XXXX競賽培訓講稿1-隨機模型與假設檢驗ppt課件

1、隨機性模型選講理學院 數(shù)學教研部鄭繼明: zhengjm202107181Outline1. 簡單的隨機性模型2. 報童的賣報問題 傳染病的隨機感染 為什么航空公司要超訂機票 假設檢驗my教案/teacherFile.php?t=125&id=zhengjm202107182按建模時：確定性要素? 隨機性要素?隨機要素可以忽略(隨機要素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn))隨機要素影響必需思索概率模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型數(shù)學模型分類確定性模型隨機性模型2021071831 簡單的隨機性模型1.1 取球問題 問題：盒中放有12個乒乓球，其中有9個是新的，第一次競賽時從盒中任取3個，用后仍放回盒中，

2、第二次競賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的球都是新球的概率。202107184 分析：第二次取球是在第一次競賽之后，所以當?shù)诙稳∏驎r盒中就不一定有9個新球了，由于第一次用的3個球能夠有0、1、2、3個新球，所以第二次全取新球直接受這四種能夠性的影響，可用全概率公式求解。設A表示“第二次取出的球都是新球的事件； i0,1,2,3表示“第一次競賽時用了i個新球那么得： | 于是由全概率公式| 2021071851.2 電能供應問題 問題：某車間有耗電為5KW的機床10臺，每臺機床運用時是各自獨立地且間隙地任務，平均每臺每小時任務12min。該車間配電設備的容量為32KW，求該車間配電設備超載的

3、概率。202107186分析：每臺耗電量為5KW，而配電設備容量為32KW，顯然，有七臺或七臺以上的機床同時任務時，設備會發(fā)生超載景象。下面求出現(xiàn)這種景象的概率。 察看10臺完全一樣的機床在同一時辰的任務情況與察看一臺機床在10個時辰的任務情況是一樣的。我們關懷的問題是機床能否正在任務。 對于任一時辰，機床要么任務，要么不任務，只需兩個結(jié)果，而10臺機床的任務是相互獨立的，每臺機床正在任務的概率一樣且 ，這是貝努利概型. 202107187 由二項分布知，“在同一時辰不少于七臺機床同時任務的概率注：該車間設備超載的能夠性(概率)是非常小的。 2021071881.3 客車停站問題 問題：一輛送

4、客汽車載有20位乘客從起點站開出，沿途有10個車站可以下車，假設到達一個車站沒有乘客下車就不停車，設每位乘客在每一個車站下車是等能夠的，試求汽車平均停車次數(shù)。202107189設隨機變量X表示停車次數(shù)那么 由于每位乘客在每一車站下車是等能夠的，所以每一位乘客在第i站不下車的概率為 ， 記所以2021071810從而得汽車平均停車次數(shù)： 20210718111.4 蒲豐投針問題 問題：平面上畫有等間隔為 的一些平行線，向此平面任投一長為 的針，試求此針與任一平行線相交的概率。 以M表示針落下后的中點,x表示M到最近一條平行線的間隔， 表示針與平行線的交角，如圖 2021071812分析：有兩種能

5、夠 (針與這些平行線中的某一根相交，或都不相交。) 沒有理由以為這兩種能夠性是一樣大的。 用幾何概率去處理。 根身手件區(qū)域其面積為： 2021071813 而A的面積為 ,針與平行線相交的充要條件是 故所求概率為 下面用MATLAB求解2021071814注：rand(n)=rand(n,n)rand(m,n) 生成一個滿足均勻分布的 m n 隨機矩陣，矩陣的每個元素都在 (0,1) 之間。隨機函數(shù)round(x) : 四舍五入取整取整函數(shù) 實驗方法 先設定進展實驗的總次數(shù) 采用循環(huán)構(gòu)造，統(tǒng)計指定事件發(fā)生的次數(shù) 計算該事件發(fā)生次數(shù)與實驗總次數(shù)的比值MATLAB相關知識2021071815 隨機

6、投擲均勻硬幣，驗證國徽朝上與朝下的概率能否都是 1/2 (穩(wěn)定性)n=10000; % 給定實驗次數(shù)m=0;for i=1:n x=randperm(2)-1; y=x(1); if y=0 % 0 表示國徽朝上，1 表示國徽朝下 m=m+1; endendfprintf(國徽朝上的頻率為：%fn,m/n);實驗一：投擲硬幣2021071816 設某班有 m 個學生，那么該班至少有兩人同一天生日的概率是多少？實驗二：生日問題解：設一年為 365 天，且某一個學生的生日出如今一年中的每一天都是等能夠的，那么班上恣意兩個學生的生日都不一樣的概率為：所以，至少有兩個學生同一天生日的概率為：20210

