武漢市部分學(xué)校2021-2022學(xué)年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，滿(mǎn)足（ ）ABCD2要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（ ）A向左平移個(gè)單位B向左平移個(gè)單位C向右平移個(gè)單位D向右平移個(gè)單位3若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組，則的最

2、大值為（ ）ABC3D24已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，的最大值是（ ）A8B9C10D115已知底面為邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為的直四棱柱中，是上底面上的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線(xiàn)，則該曲線(xiàn)的長(zhǎng)度是；若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；若，則在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為.ABCD6已知函數(shù)（，），將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7已知集合，集合，若，則（ ）ABCD8已知數(shù)

3、列滿(mǎn)足：)若正整數(shù)使得成立，則（ ）A16B17C18D199拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)在上的投影為，則的最大值是（ ）ABCD10如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線(xiàn)圖則下列結(jié)論中表述不正確的是( )A從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；B2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番 ；D為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為）建立了投資額

4、y與時(shí)間變量t的線(xiàn)性回歸模型，根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.11已知集合，則（ ）ABCD12雙曲線(xiàn)：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)為（），且雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與圓：均相切，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知兩個(gè)單位向量滿(mǎn)足，則向量與的夾角為_(kāi).14已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍是_15已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則球O的體積為_(kāi).16已知向量與的夾角為，|1，且（），則實(shí)數(shù)_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）某市計(jì)劃在一片空地上建一個(gè)

5、集購(gòu)物、餐飲、娛樂(lè)為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個(gè)購(gòu)物廣場(chǎng)的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂(lè)大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購(gòu)物廣場(chǎng)、美食城和歡樂(lè)大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設(shè)，用關(guān)于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、的值.18（12分）已知拋物線(xiàn)C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線(xiàn)交C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交y軸于點(diǎn)E，拋物線(xiàn)C在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面

6、積為S.（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；（2）當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S是否為整數(shù)？若是，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的S的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19（12分）團(tuán)購(gòu)已成為時(shí)下商家和顧客均非常青睞的一種省錢(qián)、高校的消費(fèi)方式，不少商家同時(shí)加入多家團(tuán)購(gòu)網(wǎng).現(xiàn)恰有三個(gè)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站在市開(kāi)展了團(tuán)購(gòu)業(yè)務(wù)，市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站在本市的開(kāi)展情況，從本市已加入了團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查，他們加入這三家團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的情況如下圖所示.（1）從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，求他們加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率；（2）從所調(diào)查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列

7、和數(shù)學(xué)期望；（3）將頻率視為概率，現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家，記其中恰好加入了兩個(gè)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家數(shù)為，試求事件“”的概率.20（12分）已知函數(shù)，函數(shù).（）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（）若時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.21（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);（2）設(shè)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線(xiàn)的斜率22（10分）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

8、有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再由，即可判定大小【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在減，所以在上增，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類(lèi)型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個(gè)中間數(shù),通過(guò)它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞，屬于中檔題.2A【解析】運(yùn)用輔助角公式將兩個(gè)函數(shù)公式進(jìn)行變形得以及,按四個(gè)選項(xiàng)分別對(duì)變形，整理后與對(duì)比，從而可選出正確答案.【詳解】解：.對(duì)于A(yíng)：可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時(shí)，忘記乘了自變量前的系數(shù).3C【解析】作出可行域，直線(xiàn)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)

9、，平移該直線(xiàn)可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖由射線(xiàn)，線(xiàn)段，射線(xiàn)圍成的陰影部分（含邊界），作直線(xiàn)，平移直線(xiàn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值1故選：C【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形4B【解析】根據(jù)題意計(jì)算，解不等式得到答案.【詳解】是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，.是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.，解得.則當(dāng)時(shí)，的最大值是9.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.5C【解析】與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長(zhǎng)公式，可得結(jié)論；當(dāng)在（或時(shí)，與面所成角（或的正切值為最小，

10、當(dāng)在時(shí)，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；設(shè)，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)，即可求出六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和【詳解】如圖：錯(cuò)誤， 因?yàn)?，與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心，半徑為的圓弧，長(zhǎng)度為； 正確，因?yàn)槊婷?，所以點(diǎn)必須在面對(duì)角線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在（或）時(shí)，與面所成角（或）的正切值為最?。橄碌酌婷鎸?duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)），當(dāng)在時(shí)，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；正確，設(shè)，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為，所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之，當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取等號(hào).故選：.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問(wèn)題、線(xiàn)面角、正投影等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于難題

