數(shù)列求和與其綜合應(yīng)用

1、數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用掌握數(shù)列的求和方法(1)直接利用等差、等比數(shù)列求和公式；(2)通過適當變形(構(gòu)造)將未知數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，再用公式求和；(3)根據(jù)數(shù)列特征，采用累加、累乘、錯位相減、逆序相加等方法求和；(4)通過分組、拆項、裂項等手段分別求和；(5)在證明有關(guān)數(shù)列和的不等式時要能用放縮的思想來解題(如n(n1)n20，bnanan1(nN*)，且bn是以q為公比的等比數(shù)列(1)2；證明：an2anq(2)若cna2n12a2n，證明：數(shù)列cn是等比數(shù)列；111111(3)求和：a1a2a3a4,a2n.a2n110、將數(shù)列an中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：a1

2、a2a3a4a5a6a7a8a9a10,記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，,構(gòu)成的數(shù)列為bn，b1a11.Sn為數(shù)列bn的前2bnn項和，且滿足21(n2)bnSnSn1(1)證明數(shù)列Sn成等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；(2)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同4一個正數(shù)，當a81時，求上表中第k(k3)行所有項的和12、已知二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過坐標原點，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列an的前n項和為Sn，點(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn3，Tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tnm對所有

3、nN*都成立的最小正anan120整數(shù)m.13、已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：SnSmSnm，且a11，那么a10_.2x14、設(shè)函數(shù)f(x)x2(x0)，觀察：f1(x)f(x)x，f2(x)f(f1(x)x，f3(x)f(f2(x)x，x23x47x8xf4(x)f(f3(x)，,15x16根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當nN且n2時，fn(x)f(fn1(x)_.15、函數(shù)yx2(x0)的圖象在點(ak，ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak1，其中kN*.若a116，則a1a3a5的值是_m(m為正整數(shù))，aan，當an為偶數(shù)時，若a1，則16、已知數(shù)列an滿足：a12n163a

4、n1，當an為奇數(shù)時.m所有可能的取值為_.nn，且Snn5an85，nN*.17、已知數(shù)列a的前n項和為S證明：an1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的通項公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整數(shù)n.515161561518、設(shè)實數(shù)數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn1an1Sn(nN*)(1)若a1，S2，2a2成等比數(shù)列，求S2和a3；求證：對k3且kN*有0ak1ak4.3bn*19、數(shù)列an、bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)cnan(nN)(1)數(shù)列cn是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；(2)設(shè)數(shù)列l(wèi)nan、lnbn的前n項和分別為Sn，Tn.若a12，Snn，求數(shù)列cn的前nTn2n1項和5x

5、2y220、兩個正數(shù)a、b的等差中項是2，一個等比中項是6，且ab，則雙曲線a2b21的離心率e等于_21、在等比數(shù)列an中，前n項和為Sn，若Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列，則am，am2，am成等差數(shù)列寫出這個命題的逆命題；判斷逆命題是否為真？并給出證明3數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用掌握數(shù)列的求和方法(1)直接利用等差、等比數(shù)列求和公式；(2)通過適當變形(構(gòu)造)將未知數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，再用公式求和；(3)根據(jù)數(shù)列特征，采用累加、累乘、錯位相減、逆序相加等方法求和；(4)通過分組、拆項、裂項等手段分別求和；(5)在證明有關(guān)數(shù)列和的不等式時要能用放縮的思想來解題(如n(n1)n20，bnan

6、an1(nN*)，且bn是以q為公比的等比數(shù)列證明：an2anq2；若cna2n12a2n，證明：數(shù)列cn是等比數(shù)列；(3)求和：1111,11.a1a2a3a4aa2n2n1(解法1)(1)證明：由bn1q，有an1an2an2q,an2anq2(nN*).bnanan1an(2)222n222n2證明：anan2q，a2n1a2n3q,a1q，a2na2n2q,a2q，cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)是首項為5，以q2為公比的等比數(shù)列(3)解：由(2)得1122n1122n，于是q，qa2n1a1a2na211,111,111,1aaaa1a3aaaa122n2

7、n1242n61111,111112424a1qqqa2qqq3111124,2n2.2qqq由題知q0，當q1時，11,1311,13122n1qq2n2n.aaa224q2當q1時，11,13111a1a2a2n21q2q4,q2n232n3q2n11q21q2q2n2q21.23故11,12n，q1，32na1a2a2nq12q2n2q21，q1.(解法2)(1)同解法1(1)22cn1a2n12a2n2(2)證明：qa2n12qa2n2*)，又c1a12a25，cncna2n1a2n12a2nq(nN2a2n是首項為5，以q2為公比的等比數(shù)列解：由(2)的類似方法得a2n1a2n(a1

8、a2)q2n23q2n2，11,1a1a2a3a4a2n1a2n，a2k1a2k3q2k232k2，k,2n12n2k12k4k2qa1a2a2na1a2a3a42q4aaaa1,2，,，n.11,1324,q2n2)(下面同上)a2k(1qqa1a2210、將數(shù)列an中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10,記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，,構(gòu)成的數(shù)列為bn，b1a11.Sn為數(shù)列bn的前2bnn項和，且滿足bnSnSn21(n2)(1)證明數(shù)列1成等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；Sn上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右

