空氣動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)第2章 （補(bǔ)）粘性流體動(dòng)力學(xué)概述

1、空氣動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)第2章 （補(bǔ)） 粘性流體動(dòng)力學(xué)概述粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響 雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流 粘性流體的應(yīng)力狀態(tài) 廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系） 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程-Navier-Stokes方程工程中遇到的問(wèn)題大多是粘性流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，實(shí)際的粘性流體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象遠(yuǎn)比理想流復(fù)雜，從而控制粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程及其求解也相對(duì)復(fù)雜本章（補(bǔ)）的任務(wù)是：介紹粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本概念、流動(dòng)現(xiàn)象和流動(dòng)特征建立控制粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程得到解決粘性流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路、方法和途徑（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響 流體的粘滯性是指，流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下抵抗剪切變形能力。 流體的剪切變形:流體質(zhì)

2、點(diǎn)之間出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 因此流體的粘滯性是指抵抗流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)能力。 在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體不能承受剪力。 但是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，流體可以承受剪力，而且對(duì)于不同種流體所承受剪力大小是不同的。 自然界中流體都具有粘性，因此粘性對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的影響是普遍存在的。 對(duì)于具體的流動(dòng)問(wèn)題，粘性所起的作用并不一定相同。 特別是象水和空氣這樣的小粘性流體，對(duì)于某些問(wèn)題忽略粘性的作用可得到滿意的結(jié)果。 因此為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，提出了理想流體的概念和理論。 然而對(duì)于實(shí)際的流動(dòng)，粘性對(duì)流動(dòng)的影響是如何體現(xiàn)的？粘性流動(dòng)的特點(diǎn)是什么？（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響我們首先回顧一下在緒論中曾經(jīng)提到過(guò)的幾個(gè)與粘性流體運(yùn)動(dòng)有關(guān)的基本

3、現(xiàn)象和問(wèn)題：為什么麻面的高爾夫球比光球打得更遠(yuǎn)？（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響為什么自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員要戴一個(gè)圓頭尖尾的帽子？能否反過(guò)來(lái)戴成尖頭圓尾，或做成尖頭尖尾？為什么汽車(chē)的阻力主要取決于汽車(chē)后部而不是前部？為什么汽車(chē)和飛機(jī)作高速運(yùn)行時(shí)，我們?cè)诠β剩ㄈ剂舷模┥媳仨毟冻雠c速度增加不成比例的超乎想象的高代價(jià)？為什么空氣阻力是速度的最終限制？（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響 以下用若干流動(dòng)事例說(shuō)明粘性流動(dòng)與無(wú)粘流動(dòng)的差別。 （1）繞過(guò)平板的均直流動(dòng)理想流流過(guò)無(wú)厚度平板時(shí)的流動(dòng)特點(diǎn)： 不允許流體穿透平板（不穿透條件）允許流體質(zhì)點(diǎn)滑過(guò)平板平板對(duì)流動(dòng)不產(chǎn)生任何影響，平板對(duì)流動(dòng)無(wú)阻滯作用，平板阻力為零粘性

4、流體流過(guò)無(wú)厚度平板時(shí)的流動(dòng)特點(diǎn)：不允許流體穿透平板（滿足不穿透條件）不允許流體在平板上滑移（滿足不滑移條件，由于粘性，緊貼板面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附在平板上與板面無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)）（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響與物面的粘附條件（無(wú)滑移條件）是粘性流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要標(biāo)志。 隨著離開(kāi)板面的距離加大，與物面的強(qiáng)粘性作用逐步向外層傳遞，直至流層間不存在速度差別。 平板附近速度梯度很大，流層之間的粘性切應(yīng)力不能忽略，這個(gè)區(qū)稱為邊界層區(qū)。 平板對(duì)流動(dòng)起阻滯作用，平板阻力不為零。 （一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響（2）圓柱繞流 理想流體繞流圓柱時(shí)的流動(dòng)特點(diǎn)：在流體質(zhì)點(diǎn)繞過(guò)圓柱的過(guò)程中，只有動(dòng)能、壓能的相互

5、轉(zhuǎn)換，而無(wú)機(jī)械能的損失。 在圓柱面上壓強(qiáng)分布對(duì)稱，無(wú)阻力存在。 （達(dá)朗貝爾疑題）（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響粘性流體繞圓柱時(shí)的繞流特點(diǎn)：邊界層分離機(jī)械能損失: 物面近區(qū)由于粘性將產(chǎn)生邊界層，由A點(diǎn)到B點(diǎn)的流程中將消耗部分動(dòng)能用于克服摩擦阻力做功喪失部分機(jī)械能的邊界層流動(dòng)無(wú)法滿足由B點(diǎn)到D點(diǎn)壓力升高的要求，在BD流程內(nèi)流經(jīng)一段距離就會(huì)將全部動(dòng)能消耗殆盡（一部分轉(zhuǎn)化為壓能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某點(diǎn)速度變?yōu)榱悖⊿點(diǎn)）。 流體將從這里離開(kāi)物面進(jìn)入主流場(chǎng)中，這種現(xiàn)象稱為邊界層分離，S 點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。 分離點(diǎn)下游流體發(fā)生倒流，形成了旋渦區(qū)。 （一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響旋渦區(qū)的出現(xiàn)

