動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)課件

1、第十五章：動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)引 言一、研究對(duì)象：研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。二、研究模型：1.質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而不考慮其形狀大小的物體。 例：研究衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星被視作質(zhì)點(diǎn)； 研究衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)時(shí)，衛(wèi)星被視作剛體； 剛體作平動(dòng)時(shí)，該剛體可視作質(zhì)點(diǎn)。2.剛體：由無(wú)數(shù)個(gè)相互間保持距離不變的質(zhì)點(diǎn)組成，又稱(chēng)為不變質(zhì)點(diǎn)系。三、內(nèi)力和外力、主動(dòng)力和約束力質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力是內(nèi)力，質(zhì)點(diǎn)系以外的物體體作用于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的力是外力?？赏浦?，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。質(zhì)點(diǎn)系所受的力分為主動(dòng)力和約束力。應(yīng)注意，約束力隨運(yùn)動(dòng)動(dòng)狀態(tài)的改變而改變。四、動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)量一是表征質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

2、的物理量，如速度、加速度、動(dòng)能等等，一是表征力系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械作用效應(yīng)的量，如主矢、主矩和功等等。五、動(dòng)力學(xué)分類(lèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。六、動(dòng)力學(xué)的基本問(wèn)題大體上可分為兩類(lèi)： 第一類(lèi)：已知物體的運(yùn)動(dòng)情況，求作用力； 第二類(lèi)：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動(dòng)。問(wèn)題導(dǎo)入：當(dāng)需要對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行全面分析，還應(yīng)研究物體的運(yùn)動(dòng)與作用于物體的力之間的關(guān)系，這就是動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題。圖所示載重汽車(chē)緊急剎車(chē)至停車(chē)所經(jīng)過(guò)的距離如何求解是很重要的，應(yīng)如何進(jìn)行呢？mgv第一節(jié) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第二節(jié) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第三節(jié) 力的功第四節(jié) 動(dòng)能定理 第一節(jié) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

3、第一定律（慣性定律）不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。第二定律（力與加速度之間的關(guān)系的定律）該定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。一、動(dòng)力學(xué)基本方程在重力場(chǎng)中，物體均受重力作用。物體在重力作用下自由下落所獲得的加速度稱(chēng)為重力加速度，用g表示。由第二定律有在國(guó)際單位制中，長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間的單位是基本單位，分別取米、千克和秒；力的單位是導(dǎo)出單位，為牛頓。即：ma=F稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。此方程表明質(zhì)點(diǎn)受力與運(yùn)動(dòng)之間有如下關(guān)系：1）質(zhì)點(diǎn)受力與加速度的瞬時(shí)性。如果質(zhì)點(diǎn)受力F，則一定

4、產(chǎn)生相應(yīng)的加速度a。應(yīng)注意該力為合力。2）作用于質(zhì)點(diǎn)的外力方向和加速度方向的一致性。加速度方向永遠(yuǎn)與外力方向相同。3） 質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性大小的量度。在相同的外力作用下，則質(zhì)量大的質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的加速度小，質(zhì)點(diǎn)的慣性大。反之，質(zhì)點(diǎn)的慣性小。二、直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程是質(zhì)點(diǎn)受到的所有外力在x軸和y軸上投影的代數(shù)和。將動(dòng)力學(xué)基本方程 ma=F 等式的兩端分別在相應(yīng)坐標(biāo)軸上投影，就可以得到直角坐標(biāo)形式或自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。 三、自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程式中s=s (t) 為質(zhì)點(diǎn)的弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程，F(xiàn)x、Fy分別為所有外力在自然軸系、n軸上投影的代數(shù)和。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡未知，采用直

5、角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知，采用自然坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程解題步驟和要點(diǎn)： 正確選擇研究對(duì)象（選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。 正確進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力圖(在一般位置進(jìn)行分析)。 正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。 建立坐標(biāo)系，選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。 求解未知量。第一類(lèi)：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問(wèn)題） 四、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本問(wèn)題例 設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)如圖所示，其運(yùn)動(dòng)方程為x=acoskt，y=bsinkt，式中a、b、k都是常數(shù)。試求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力F。xyxyMvO解：（1）求質(zhì)點(diǎn)的軌跡，消去時(shí)間t（2）求質(zhì)點(diǎn)的加速度xyxyMFvO（3）