9、的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)，當a81914時，求上表中第k(k3)行所有項的和2bn(1)證明：由已知，bnSnS2n1，又Snb1b2b3,bn，n2，bnSnSn1，72bn21即2(SnSn1)Sn(SnSn1)Sn2，2Sn12SnSnSn1，bnSnSn又S110，SnSn10，111，SnSn12數(shù)列1112，Sn成等差數(shù)列，且n1(n1)，Snn1S21，n1，bn2，n2，nN*.nn1(2)解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q0.因為12,12121378，2所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列an的前78項，故a81在表中第13行第三列，因此ab242

10、，所以q2.記表中第k(k3)行所有項的和為S，8113q91.又b131314k2k則Sbk1q122k1qkk112kk1(12)(k3)12、已知二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過坐標原點，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列an的前n項和為Sn，點(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn3，T是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tnm對所有nN*都成立的最nn1n20aa小正整數(shù)m.解：(1)設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)，則f(x)2axb，由于f(x)6x2，a3,b2,所以f(x)3x22x.又因為點(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上，

11、所以Sn3n22n.n2時，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.n1時，a1S13122615，所以，an6n5(nN*)(2)由(1)得知bn336n56n15anan1111，26n56n1n故Tnbii11111,112177136n56n111216n1.因此，要使1(11)m(nN*)成立的m，必須且僅須滿足1m，即m10，所以26n120220滿足要求的最小正整數(shù)m為10.13、已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：SnSmSnm，且a11，那么a10_.8解析：SnS1Sn1，an1a1.x14、設(shè)函數(shù)f(x)x2(x0)，觀察：f1(x)f(x)x，f2(x)f

12、(f1(x)x，f3(x)f(f2(x)x，x23x47x8xf4(x)f(f3(x)，,15x16根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：nN且n2時，fn(x)f(fn1(x)_.xnn21x215、函數(shù)yx2(x0)的圖象在點(ak，ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak1，其中kN*.a116，則a1a3a5的值是_321an，當an為偶數(shù)時，16、已知數(shù)列an滿足：a1m(m為正整數(shù))，an12若a61，則3an1，當an為奇數(shù)時.m所有可能的取值為_.4,5,32解析：顯然，an為正整數(shù)，a61，故a52，a44，若a3為奇數(shù)，則43a31，a31，若a3為偶數(shù)，則a38，若a31，則a

13、22，a14，若a38，則a216，a15或32.17、已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Snn5an85，nN*.證明：an1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的通項公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整數(shù)n.5151615615(1)證明：當n1時，a114；當n2時，anSnSn15an5an11，所以an15(an11)，又a11150，an15，6an116所以數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)解：由(1)知：an15n15n1，從而Snn90905n15，得an115666(nN*)；5n151515141由Sn1Sn，得615，615，使sn1sn成立的最小正整數(shù)n15.918、設(shè)實數(shù)數(shù)列a

14、n的前n項和Sn滿足Sn1an1Sn(nN*)(1)若a1，S2，2a2成等比數(shù)列，求S2和a3；*4(2)求證：對k3且kN有0ak1ak3.22a1a2，S2(1)解：由題意得S222S2，S2a2S1a1a2，由S2是等比中項知S20，因此S22，S22由S2a3S3a3S2，解得a3S213.(2)證明：由題設(shè)條件有an1Snan1Sn，San1n故Sn1，an11，且an1Sn1，Snan11，ak1ak1Sk1ak1Sk2ak11從而對k3有akak1Sk21ak1，Sk11ak11ak112a1k112320，因a0，且ak1k1a24k1424要證a，由知只要證2ak13，kk

15、1ak113a即證3ak214(ak21ak11)，即(ak12)20，此式明顯成立，因此ak4(k3)32akakak，又ak0，故1，最后證ak1ak，若不然，ak122akak1akak1即(ak1)20，矛盾，所以ak1ak(k3，kN)bn*19、數(shù)列an、bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)cnan(nN)(1)數(shù)列cn是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；(2)設(shè)數(shù)列l(wèi)nan、lnbn的前n項和分別為Sn，Tn.若a12，Snn，求數(shù)列cnTn2n1的前n項和解：(1)cn是等比數(shù)列(2分)證明：設(shè)an的公比為q1(q10)，bn的公比為q2(q20)，則cn1bn1anbn1anq20，故

16、cn為等比數(shù)列(5分)cnabnbnaq1n1n1(2)數(shù)列l(wèi)nan和lnbn分別是公差為lnq1和lnq2的等差數(shù)列10nlna1nn1lnq11n1lnq1由條件得2n，即2lnan(7分)nn1lnq22n12lnb1n1lnq22n1.nlnb12(2lnq1lnq2)n2(4lna1lnq12lnb1lnq2)n(2lna1lnq1)0.2lnq1lnq20，上式對nN*恒成立于是4lna1lnq12lnb1lnq20，2lna1lnq10.a12代入得q14，q216，b18.(10分)n1816n所以數(shù)列|cn|的前n項和為42n4n1)(12分)4,4(4356，且ab，則雙曲線x2y220、兩個正數(shù)a、b的等差中項是，一個等比中項是22的離2ab1心率e等于_【答案】13解析：由題有ab5，a3，a2，c32223ab6或(舍)3b2b3，ea313.21、在等比數(shù)列an中，前n項和為Sn，若Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列，則am，am2，am成等差數(shù)列寫出這個命題的逆命題；判斷逆命題是否為真？并給出證明解：