6、，使得圓柱壁面壓強(qiáng)分布發(fā)生了變化，前后不對(duì)稱（如前駐點(diǎn)的壓強(qiáng)要明顯大于后駐點(diǎn)的壓強(qiáng)），因此出現(xiàn)了壓差阻力。 對(duì)繞圓球的粘性流動(dòng)不僅存在摩擦阻力，還存在壓差阻力，壓差阻力是由于邊界層分離后壓強(qiáng)不平衡造成的，但本質(zhì)上仍然是由于粘性造成的。 （一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響粘性對(duì)流動(dòng)的影響小結(jié)：（1）粘性摩擦切應(yīng)力及其與物面的粘附條件（無(wú)滑移條件）是粘性流體運(yùn)動(dòng)有別與理想流體運(yùn)動(dòng)的主要標(biāo)志。 （2）粘性是產(chǎn)生摩擦阻力的根本原因，粘性邊界層在一定條件（逆壓梯度）下產(chǎn)生分離是形成壓差阻力的根本原因。 （3）對(duì)于研究阻力、邊界層及其分離、旋渦的擴(kuò)散等問(wèn)題時(shí)，粘性起主導(dǎo)作用不能忽略。 （一）流體的粘性及其對(duì)

7、流動(dòng)的影響（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響粘性流體抵抗剪切變形的能力，可通過(guò)流層間的剪切力表現(xiàn)出來(lái)（這個(gè)剪切力稱為內(nèi)摩擦力）。 粘性流體在流動(dòng)過(guò)程中必然要克服內(nèi)摩擦力做功，因此流體粘滯性是流體發(fā)生機(jī)械能損失的根源。 牛頓的內(nèi)摩擦定律（Newton，1686年） F=AU/h FhU（一）流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響流層之間的內(nèi)摩擦力與接觸面上的壓力無(wú)關(guān)。 設(shè) 表示單位面積上的內(nèi)摩擦力（粘性切應(yīng)力），則 ：動(dòng)力粘性系數(shù)（單位：Ns/m2） =/：運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)（單位：m2/s ） 水= 10-6 (m2/s) 空氣=10-5 (m2/s)（一）、流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響一般流層速度分布不是直線，如

8、圖所示。 y u 0 速度梯度du/dy ：?jiǎn)挝桓叨攘鲗拥乃俣仍隽?速度梯度 du/dy 物理上也表示流體質(zhì)點(diǎn)剪切變形速度或角變形率。 如圖所示： u+du dy d u dudt （一）、流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響 流體切應(yīng)力與速度梯度的一般關(guān)系為：1 . =0+du/dy，binghan流體，泥漿、血漿、牙膏等2 . =（du/dy）0.5 ，偽塑性流體，尼龍、橡膠、油漆等3 . =du/dy ，牛頓流體，水、空氣、汽油、酒精等4 . =(du/dy)2，脹塑性流體，生面團(tuán)、濃淀粉糊等5 . 0，0，理想流體，無(wú)粘流體。 1234（一）、流體的粘性及其對(duì)流動(dòng)的影響雷諾（Osborne Re

9、ynolds，18421921，英國(guó)工程師兼物理學(xué)家，維多利亞大學(xué)（曼徹斯特）教授）最早詳細(xì)研究了管道中粘性流體的流動(dòng)狀態(tài)及其影響因素。 （二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流層流湍流加大流速或減小粘性時(shí)HC甘油和水的混合液，可變混合比例流態(tài)從層流到湍流的過(guò)渡稱為轉(zhuǎn)捩。 實(shí)驗(yàn)表明流態(tài)的轉(zhuǎn)捩不是單單取決于某一個(gè)流動(dòng)參數(shù)V ,等，而是取決于無(wú)量綱的相似組合參數(shù)雷諾數(shù)，記為Re：在非管道流動(dòng)中也存在層流與湍流這兩種不同的流態(tài)，從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩也與雷諾數(shù)大小有關(guān)（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)之所以對(duì)粘性流體運(yùn)動(dòng)的流態(tài)及其他相關(guān)特性起著重要作用，在于雷諾數(shù)具有很明顯的物理意義。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著雷諾數(shù)增加而呈現(xiàn)的

