一次二階矩法(2)概要課件

1、ch4一次二階矩法4.1一次二階矩中心點(diǎn)法4.2一次二階矩驗(yàn)算點(diǎn)法4.3JC法4.4相關(guān)隨機(jī)變量的可靠度分析方法隨機(jī)變量為正態(tài)分布，且功能函數(shù)為線性函數(shù)假定抗力R和荷載效應(yīng)S均服從正態(tài)分布，對于功能函數(shù)Z=R-S，,由于Z是R、S的線性函數(shù)，根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量的特性，Z也服從正態(tài)分布，其平均值及標(biāo)準(zhǔn)差為則定義可靠指標(biāo)：正態(tài)分布失效概率與可靠指標(biāo)之間的精確關(guān)系這種情況下可靠指標(biāo)是唯一的，且與失效概率之間有精確的對應(yīng)關(guān)系。令隨機(jī)變量為對數(shù)正態(tài)分布，功能函數(shù)為線性函數(shù)假定抗力R和荷載效應(yīng)S均服從對數(shù)正態(tài)分布，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可表示為Z=lnR-lnS，由于lnR、lnS均服從正態(tài)分布,Z也服從正態(tài)分布，是

2、lnR、lnS的線性函數(shù)，根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量的特性，其平均值及標(biāo)準(zhǔn)差也可以精確得到：可靠指標(biāo)為：4.1中心點(diǎn)法假定隨機(jī)變量x1、x2xn服從正態(tài)分布，但功能函數(shù) 不是線性函數(shù). 這時(shí), (1)精確求解Z的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差是非常困難的; (2)即便能夠求得，Z也不服從正態(tài)分布，也不能用上面方法來計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)。 若將非線性功能函數(shù)作為泰勒級數(shù)展開，其一次展開式（前兩項(xiàng)）的概率分布應(yīng)服從正態(tài)分布;但一次展開式已不是原來的功能函數(shù)，所計(jì)算可靠指標(biāo)與結(jié)構(gòu)失效概率之間不再存在精確的對應(yīng)關(guān)系;在這種情況下如何選擇展開點(diǎn)，從而使近似計(jì)算結(jié)果與精確失效概率的誤差最小,成為一次二階矩法要研究的問題。4.1中心點(diǎn)

3、法基本原理設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為 將極限狀態(tài)函數(shù)在中心點(diǎn)M= ( )處展開為泰勒級數(shù)，并作線性化處理，得根據(jù)概率論中隨機(jī)變量參數(shù)估計(jì) ，Z*的統(tǒng)計(jì)參數(shù)為: 結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo) 在中心點(diǎn)處展開為泰勒級數(shù)：中心點(diǎn)法的線性示意圖該法選用的線性化點(diǎn)（即平均值點(diǎn)）不在失效邊界上（這也被看作中心點(diǎn)法不盡如人意的主要原因）對中心點(diǎn)法的評述中心點(diǎn)法的主要弱點(diǎn)(1)沒有考慮基本變量的概率分布 (2)均值、方差及可靠指標(biāo)的計(jì)算式是誤差傳遞公式(3)同一個(gè)結(jié)構(gòu)往往可以列出幾種等價(jià)的極限狀態(tài)方程，不同的極限狀態(tài)函數(shù)在運(yùn)用中心點(diǎn)法計(jì)算時(shí)，其結(jié)果可能不一致。(4)將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量的平均值處展開不合理，由于平均值不在

4、極限狀態(tài)曲面上，展開后的線性極限狀態(tài)面可能會(huì)較大程度地偏離原來的極限狀態(tài)曲面。 (5)基本變量不服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時(shí)，計(jì)算出的結(jié)構(gòu)可靠度與結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況出入較大，不能采用。驗(yàn)算點(diǎn)法基本原理關(guān)于設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x1，x2，xn)為極限狀態(tài)方程Z=0所對應(yīng)的曲面上的點(diǎn)，d(P，M)為點(diǎn)P到中心點(diǎn)M( )的距離，則能使mind(P，M)的點(diǎn)P*稱為設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，簡稱為驗(yàn)算點(diǎn)。記為P*(x*1，x*2，x*n)，顯然驗(yàn)算點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 驗(yàn)算點(diǎn)法示意M驗(yàn)算點(diǎn)法設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)（1）理論推導(dǎo)當(dāng)線性化點(diǎn)選在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)xi*(i=1,2,n)上時(shí) Z的均值為（求Z的數(shù)學(xué)期望得）由于設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)在失效