6、求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力于是，力F的大小為力F的方向余弦為顯然，力F指向原點(diǎn)O。例 橋式起重機(jī)跑車(chē)吊掛一重為G的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 v0，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為l。突然剎車(chē)，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動(dòng)，求鋼絲繩的最大拉力。解：選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象受力分析如圖所示運(yùn)動(dòng)分析，沿以O(shè)為圓心, l為半徑的圓弧擺動(dòng)。列自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求解未知量一、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第二節(jié) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量稱(chēng)為剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ?？梢酝浦?，過(guò)程略結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用在剛體上各外力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸之矩的代數(shù)和等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度的乘積。說(shuō)明：作用于剛體

7、的所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩的代數(shù)和恒為零，則剛體做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩的代數(shù)和為常數(shù)，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可衡量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小。外力一定，當(dāng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，剛體越不容易改變?cè)械倪\(yùn)動(dòng)狀態(tài)。反之，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，剛體越容易改變?cè)械倪\(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際單位制中單位 kgm2 。二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算解：例 勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l ,質(zhì)量為m 。 求：對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ；

8、對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。例勻質(zhì)圓環(huán)半徑R，質(zhì)量為m ，其對(duì)中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為zOR例勻質(zhì)圓板半徑R，質(zhì)量為m ，其對(duì)中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。任取一圓環(huán)rdrzR由所定義的長(zhǎng)度 稱(chēng)為剛體對(duì) z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。 對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。請(qǐng)注意，回轉(zhuǎn)半徑并不真實(shí)存在。 在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。2. 回轉(zhuǎn)半徑3. 平行移軸定理同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。 剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距

9、離的平方之乘積。 剛體對(duì)于諸平行各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以對(duì)于過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小。 當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 然后再加起來(lái)就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 若物體有空心部分, 則此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為負(fù)。4計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法解：例 鐘擺：均質(zhì)直桿m1, l ； 均質(zhì)圓盤(pán)：m2 , d 。 求 JO 。設(shè)JC為圓盤(pán)對(duì)于中心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則 四、兩類(lèi)工程問(wèn)題剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)主要解決兩類(lèi)問(wèn)題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束力。例已知飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=18 10kg.m，在恒力矩M的作用

10、下，由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)20s，飛輪的轉(zhuǎn)速n達(dá)到120r/min。若不計(jì)摩擦的影響，試求啟動(dòng)力矩M。解：飛輪作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，20s后角速度為飛輪作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為飛輪的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為例 如圖所示為一提升設(shè)備。被吊重物的質(zhì)量為m1，半徑為r的鼓輪質(zhì)量為m2，且質(zhì)量分布在輪緣上（可近似為圓環(huán)）。不計(jì)吊繩的質(zhì)量，當(dāng)作用于鼓輪上的力矩為 M0時(shí)，試求重物的加速度。在重物和鼓輪組成的物體系統(tǒng)中，重物作直線平動(dòng)，鼓輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知，鼓輪輪緣上任意一點(diǎn)的切向加速度的大小與重物直線運(yùn)動(dòng)的加速度的大小相等分析：MOO解：分別取重物和鼓輪為研究對(duì)象鼓輪的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 重物的運(yùn)動(dòng)微

11、分方程為 聯(lián)立三個(gè)方程可得重物的加速度為 MOOMOOa力的功是代數(shù)量。時(shí),正功；時(shí),功為零；時(shí),負(fù)功單位：焦耳（J）；一、常力在直線運(yùn)動(dòng)中的功第三節(jié) 力的功力在質(zhì)點(diǎn)位移方向上的投影與位移大小即路程s的乘積，稱(chēng)為力在這一路程上作的功，記作W。二、變力沿曲線運(yùn)動(dòng)的功 變力F在微小段路程ds上所作的功定義為元功，記為dW力在全路程上作的功為元功之和，即1重力的功設(shè)一重力為mg的質(zhì)點(diǎn)，從高度 z1位置沿任意軌跡下降到z2位置。重力在此過(guò)程中作的功為重力的功等于質(zhì)點(diǎn)重量與其重心在運(yùn)動(dòng)始末位置高度差的乘積，而且與其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀無(wú)關(guān)。重心下降，重力作正功，否則作負(fù)功。 三、常見(jiàn)力的功 2彈性力的功彈