10、不同流態(tài)(層流或湍流)對(duì)于流動(dòng)的摩擦阻力、流動(dòng)損失、速度分布等影響很大。 雷諾數(shù)的物理意義：雷諾數(shù)代表作用在流體微團(tuán)上的慣性力與粘性力之比。 （二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流雷諾數(shù)正比于慣性力與粘性力之比的說(shuō)明： 慣性力正比于質(zhì)量乘加速度： V2 L2粘性力正比于剪應(yīng)力乘面積： VL因此慣性力與粘性力之比正比于：（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流大型民航客機(jī)的飛行雷諾數(shù)可達(dá)上百萬(wàn)至幾千萬(wàn)（106107）了解雷諾數(shù)的物理意義可幫助我們判斷一個(gè)流動(dòng)中何種因素占主導(dǎo)作用，但要注意不要將雷諾數(shù)的絕對(duì)數(shù)值等同于慣性力與粘性力的絕對(duì)比值（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流日本設(shè)計(jì)的機(jī)械蜻蜓俄羅斯設(shè)計(jì)的機(jī)械蜻蜓美國(guó)設(shè)計(jì)的機(jī)械蒼蠅

11、微型飛行器的飛行雷諾數(shù)只有幾百到幾萬(wàn)的量級(jí)（102104）（二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流空氣中的懸浮塵埃其運(yùn)動(dòng)雷諾數(shù)則更低甚至可以小于1需要再次強(qiáng)調(diào)：雷諾數(shù)代表慣性力與粘性力之比只是宏觀量級(jí)上的比例關(guān)系，根據(jù)雷諾數(shù)的大小可以判斷流動(dòng)中何種因素占主導(dǎo)作用，但絕不能認(rèn)為 Re=1 表示流動(dòng)的慣性力與粘性力剛好相等。 （二）雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流 管中層流與湍流的對(duì)比拋物線分布 對(duì)數(shù)分布層流Re4000（二）、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流10 000(2 300, 10 000)(100, 2 300)（二）、雷諾實(shí)驗(yàn)、層流與湍流Basic Aerodynamics管道中層流與湍流的區(qū)別層流 湍流1. Re2.外

12、觀3. 質(zhì)量與動(dòng)量交換4. 速度分布5. 損失6. 剪應(yīng)力較大流動(dòng)紊亂、不規(guī)則，外表粗糙在縱向和橫向存在較大的微團(tuán)宏觀質(zhì)量、動(dòng)量交換平均速度是較飽滿的對(duì)數(shù)分布，壁面附近速度和梯度相對(duì)較大隨Re增加轉(zhuǎn)捩時(shí)損失增加牛頓應(yīng)力及雷諾應(yīng)力較小色線規(guī)則，流動(dòng)分層，外表光滑流層間只限于分子間的較小的擴(kuò)散較尖瘦的拋物線分布，壁面附近速度和梯度都相對(duì)較小隨Re增加而降低牛頓應(yīng)力雷諾數(shù)對(duì)流動(dòng)影響的進(jìn)一步舉例雷諾數(shù)不同使得射流流態(tài)及其混合狀況根本不同：雷諾數(shù)不同使得機(jī)翼的邊界層流態(tài)、速度分布、壓力分布、升力特性和阻力特性根本不同斯托克斯阻力定律： 高雷諾數(shù)時(shí)物體受到的流動(dòng)阻力正比于: V2 L2 低雷諾數(shù)時(shí)物體受到

13、的流動(dòng)阻力正比于: V L 甘油 甘油與水的混合液 水 Re=0.05 10 200 3000Vortex generatorVortex generatorVortex generatorVortex generator1、理想流體和粘性流體作用面受力差別靜止或理想流體內(nèi)部任意面上只有法向力，無(wú)切向力粘性流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力（三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)在粘性流體運(yùn)動(dòng)中，過(guò)任意一點(diǎn)任意方向單位面積上的表面力不一定垂直于作用面，可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個(gè)分量，分別為法應(yīng)力分量和切應(yīng)力分量2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)（三）粘性流體的

14、應(yīng)力狀態(tài)從而三個(gè)面的合應(yīng)力可表示為 x面 : y面: z面:由此可見(jiàn)，用兩個(gè)下標(biāo)可把各個(gè)應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。 其中第一個(gè)下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。 如果在同一點(diǎn)上給定三個(gè)相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過(guò)該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過(guò)坐標(biāo)變換唯一確定。 （三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)上述九個(gè)應(yīng)力分量可寫(xiě)為：這九個(gè)應(yīng)力分量并不全部獨(dú)力，其中的六個(gè)切向應(yīng)力是兩兩相等的，所以獨(dú)立的一共是三個(gè)法向的，三個(gè)切向的。 這個(gè)結(jié)論可利用對(duì)微元六面體的動(dòng)量矩定理得到證明，思路是：一對(duì)剪應(yīng)力對(duì)微元產(chǎn)生的力矩將與徹體力力矩和微元質(zhì)量的動(dòng)量矩平衡，而后二者都正比于微元的體