5、邊界上，故有 則有表示第個(gè)隨機(jī)變量對整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的相對影響，因此稱為靈敏系數(shù)。設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)（2）假設(shè)各隨機(jī)變量獨(dú)立，則可求解Z的方差： 引入分離函數(shù)式，將上面的根式線性化，得 將 乘以分母整理后得設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)（3）根據(jù)可靠指標(biāo)的定義，有由于 ， 必有 （對于所有i） 設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)（4）從而可解出設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)解出設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*（ ， ， ）后，該點(diǎn)還應(yīng)滿足 式（13）代表n個(gè)方程，再加上（14）共有n+1個(gè)方程，未知數(shù)有 和 ，也是n+1個(gè)。盡管如此，聯(lián)立求解還是有困難，通常用迭代法求解。設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)（5）計(jì)算步驟（1）選取設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)的初值，一般取 （2）

6、由式（11） 計(jì)算 的值，其中包括 （3）由式（13）得到 和 的關(guān)系 （4）由式（14）解出 值 （5）將該值代入式（13），求出 新值 以該 新重復(fù)進(jìn)行（2）-（5）計(jì)算，直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時(shí) 即為所求的可靠指標(biāo)， 即為所確定的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)評述驗(yàn)算點(diǎn)法對極限狀態(tài)方程中服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量計(jì)算結(jié)果尚可，而非正態(tài)分布誤差較大。4.3JC法求可靠指標(biāo)在工程結(jié)構(gòu)可靠度分析中，永久荷載一般服從正態(tài)分布，風(fēng)壓、雪壓、樓面活載服從其它類型分布（如極值型等），截面抗力R服從對數(shù)正態(tài)分布。因此在極限狀態(tài)方程中，常包含非正態(tài)分布的基本變量，對于這種極限狀態(tài)方程

7、的可靠度分析，一般要把非正態(tài)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化,用其當(dāng)量正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)代替原隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，仍按驗(yàn)算點(diǎn)法求解。JC法的基本概念就是在應(yīng)用前面所述方法(驗(yàn)算點(diǎn)法)時(shí)，將非正態(tài)的隨機(jī)變量先行“當(dāng)量正態(tài)化”。JC法是由Rackwitz-Fiessler、Hasofer-Lind等人先后提出來的，因?yàn)閲H安全度聯(lián)合委員會(huì)(JCSS)推薦采用這個(gè)方法而得名。 4.3.1隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化 當(dāng)量正態(tài)變量 ：設(shè)x是服從某分布的連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，分布函數(shù)為F(x)。若存在服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其概率密度為連續(xù)密度函數(shù)h(y),分布函數(shù)H（y）使得在某一點(diǎn)x*處有(1)f(x*)

8、=h(x*)(2)F(x*)=H(x*)則稱y為非正態(tài)變量x在點(diǎn)x*處的當(dāng)量正態(tài)變量。 4.3.1隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化當(dāng)量正態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)1.非正態(tài)變量x在x*處的當(dāng)量正態(tài)變量的均值 取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的逆 ，得由分布函數(shù)的定義及當(dāng)量正態(tài)分布的定義-根據(jù)已知非正態(tài)分布函數(shù)可求其當(dāng)量正態(tài)分布的均值。4.3.1隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化2.當(dāng)量正態(tài)變量標(biāo)準(zhǔn)差 將（5）式引入，得：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)4.3.1隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化式(5)和(6)表示的就是當(dāng)量正態(tài)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，它們是由已知的非正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)表示出來的。目的：用非正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)求當(dāng)量正態(tài)變量統(tǒng)

