1-11)(1-12) 方程 稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，它有三個(gè)實(shí)根，并規(guī)定 ，當(dāng)坐標(biāo)方向改變時(shí)，應(yīng)力分量將改變，但主應(yīng)力的數(shù)值不變，故I1、I2和I3又稱(chēng)為應(yīng)力張量不變量， I1、I2和

8、I3通常又分別叫做應(yīng)力張量第一不變量、第二不變量和第三不變量，另外還可以證明三個(gè)主應(yīng)力方向是相互垂直的。根據(jù)方程 ， I1、I2和I3又可以寫(xiě)成： (1-13) 1.4 主應(yīng)力分布圖例題：已知已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為以下一組應(yīng)力分量所確定：x =3，y =0，z=0，xy=1，yz=2，zx=1，應(yīng)力單位為MPa。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力值。 1.3 最大(最小)剪應(yīng)力根據(jù) ，以及關(guān)系式 可得傾斜面上的剪切應(yīng)力：zyxn312px要使 取得極值，則須： 和(1-14) 于是有：同理：(1-14a) (1-14b) n1n2n3100000011000000(1-14) 表1.1 最大(最小)剪應(yīng)力及方向主

9、剪應(yīng)力圖1.5 主剪應(yīng)力的方向最大和最小的剪應(yīng)力，在數(shù)值上等于最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之差的一半，作用在通過(guò)中間主應(yīng)力并且“平分最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力夾角”的平面上。(1-15) 1.4 應(yīng)力張量的分解圖1.6 應(yīng)力張量的分解(1-16) 巖土材料在球應(yīng)力張量作用下，一般也會(huì)出 現(xiàn)塑性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面。球應(yīng)力張量體變：只是彈性變形畸變：首先產(chǎn)生彈性畸變，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定的極值時(shí)，將產(chǎn)生塑性的畸變。偏斜應(yīng)力張量這里， ，我們定義 為球應(yīng)力張量，又稱(chēng)球形應(yīng)力張量，簡(jiǎn)稱(chēng)為球張量，球形應(yīng)力張量表示各向均勻受力狀態(tài)，有時(shí)也稱(chēng)靜水壓力狀態(tài)， 又常寫(xiě)作 。而 則稱(chēng)為偏斜應(yīng)力張量，簡(jiǎn)稱(chēng)為應(yīng)力偏量。將原應(yīng)力

10、狀態(tài)減去靜水壓力即可得到應(yīng)力偏量狀態(tài)。球張量引起物體的體積改變，而應(yīng)力偏量則引起物體的形狀改變。1.4.1 主偏應(yīng)力(1-17) 1.4.2 應(yīng)力偏量不變量(1-18) (1-13) 1.5 八面體應(yīng)力、等效應(yīng)力132等斜面正八面體圖1.7 應(yīng)力張量的分解1.5.1 八面體應(yīng)力(1-19a) (1-19b) (1-19c) (1-19d) 1.5.2 八面體剪應(yīng)力的方位角1 八面體剪應(yīng)力的方位可以通過(guò)它的方位 來(lái)確定。設(shè)應(yīng)力主軸1、2、3在正八面體上的投影OA、 OB、 OC，則 便是八面體剪應(yīng)力與OC的反方向OD之間的夾角。2 3 O A B CO D 圖1.8 八面體剪應(yīng)力方位角 O 3

11、CO 同理： ；由于(1-20)O，故于是，由式(1-20)可得：即：(1-21) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用主應(yīng)力 來(lái)表示，也可以用另外三個(gè)量來(lái)表示，即八面體正應(yīng)力 ，八面體剪應(yīng)力 以及八面體剪應(yīng)力的方位角 。（1-22）1.5.3 應(yīng)力強(qiáng)度(1)應(yīng)力強(qiáng)度又稱(chēng)等效應(yīng)力或廣義剪應(yīng)力，用 表示。 材料處于單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)時(shí)， ， ；常規(guī)三軸試驗(yàn)， ， ；純剪作用時(shí)，(2)純剪應(yīng)力又稱(chēng)剪應(yīng)力強(qiáng)度，用 表示。（1-23）純剪時(shí)： 1.5.4 應(yīng)力的求解1.6 應(yīng)力圓和洛德(Lode)參數(shù) 通過(guò)某點(diǎn)各個(gè)微分面上的法向應(yīng)力 和剪應(yīng)力 都可以由應(yīng)力摩爾圓相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)軸方向與主應(yīng)力方向一致，微分

12、面法線(xiàn)方向余弦為 ，于是有：1.6.1 應(yīng)力圓（1-24）于是有： 因?yàn)?，而且這些等式的左邊部分皆為正，所以應(yīng)該有：（1-25）經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后得：（1-26）圖1.9 應(yīng)力摩爾圓 1.6.2 應(yīng)力橢球圖1.10 應(yīng)力橢球 取坐標(biāo)軸方向與主應(yīng)力方向一致，微分面法線(xiàn)方向余弦為 ，于是 ,進(jìn)一步有：（1-27）1.6.3 Lode (羅德)系數(shù)和Lode角o A o1o2o3C B（1-28）圖1.11 應(yīng)力摩爾圓 如果一點(diǎn)的主應(yīng)力之間的比值有了改變，則應(yīng)力摩爾圓的三個(gè)直徑之間的比例也隨之改變。這種情況相當(dāng)于應(yīng)力偏張量的形式有了改變。為了描述應(yīng)力偏張量的形式，可以應(yīng)用Lode(1925)提出的系數(shù)，通