7、71817n=1000; p=0; m=50; % 設該班的人數(shù)為 50for t=1:n a=; q=0; for k=1:m b=randperm(365); a=a,b(1); end c=unique(a); if length(a)=length(c) p=p+1; endendfprintf(任兩人不在同一天生日的頻率為：%fn,1-p/n);實驗二源程序2021071818clear; m = 50;p1= 1:365; p2= 1:365-m, 365*ones(1,m);p = p1./p2;p = 1- prod(p);fprintf(至少兩人同一天生日的概率為：%fn,p

8、);實驗二的實際值計算2021071819 ,2021071820function buffon(l,d,n)% l平行線間距 % d針長，n 為投針次數(shù) m=0; for i=1:n alpha=rand(1)*pi; y=rand(1)*d/2; if y=l/2*sin(alpha) m=m+1; endendfprintf(針與平行線相交的頻率為：%fn,m/n);fprintf(計算出來的 pi 為：%fn,2*n*l/(m*d);源程序2.12021071821function pai,number=buffon1(a,b,N) % a，b分別為平行線間距和針長，N 為投針次數(shù) x

9、=unifrnd(0,pi,N,1); y=unifrnd(0,a,N,1); number=0; % 相交計數(shù)器 for i=1:N if y(i)bc。請他給報童謀劃一下，他應如何確定每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。 2021071823 分析：報童購進數(shù)量應根據(jù)需求量確定，但需求量是隨機的，所以報童每天假設購進的報紙?zhí)?，不夠賣，會少賺錢；假設購進太多，賣不完就要賠錢，這樣由于每天報紙的需求量是隨機的，致使報童每天的收入也是隨機的 因此衡量報童的收入，不能是報童每天的收入，而應該是他長期幾個月、一年賣報的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀念看，這相當于報童每天收入的期望值，以下簡稱平

10、均收入。2021071824 記報童每天購進n份報紙時平均收入為G(n)，思索到需求量為r的概率是p(r)，所以 假設報童曾經(jīng)經(jīng)過本人的閱歷或其它渠道掌握了需求量的隨機規(guī)律，即在他的銷售范圍內(nèi)每天報紙的需求量為r份的概率是p(r),r0,1,2, 。問題歸結(jié)為在p(r)、a、b、c知時，求n使G(n)最大。 2021071825 通常需求量r的取值和購進量n都相當大，將r視為延續(xù)變量，這時p(r)轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)f(r)，(1)式變?yōu)椋?計算 2021071826使報童日平均收入到達最大的購進量n應滿足(3)，或2021071827 根據(jù)需求量的概率密度f(r)的圖形很容易從(4)式確定購進

11、量n。 n=? 在圖中，用 分別表示曲線f(r)下的兩塊面積，那么(3)式又可記作： 2021071828由于當購進n份報紙時：是賣不完的概率； 是賣完的概率；購進的份數(shù)n應該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢ab與退回一份賠的錢bc之比。 (3)(或5)式闡明：2021071829 當報童與郵局簽署的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數(shù)就應該越多。 例如：假設每份報紙的購進價為0.15元，售出價為0.2元，退回價為0.12元，需求量服從均值500份、均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應購進多少份報紙才干平均收入最高，這個最高收入是多少？2021071830解：查表可

12、得n0.32516即每天購進516份報紙。 按照(2)式，可得最高收入G23.484元。由于按(4)式， 其中 500 ,50由于2021071831 問題： 人群中有病人帶菌者和安康人易感染者.任何兩人之間的接觸是隨機的.當安康人與病人接觸時安康人能否被感染也是隨機的.經(jīng)過實踐數(shù)據(jù)或閱歷掌握了這些隨機規(guī)律. 怎樣估計平均每天有多少安康人被感染，這種估計的準確性有多大？ 3 傳染病的隨機感染 一個完好的建模引見求解方法?2021071832 (參見美-堆鹽問題87A求解)2021071833 模型假設注：符號闡明2021071834 陳列與組合，概率計算 隨機變量與分布函數(shù)，離散型隨機變量的分

13、布律二項分布預備知識建模時能夠用到的一些物理定律、數(shù)學公式或方法等建模目的是尋覓安康人中每天平均被感染的人數(shù)與知參數(shù) 的關系. 模型分析2021071835 模型建立利用二項分布的性質(zhì)并留意到人群總數(shù)為n,有記假設2中任何二人接觸的概率為一安康人與一名指定病人接觸的概率. 一安康人每天接觸的人數(shù)服從二項分布. 2 再記一安康人與一名指定病人接觸并感染的概率為32021071836 模型建立(4)一安康人每天被感染的概率 2021071837 模型建立與求解為了得到簡明的便于解釋的結(jié)果，需對4式進展簡化。 7最后得到89方法、推導2021071838 模型求解數(shù)據(jù)處置2021071839 模型解