9、計(jì)參數(shù)隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化舉例當(dāng)量正態(tài)化實(shí)例1 極值I型分布某可變荷載產(chǎn)生的壓力SQ服從極值I型分布，平均值為84.0kN，標(biāo)準(zhǔn)差25.2kN，試對SQ進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)處理（在S*Q=84.0處）。極值I型（最大值）分布4.3.1隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化即：已知的極值I型分布在均值處的當(dāng)量正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差和均值分別為24.096和79.735隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化當(dāng)量正態(tài)化實(shí)例 2對數(shù)正態(tài)分布（由于對數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布的特殊關(guān)系，其當(dāng)量正態(tài)化有更簡捷的形式 ），推導(dǎo)如下：，為的當(dāng)量正態(tài)變量X服從對數(shù)正態(tài)分布，x=lnx服從正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)密度函數(shù)：正態(tài)分布密度函數(shù)：隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化由當(dāng)量正態(tài)化定義

10、依據(jù)對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)與正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系4.3.2JC法求可靠指標(biāo)計(jì)算步驟設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為Z=g(x1，x2，xn)=0，基本變量xi的統(tǒng)計(jì)參數(shù)均值為 標(biāo)準(zhǔn)差為 ，(i=1，n)，則JC法的具體實(shí)施步驟加下： （l）假定基本隨機(jī)變量的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*的坐標(biāo)值 （初值一般取為 ）； （2）對基本變量xi在驗(yàn)算點(diǎn)處進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化處理，計(jì)算其當(dāng)量正態(tài)分布yi的統(tǒng)計(jì)參數(shù) ， ,并用來代替 和 并記為 ， ( 1，n)；(3）計(jì)算 的值，其中包括 注意此處的 用當(dāng)量正態(tài)化后的數(shù)值，即4.3.2JC法求可靠指標(biāo)計(jì)算步驟（4） 確定 和 的關(guān)系 （5）求（6）求出 新值 （7）以該新 重復(fù)進(jìn)行（2）（5

11、）計(jì)算 ，直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時(shí) 即為所求的可靠指標(biāo)， 即為所確定的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)。 4.3.3JC法計(jì)算實(shí)例某軸心受壓短柱，承受永久荷載產(chǎn)生的壓力SG，汽車、人群可變荷載產(chǎn)生的壓力SQ，截面抗力為R。各變量的統(tǒng)計(jì)信息如下表，試用JC法求可靠指標(biāo)及對應(yīng)的失效概率。變量SGSQR分布類型正態(tài)極值I型對數(shù)正態(tài)平均值63（kN）84（kN）365.8kN）標(biāo)準(zhǔn)差5.8（kN）25.2kN）54.9（kN）4.3.3JC法計(jì)算實(shí)例1.建立極限狀態(tài)方程 Z=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=02.假定初始的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn),初始驗(yàn)算點(diǎn)取為均值，即 x1*=R*=365.8；x2

12、*=SG*=63；x3*=SQ*=84.03.將非正態(tài)變量R 和SQ在均值處進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化處理抗力R對數(shù)正態(tài)分布，則 4.3.3JC法計(jì)算實(shí)例可變荷載SQ極值I型分布，則4.3.3JC法計(jì)算實(shí)例4計(jì)算Z=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=0JC法計(jì)算實(shí)例5. 和 的關(guān)系 JC法計(jì)算實(shí)例6.將求得的 代回5重新R*、 第一次迭代結(jié)果7. 以第6步得到的值進(jìn)行第二次迭代，此時(shí)（1）R*108.16 （2）R和SQ的當(dāng)量正態(tài)化處理(因 x* 的變化，其當(dāng)量正態(tài)變量相應(yīng)也變了）JC法計(jì)算實(shí)例SQ的當(dāng)量正態(tài)化處理：R的當(dāng)量正態(tài)化處理：(3)計(jì)算（4）第2次迭代求出新的R*=244.6,SG*