11、6B【解析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識(shí)得到的解析式,然后分別找出和的等價(jià)條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設(shè),根據(jù)圖象可知,再由, 取,.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,.,令,則,顯然,是的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換, 二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.7A【解析】根據(jù)或，驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8

12、B【解析】計(jì)算，故，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，且.故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.9B【解析】試題分析：設(shè)在直線(xiàn)上的投影分別是，則，又是中點(diǎn)，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的性質(zhì)【名師點(diǎn)晴】在直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題中，涉及到拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)（或與準(zhǔn)線(xiàn)平行的直線(xiàn)）的距離時(shí)，常?？紤]用拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離之和的一半，然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而與弦長(zhǎng)之間可通過(guò)余弦定理建立關(guān)系10D【解析】根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，

13、對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對(duì)于選項(xiàng)，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對(duì)于選項(xiàng)，令代入回歸直線(xiàn)方程得億元，故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線(xiàn)方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，屬于基礎(chǔ)題.11B【解析】求出集合，利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，則集合，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12A【解析】根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】根據(jù)題

14、意知：焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，故，故漸近線(xiàn)為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由得，即得解.【詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14【解析】方法一：令，則，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，且，在上單調(diào)遞增，時(shí)，且，在上單調(diào)遞減，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，時(shí)，所以，這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾綜上，方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的

15、極大值點(diǎn)，由知須在的左側(cè)附近，即；在的右側(cè)附近，即易知，時(shí)，與相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)與的圖象關(guān)系，可得15【解析】可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)椋渣c(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題161【解析】根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出【詳解】向量與的夾角為，|1，且；1故答案為：1【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算

16、及計(jì)算公式，以及向量垂直的充要條件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1），最大值公頃；（2）17、25、5、5.【解析】（1）由余弦定理求出三角形ABC的邊長(zhǎng)BC，進(jìn)而可以求出，由面積公式求出 ，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，即可求出、，再算出，代入（1）中表達(dá)式求出，。【詳解】（1）由余弦定理得，所以，同理可得又 ，所以，故在區(qū)間上的最大值為，近似值為。（2）由（1）知， ，所以，進(jìn)而，由知， 故、的值分別是17、25、5、5?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。18（1）

17、（2）當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S不是整數(shù)【解析】（1）先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線(xiàn)方程，聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程；（2）先求解弦長(zhǎng)，再分別求解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】（1）設(shè)，則，拋物線(xiàn)C的方程可化為，則，所以曲線(xiàn)C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為，在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為，因?yàn)閮汕芯€(xiàn)均過(guò)點(diǎn)G，所以，所以A，B兩點(diǎn)均在直線(xiàn)上，所以直線(xiàn)AB的方程為，又因?yàn)橹本€(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)F(0，p)，所以，即G點(diǎn)軌跡方程為；（2）設(shè)點(diǎn)G(，)，由（1）可知，直線(xiàn)AB的方程為，即，將直線(xiàn)AB的方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立，整理得，所以，解得，因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率，所以，且，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，所以直線(xiàn)

18、EM的方程為：，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)， 直線(xiàn)AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離， 所以，設(shè)，因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，且為整數(shù)，所以或，當(dāng)時(shí)，是無(wú)理數(shù)，不符題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即是無(wú)理數(shù)，所以不符題意，當(dāng)時(shí)，是無(wú)理數(shù)，不符題意，綜上，當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S不是整數(shù)【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，拋物線(xiàn)中的切線(xiàn)問(wèn)題通常借助導(dǎo)數(shù)來(lái)求解，四邊形的面積問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問(wèn)題，表示出面積的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【解析】（1）運(yùn)用概率的計(jì)算公式求概率分布，再運(yùn)用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解；（2）借助題設(shè)條

19、件運(yùn)用貝努力公式進(jìn)行分析求解：（1）記所選取額兩家商家加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件，則，所以他們加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.（2）由題，知的可能取值分別為0，1，2，從而的分布列為012.（3）所調(diào)查的50家商家中加入了兩個(gè)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家有25家，將頻率視為概率，則從市中任取一家加入團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的商家，他同時(shí)加入了兩個(gè)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站的概率為，所以，所以事件“”的概率為.20 (1) 故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2). 【解析】試題分析：（）根據(jù)題意得到的解析式和定義域，求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性（）分析題意可得對(duì)任意，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則有對(duì)任意，恒成立，然后通過(guò)求函數(shù)的最值可得所求試題解析：（I）由題意得， .當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增