12、簧力F =-k，k為彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表明彈簧力總與伸長(zhǎng)方向相反。一端固定的彈簧與一質(zhì)點(diǎn)連接，使質(zhì)點(diǎn)由彈簧的自然位置沿彈簧伸長(zhǎng)方向產(chǎn)生位移，可推得彈簧力的功為表明彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與彈性力所作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，與彈簧實(shí)際受拉伸還是受壓縮無(wú)關(guān)。變形量減小，彈性力作正功，反之作負(fù)功。 3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功設(shè)在繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力F，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過(guò)一角度 時(shí)力F所作的功，M點(diǎn)軌跡已知。當(dāng) MZ 是常量時(shí)，因此剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若作用在剛體上的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩為常量，則其功等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩乘以剛體所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。當(dāng)力矩與轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向一致時(shí)其功為正，反之為負(fù)。

13、若剛體上作用的是力偶，其力偶矩 M為常量，且力偶作用面垂直于轉(zhuǎn)軸，則力偶使剛體轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)角時(shí)所作的功為力偶與轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向一致時(shí)其功為正，反之為負(fù)。 四、合力的功質(zhì)點(diǎn)M 受n個(gè)力作用，則合力的功為即作用于質(zhì)點(diǎn)上力系的合力在任意一路程中所作的功等于各分力在同一路程上所作的功的代數(shù)和。 物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有做功的能力，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。瞬時(shí)量,與速度方向無(wú)關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 第四節(jié) 動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)和剛體的動(dòng)能（P為速度瞬心）平面運(yùn)動(dòng)剛體3剛體的動(dòng)能平動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理這表明，在任意一路程上質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化，等于作用

14、在該質(zhì)點(diǎn)上所有的力在這段路程上所作的功。三、剛體的動(dòng)能定理對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)，作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力有外力和內(nèi)力之分，上式中We和Wi分別表示作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上所有外力和內(nèi)力的功。 或表明質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程上動(dòng)能的改變，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上所有的力在同一段路程上所作的功的總和，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理。 對(duì)質(zhì)點(diǎn)mi對(duì)于剛體來(lái)說(shuō)，由于剛體上任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變，所以剛體內(nèi)力所作的功的和應(yīng)等于零，所以 在工程上，很多約束如光滑固定面、光滑圓柱鉸鏈、繩索等約束的約束力均不作功。約束力作功為零的約束也稱(chēng)為理想約束。所以，在理想約束條件下應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，只需計(jì)算作用在剛體上的主動(dòng)力所作的功。將上式分別應(yīng)

15、用到剛體的各種運(yùn)動(dòng)中去，可得出以下各式：剛體作平動(dòng)：剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體作平面運(yùn)動(dòng)：解題步驟： 選擇質(zhì)點(diǎn)系（或質(zhì)點(diǎn)）研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析。 分析質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算選定過(guò)程起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能。 分析作用于質(zhì)點(diǎn)系的力，計(jì)算各力在該過(guò)程中所作的功。 應(yīng)用動(dòng)能定理建立方程，求解未知量。例一輛載重汽車(chē)如圖所示，以速度v=30/h沿水平直線道路行駛，因遇緊急情況而剎車(chē)。已知汽車(chē)總質(zhì)量為m，輪胎與地面間的摩擦系數(shù)為f=0.6，制動(dòng)后輪子只滑動(dòng)不滾動(dòng) 。求汽車(chē)從開(kāi)始剎車(chē)至停車(chē)所經(jīng)過(guò)的距離s。 mgv解：以汽車(chē)為研究對(duì)象，畫(huà)出受力分析圖。求得汽車(chē)剎車(chē)至停車(chē)所經(jīng)過(guò)的距離 mgv汽車(chē)重力mg，地面法向約束力 FN1、FN2，摩擦力F=F1+F2，重力與地面法向力作用點(diǎn)沒(méi)有位移，故不作功，摩擦力作負(fù)功，于是外力的總功為例：自動(dòng)送料機(jī)構(gòu)的小車(chē)連同礦石的質(zhì)量為m1，鼓輪的質(zhì)