13、=65.855,SQ*=178.74第三次迭代結(jié)果：求出新的R*=268.18,SG*=64.83,SQ*=203.36第四次迭代結(jié)果：求出新的R*=244.60,SG*=65.855,SQ*=178.74第五次迭代結(jié)果：求出新的R*=271.69,SG*=64.617,SQ*=207.09停止迭代，計(jì)算結(jié)束對JC法的評述（1）一次二階矩法中較為精確的可靠度分析方法；（2）與驗(yàn)算點(diǎn)法有相同的原理和步驟，區(qū)別在于：對非正態(tài)分布的隨機(jī)變量，計(jì)算過程中用到的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，均為其當(dāng)量正態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)；（3）當(dāng)量正態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)隨驗(yàn)算點(diǎn)位置而變化，每一次迭代都要重新算一次當(dāng)量正態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。作業(yè)4.

14、4相關(guān)隨機(jī)變量的可靠度分析方法引言：以上三種方法，要求隨機(jī)變量相互獨(dú)立。實(shí)際工程中隨機(jī)變量之間可能存在著一定的相關(guān)性，如：海（水）工結(jié)構(gòu)的風(fēng)荷載與水壓力；結(jié)構(gòu)自重與抗力巖土工程中的粘聚力和內(nèi)摩擦角；地震作用與抗力等。4.4.1廣義隨機(jī)空間的概念各坐標(biāo)軸之間是正交的笛卡爾空間各坐標(biāo)軸之間不是正交的廣義隨機(jī)空間相關(guān)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)隨機(jī)變量的協(xié)方差：相關(guān)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)：4.4.1廣義隨機(jī)空間的概念理論上的可靠度分析方法廣義隨機(jī)空間內(nèi)的功能函數(shù)為 構(gòu)成的廣義隨機(jī)空間內(nèi)，結(jié)構(gòu)的失效概率 可由下式給出：按上式直接計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率是比較困難的！4.4.1廣義隨機(jī)空間的概念簡單問題對于功能函

15、數(shù)Z=R-S，R、S服從正態(tài)分布（非相互獨(dú)立），則Z也服從正態(tài)分布，其統(tǒng)計(jì)參數(shù)可表示為：此時(shí)的可靠指標(biāo)：4.4.2廣義隨機(jī)空間內(nèi)的可靠度分析方法實(shí)際問題（1）正態(tài)隨機(jī)變量線性極限狀態(tài)方程的情況由正態(tài)隨機(jī)變量的特性知，Z也服從正態(tài)分布，其統(tǒng)計(jì)參數(shù)為以三個(gè)隨機(jī)變量為例4.4.2廣義隨機(jī)空間內(nèi)的可靠度分析方法實(shí)際問題（2）一般情況下（即功能函數(shù)為非線性以及隨機(jī)變量是非正態(tài)分布）將非線性功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處線性展開將非正態(tài)隨機(jī)變量在驗(yàn)算點(diǎn)處進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化處理對隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化、對功能函數(shù)線性化處理后，原功能函數(shù)變?yōu)椋?.4.2廣義隨機(jī)空間內(nèi)的可靠度分析方法對于非正態(tài)變量的當(dāng)量正態(tài)化并不改變隨機(jī)變量間的線性相關(guān)性，即通過隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化，即用驗(yàn)算點(diǎn)法進(jìn)行可靠度分析(即JC法)：同樣，引入分離函數(shù) ，將根式線性化稱為靈敏系數(shù)可靠度分析公式為4.4.3廣義隨機(jī)空間內(nèi)的可靠度分析方法實(shí)例X1服從正態(tài)分布，X2服從正態(tài)分布，X1 、X2相關(guān)實(shí)例4實(shí)例5(1) 求標(biāo)準(zhǔn)差及靈敏系數(shù) 初值1234X1*38.029.696030.088530.132930.1329X2*7.04.3777