14、釋結(jié)果分析2021071840 模型評注模型推行、或模型優(yōu)缺陷2021071841 模型評注注: 參賽論文除摘要外，還要附上參考文獻、程序、數(shù)據(jù)處置情況等.20210718424 為什么航空公司要超訂機票 問題：他備好行裝預備去游覽，訪問New York城的一位摯友。在檢票處登記之后，航空公司職員通知說，他的航班曾經(jīng)超員訂票。乘客們該當馬上登記以便確定他們能否還有一個座位。 航空公司一向清楚，預訂一個特定航班的乘客們只需一定的百分比將實踐乘坐那個航班。因此，大多數(shù)航空公司超員訂票?也就是，他們辦理超越飛機定員的訂票手續(xù)。而有時，需求乘坐一個航班的乘客是飛機包容不下的，導致一位或多位乘客被擠出而

15、不能乘坐他們預訂的航班。 航空公司安排延誤乘客的方式各有不同。有些得不到任何補償，有些改訂到其他航線的稍后航班，而有些給予某種現(xiàn)金或者機票折扣。建模練習 2021071843 根據(jù)當前情況，思索超員訂票問題： 航空公司安排較少的從A地到B地航班 機場及其外圍加強平安性 乘客的恐懼 航空公司的收入迄今損失達數(shù)千萬美圓 建立數(shù)學模型，用來檢驗各種超員訂票方案對于航空公司收入的影響，以求找到一個最優(yōu)訂票戰(zhàn)略，就是說，航空公司對一個特定的航班訂票該當超員的人數(shù)，使得公司的收入到達最高。確保他的模型反映上述問題，而且思索處置“延誤乘客的其他方法。此外，書寫一份簡短的備忘錄給航空公司的CEO首席執(zhí)行官，概

16、述他的發(fā)現(xiàn)和分析。 20210718445.1 統(tǒng)計量均值：mean(x)中位數(shù)：median(x)規(guī)范差：std(x) 方差：var(x)5 假設檢驗2021071845偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x)2021071846 對總體X的分布律或分布參數(shù)作某種假設，根據(jù)抽取的樣本察看值，運用數(shù)理統(tǒng)計的分析方法，檢驗這種假設能否正確，從而決議接受假設或回絕假設.5.2 假設檢驗20210718471.參數(shù)檢驗：假設觀測的分布函數(shù)類型知，這時構(gòu)造出的 統(tǒng)計量依賴于總體的分布函數(shù)，這種檢驗稱為參數(shù)檢驗. 參數(shù)檢驗的目的往往是對總體的參數(shù)及其有關性質(zhì)作出明確的判別.2.非參數(shù)檢

17、驗：假設所檢驗的假設并非是對某個參數(shù)作出明確的判別，因此必需求求構(gòu)造出的檢驗統(tǒng)計量的分布函數(shù)不依賴于觀測值的分布函數(shù)類型，這種檢驗叫非參數(shù)檢驗. 如：要求判別總體分布類型的檢驗就是非參數(shù)檢驗.2021071848假設檢驗的普通步驟2021071849一單個正態(tài)總體均值的檢驗5.2.1 參數(shù)檢驗2021071850小 結(jié)2021071851二單個正態(tài)總體方差的檢驗2021071852三兩個正態(tài)總體均值的檢驗2021071853四兩個正態(tài)總體方差的檢驗20210718545.2.2 非參數(shù)檢驗二概率紙檢驗法 概率紙是一種判別總體分布的簡便工具.運用他們，可以很快地判別總體分布的類型.概率紙的種類很

18、多.前往2021071855 在總體服從正態(tài)分布的情況下，可用以下命令進展假設檢驗. h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)檢驗數(shù)據(jù) x 的關于均值的某一假設能否成立，其中sigma 為知方差， alpha 為顯著性程度，終究檢驗什么假設取決于 tail 的取值：1總體方差 知時，總體均值的檢驗運用z檢驗假設檢驗根本統(tǒng)計命令2021071856 h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)tail 的取值：tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 m tail = 1，檢驗假設“x 的均值大于 m tail =-1，檢驗假