15、積乘以微距離，是一個(gè)高階小量可略去，從而得到這一對(duì)剪應(yīng)力相等。 注：有的教材將法向應(yīng)力記為:（三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)關(guān)于應(yīng)力的幾個(gè)要點(diǎn)：（1）在理想流體及靜止流體中不存在切應(yīng)力，三個(gè)法向應(yīng)力相等（各向同性），等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。 即：（2）在粘性運(yùn)動(dòng)流體中，任意一點(diǎn)的任何三個(gè)相互垂直面上的法向應(yīng)力之和為一個(gè)不變量，并定義此不變量的平均值為該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。 即：（3）在粘性運(yùn)動(dòng)流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。 （三）粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)Stokes（1845年）根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定理的啟發(fā)（粘性流體作直線層狀流動(dòng)時(shí)，層間切應(yīng)力與速度梯度成正比），在一些合理的假設(shè)下將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提

16、出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理-應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）：這個(gè)關(guān)系將六個(gè)應(yīng)力與微團(tuán)的變形率直接聯(lián)系（線性關(guān)系）。 滿足上述關(guān)系的流體稱為牛頓流體。 （四）廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）對(duì)于不可壓縮流體，上述應(yīng)力應(yīng)變率關(guān)系可化簡(jiǎn)為：（四）廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）本構(gòu)關(guān)系滿足：1、流體運(yùn)動(dòng)的基本方程利用牛頓第二定律推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動(dòng)微分方程。 像推導(dǎo)歐拉方程一樣，在流場(chǎng)中取一個(gè)微元六面體進(jìn)行分析，以x方向?yàn)槔?，建立運(yùn)動(dòng)方程。 現(xiàn)在由于是粘性流體，作用在中心P點(diǎn)處不僅有法向應(yīng)力，而且還有切向應(yīng)力，控制面上的應(yīng)力可用中心點(diǎn)處應(yīng)力泰勒召開(kāi)表示。 作用在ABCD和ABCD兩個(gè)側(cè)面的法向力差是：作用

17、在ABBA和CDCD兩個(gè)側(cè)面的切向力差是：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程-Navier-Stokes方程作用在ADAD和BCBC兩個(gè)側(cè)面的切向力差是：仍然設(shè)單位質(zhì)量徹體力分量為：fx , fy , fz , 按照牛頓第二定律：是歐拉法表示的加速度或速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。 （五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程-Navier-Stokes方程或：同理：將反映粘性應(yīng)力與應(yīng)變率關(guān)系的廣義牛頓內(nèi)摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 N-S 方程：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程-Navier-Stokes方程其中 是拉普拉斯算子：可見(jiàn)，對(duì)于理想流右端的粘性項(xiàng)為零，方程化為歐拉方程。 （五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程-Navier-Stoke

18、s方程當(dāng)不可壓時(shí)，根據(jù)連續(xù)方程：則不可壓粘流的 N-S方程寫(xiě)為：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程-Navier-Stokes方程用 三個(gè)方向的單位向量 i 、j、k 分別乘上三式并相加，可得不可壓粘流 N-S方程比較簡(jiǎn)捷的向量形式：（五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程-Navier-Stokes方程為了研究流體的有旋性，格羅米柯- Lamb等將速度的隨體導(dǎo)數(shù)加以分解，把渦量分離出來(lái)，形成如下形式的格羅米柯-Lamb型方程。 這樣有利于研究流體的有旋性：2、伯努利(Bernoulli)積分 伯努利家族（瑞士）前后四代，數(shù)十人，形成歷史上罕見(jiàn)的數(shù)學(xué)大家族。 其中， Bernoulli, Nocholas(尼古拉斯.伯努利，1623-1708 ），瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族第一代。 Bernoulli, Johann（約翰.伯努利，1667-1748 ），伯努利數(shù)學(xué)家族第二代，提出著名的虛位移原理。 Bernoulli, Daniel（丹尼爾.伯努利，1700-1782 ），伯努利數(shù)學(xué)家族第三代， Johann.伯努利的兒子，著有流體動(dòng)力學(xué)（1738），將微積分方法運(yùn)用到流體動(dòng)力學(xué)中，提出著名的伯努利方程。 （五）粘性流體運(yùn)動(dòng)方程將定常、不可壓、徹體力為重力（=gy）條件下的格羅米柯方程沿流線 投影得：（