13、常稱(chēng)為L(zhǎng)ode參數(shù)。 即圖中的 O2C與O2B之比。（1-29）Lode參數(shù)界于-1和1 之間，即純拉時(shí)，純剪時(shí)，純壓時(shí)，O（1-30）圖1.12注意， 均為負(fù)值，常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)時(shí)，常規(guī)三軸伸長(zhǎng)(拉伸)試驗(yàn)時(shí)，在巖土塑性理論中，常以 或( )來(lái)表示應(yīng)力狀態(tài)。 常規(guī)三軸壓縮( ) 常規(guī)三軸拉伸( )在巖土相關(guān)的課程中，往往以壓為正。 (1-32)(1-31)主應(yīng)力空間與平面等頃線(xiàn)平面應(yīng)力點(diǎn)等傾線(xiàn)：在主應(yīng)力空間，通過(guò)原點(diǎn)與三條坐標(biāo)軸成相同夾角的直線(xiàn)，又稱(chēng)主對(duì)角線(xiàn)。1.7 應(yīng)力空間平面：與等傾線(xiàn)垂直的平面，其方程為(1-33)子午面：在主應(yīng)力空間，包括等傾線(xiàn)的平面。一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)可以用應(yīng)力空間中的一

14、個(gè)點(diǎn)表示，或用該點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)形成的矢量來(lái)表示，該點(diǎn)叫應(yīng)力點(diǎn)，該矢量叫應(yīng)力矢量。圖1.13 應(yīng)力空間 OP在應(yīng)力空間等傾線(xiàn)上的投影為OQ，則 平面上剪應(yīng)力：(1-34) 平面上主應(yīng)力：(1-35)由于平面上只有 ，而且 本身只與應(yīng)力偏量有關(guān)，因此平面又叫作偏量平面。圖1.15主應(yīng)力在平面上的投影圖1.14 的模與方位角(Lode角)如圖1.15所示，將應(yīng)力 向 平面作投影，相應(yīng)地得到 ，在平面內(nèi)取坐標(biāo)系oxy，其中y軸方向與 在平面上的投影一致，如圖1.14所示。OP與x軸的夾角就是Lode角。(1-36a)(1-36b)(1-36c)(1-36d)(1-36e)由于 ，所以， ，即 前面已經(jīng)提

15、到，物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用應(yīng)力空間中的一點(diǎn)(應(yīng)力點(diǎn))來(lái)表示，一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的變化可以用應(yīng)力點(diǎn)在應(yīng)力空間的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)描述，應(yīng)力點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱(chēng)為應(yīng)力路徑。在有效主應(yīng)力空間中，可得到有效應(yīng)力路徑，簡(jiǎn)稱(chēng)ESP (Effective Stress Path)，在主應(yīng)力空間可得到總應(yīng)力路徑，簡(jiǎn)稱(chēng)TSP (Total Stress Path) 。1.8 應(yīng)力路徑圖1.16 有效應(yīng)力路徑各正應(yīng)力與I1平均應(yīng)力八面體正應(yīng)力平面上的正應(yīng)力分量應(yīng)力張量第一不變量表1.2 各正應(yīng)力與應(yīng)力張量第一不變量I1之間的關(guān)系各剪應(yīng)力與J2廣義剪應(yīng)力八面體剪應(yīng)力平面上的剪應(yīng)力分量應(yīng)力偏量第二不變量表1.3 各剪應(yīng)力與應(yīng)力偏量第

16、二不變量J2之間的關(guān)系純剪應(yīng)力 不同加荷方式的應(yīng)力路徑等壓固結(jié)K0固結(jié)三軸壓縮剪切三軸伸長(zhǎng)剪切圖1.17三軸儀上的應(yīng)力條件圖1.18 各向等壓力固結(jié)排水三軸試驗(yàn)在p-q平面上的應(yīng)力路徑po拉伸壓縮壓縮破壞線(xiàn)拉伸破壞線(xiàn)各向等壓力固結(jié)軸向壓縮A徑向壓縮軸向拉伸各向等壓力固結(jié)： 。(1)軸向壓縮試驗(yàn)中，徑向應(yīng)力保持不變，軸向應(yīng)力增加；(2)軸向拉伸試驗(yàn)中，徑向應(yīng)力保持不變，軸向應(yīng)力減小；(3)徑向壓縮試驗(yàn)中，軸向應(yīng)力保持不變，徑向應(yīng)力增加?？倯?yīng)力路徑有效應(yīng)力路徑破壞時(shí)孔壓圖1.19 不排水條件三軸壓縮試驗(yàn)的總應(yīng)力路徑和有效應(yīng)力路徑立方體變形純體積變形純畸變變形圖1.20 變形分解1.9 應(yīng)變張量的分解(1-37a)(1-37b) 是三個(gè)主應(yīng)變， 為應(yīng)變張量的三個(gè)不變量。(1-37c) 為應(yīng)變偏量的三個(gè)不變量。應(yīng)變空間：三個(gè)主應(yīng)變構(gòu)成的三維空間應(yīng)變平面的方程：平面上法向應(yīng)變： 平面上剪應(yīng)變：1.10 應(yīng)變空間與