19、設“x 的均值小于 m tail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05. 前往值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以回絕假設，h=0 表示不可以回絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為均值的 1-alpha 置信區(qū)間.2021071857 例1. MATLAB統(tǒng)計工具箱中的數(shù)據(jù)文件gas.mat中提供了美國1993年1月份和2月份的汽油平均價錢price1,price2分別是1、2月份的油價，單位為美分,它是容量為20的雙樣本.假設1月份油價的規(guī)范偏向是每加侖4分幣=4，試檢驗1月份油價的均值能否等于115.2021071858解 作假設：m = 115.首先取出數(shù)據(jù)，用以下命令

20、： load gas然后用以下命令檢驗 h,sig,ci = ztest(price1,115,4)前往：h = 0，sig = 0.8668，ci = 113.3970 116.9030.檢驗結(jié)果: 1. 布爾變量h=0, 表示不回絕零假設. 闡明提出的假設： 均值為115是合理的. 2. sig值為0.8668, 遠超越0.5, 不能回絕零假設 3. 95%的置信區(qū)間為113.4, 116.9, 它完全包括115, 且精度很高.20210718592總體方差 未知時，總體均值的檢驗運用t 檢驗 h,sig,ci = ttest(x,m,alpha,tail)檢驗數(shù)據(jù) x 的關于均值的某一假

21、設能否成立，其中alpha 為顯著性程度，終究檢驗什么假設取決于 tail 的取值： 前往值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以回絕假設，h=0 表示不可以回絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為均值的 1-alpha 置信區(qū)間.tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 m tail = 1，檢驗假設“x 的均值大于 m tail =-1，檢驗假設“x 的均值小于 m tail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05.2021071860前往：h = 1，sig = 4.9517e-004，ci =116.8 120.2.檢驗結(jié)果: 1.布爾變量h=1, 表示回絕零假設. 闡明提

22、出的假設油價均值115是不合理的. 2. 95%的置信區(qū)間為116.8 120.2, 它不包括115, 故不能接受假設.3. sig值為4.9517e-004, 遠小于0.5, 不能接受零假設. 例2. 試檢驗例1中2月份油價price2的均值 能否等于115.解 作假設：m = 115，price2為2月份的油價，不知其方差，故用以下命令檢驗 h,sig,ci = ttest( price2 ,115)20210718613兩總體均值的假設檢驗運用 t 檢驗 h,sig,ci = ttest2(x,y,alpha,tail)檢驗數(shù)據(jù) x ，y 的關于均值的某一假設能否成立，其中alpha 為

23、顯著性程度，終究檢驗什么假設取決于 tail 的取值：tail = 0，檢驗假設“x 的均值等于 y 的均值 tail = 1，檢驗假設“x 的均值大于 y 的均值 tail =-1，檢驗假設“x 的均值小于 y 的均值 tail的缺省值為 0， alpha的缺省值為 0.05. 前往值 h 為一個布爾值，h=1 表示可以回絕假設，h=0 表示不可以回絕假設，sig 為假設成立的概率，ci 為與x與y均值差的的 1-alpha 置信區(qū)間.2021071862前往：h = 1，sig = 0.0083，ci =-5.8,-0.9.檢驗結(jié)果:1.布爾變量h=1, 表示回絕零假設. 闡明提出的假設“

24、油價均值一樣是不合理的. 2. 95%的置信區(qū)間為-5.8,-0.9,闡明一月份油價比二月份油價約低1至6分.3. sig-值為0.0083, 遠小于0.5, 不能接受“油價均一樣假設. 例3. 試檢驗例1中1月份油價price1與2月份 的油價price2均值能否一樣.解 用以下命令檢驗 h,sig,ci = ttest2(price1,price2)20210718634非參數(shù)檢驗：總體分布的檢驗MATLAB工具箱提供了兩個對總體分布進展檢驗的命令:2h = weibplot(x) 此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的正態(tài)概率圖.假設數(shù)據(jù)來自于正態(tài)分布，那么圖形顯示出直線性形狀.而其它概率分布函數(shù)顯示出

25、曲線形狀. 此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的Weibull概率圖.假設數(shù)據(jù)來自于Weibull分布，那么圖形將顯示出直線性形狀.而其它概率分布函數(shù)將顯示出曲線形狀.前往1h = normplot(x)2021071864例4. 一道工序用自動化車床延續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等會出現(xiàn)缺點.缺點是完全隨機的，并假定消費任一零件時出現(xiàn)缺點時機均一樣.任務人員是經(jīng)過檢查零件來確定工序能否出現(xiàn)缺點的. 現(xiàn)積累有100次缺點紀錄，缺點出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如下： 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505310 851試察看該刀具出現(xiàn)缺點時完成的零件數(shù)屬于哪種分布.2021071865缺點出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如下(100次缺點紀錄)： 459 362