6空間問(wèn)題解答

1、 第八章 空間問(wèn)題的解答81 按位移求解空間問(wèn)題82 半空間體受重力和均布?jí)毫?3 半空間體在邊界上受法向集中力84 按應(yīng)力求解空間問(wèn)題85 等截面直桿的扭轉(zhuǎn)86 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬87 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)88 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)85 等截面直桿的扭轉(zhuǎn)例：圖示為等截面直桿（不計(jì)體力），兩端平面內(nèi)受方向相反的兩個(gè)力偶作用，取如圖所示的坐標(biāo)系，求應(yīng)力分量。xyzMMo如何計(jì)算？用半逆解法由材料力學(xué)可知，桿件橫截面上有剪應(yīng)力zx、zy，其他應(yīng)力分量為零，即x=y=z=xy=0，體力X=Y=Z=0將上述應(yīng)力分量代入平衡微分方程：（1）（2）（3）由（1）、（2）可知，zx、 zy是x、y的函數(shù)由（3）得：

2、或?qū)懗桑河晌⒎掷碚摽芍欢ù嬖谝粋€(gè)函數(shù)（x，y）使得：將上述表達(dá)式代入相容方程：邊界條件1、桿件側(cè)面：2、桿件端面（上端）：歸納： 等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題最終歸結(jié)為求應(yīng)力函數(shù)（x，y），使它滿足 且s=0，然后由下列公式求應(yīng)力分量：求位移分量： （將應(yīng)力分量代入物理方程）u0,v0,x,y,z是積分常數(shù)，代表剛體位移，k也是積分常數(shù)，若不計(jì)積分常數(shù)，則如果用柱坐標(biāo)表示，則由此可得結(jié)論，每個(gè)橫截面在xy面上的投影不改變形狀，只是轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度=kz，且單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角：86 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬 薄膜在均勻壓力下的撓度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是相似的，用薄膜來(lái)比擬扭桿，有助于尋求

3、扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的解答 設(shè)有均勻薄膜，張?jiān)谝粋€(gè)水平邊界上，邊界的形狀與某扭桿橫截面的邊界形狀相同，薄膜受均布荷載作用xxzoy薄膜在均布荷載作用下，只產(chǎn)生均勻拉力（張力T），其他內(nèi)力為零從薄膜中取微小單元abcd，它在xy平面上的投影是一個(gè)矩形，矩形的邊長(zhǎng)分別為dx、dyxyoab邊的拉力：TdyxxyoTabcdTTTz其在z軸上的投影：cd邊的拉力：Tdy其在z軸上的投影：xxyoTabcdTTTzad邊的拉力：Tdx其在z軸上的投影：bc邊的拉力：Tdx其在z軸上的投影：?jiǎn)卧猘bcd所受的壓力：qdxdy建立單元的平衡方程：在邊界上，薄膜的垂度 zs=0將 與 比較（1）形式相同 （2）邊界條件

4、相同 所以，當(dāng)薄膜的q/T = 扭桿的2Gk時(shí)，薄膜的垂度z就相當(dāng)于扭桿的應(yīng)力函數(shù) 這說(shuō)明，當(dāng)薄膜的垂度z與扭桿的應(yīng)力函數(shù)時(shí)相當(dāng)，薄膜與邊界平面之間體積的兩倍就等于扭矩在扭桿的橫截面上，沿x方向的剪應(yīng)力：薄膜沿y方向的斜率：如何求扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力？ 扭桿橫截面上沿x方向的剪應(yīng)力相當(dāng)于薄膜沿y方向的斜率，由于x和y軸可以取在任意兩個(gè)互相垂直的方向，所以扭桿橫截面上某一點(diǎn)，沿任意方向的應(yīng)力，等于薄膜在對(duì)于點(diǎn)，沿垂直方向的的斜率 只須求出對(duì)應(yīng)薄膜的最大斜率，但要注意，最大剪應(yīng)力與最大斜率所在的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，方向相互垂直87 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)xyabBAo如圖所示，橫截面為橢圓邊界的等截面柱，橢圓

5、的半軸為a，b因?yàn)闄E圓的方程為：而應(yīng)力函數(shù)在邊界上的值為零，所以，可設(shè)：應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足三個(gè)條件：將應(yīng)力函數(shù)代入當(dāng)m等于此式時(shí)，應(yīng)力函數(shù)滿足基本方程將的表達(dá)式代入其中最后求得：應(yīng)力函數(shù)：此時(shí)，應(yīng)力函數(shù)滿足所有條件應(yīng)力分量如下：全應(yīng)力：用薄膜比擬的方法計(jì)算最大應(yīng)力 假想一張薄膜張?jiān)趫D示橢圓上，并受氣體壓力作用，由于薄膜的最大斜率發(fā)生在A、B點(diǎn)，且方向垂直與邊界，所以可知，扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力也發(fā)生在A、B點(diǎn)，但方向與邊界平行，將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)（0，b）或（0，-b）代入剪應(yīng)力表達(dá)式：xyabBAo當(dāng)a=b時(shí)，應(yīng)力解答與材料力學(xué)中完全相同如何求變形和位移？單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：位移分量：求w：積分后得

6、：0為z方向的剛體位移，若不計(jì)剛體位移，則 此式表明，扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿件的橫截面并不保持為平面，只有當(dāng)a=b時(shí)，才有w=0，橫截面才保持為平面88 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)xyoa/2a/2b/2b/2如圖所示，矩形截面桿，邊長(zhǎng)a，b 討論狹長(zhǎng)矩形 ab 由薄膜比擬，可知 可以推斷，應(yīng)力函數(shù)在絕大部分橫截面上幾乎與x無(wú)關(guān)，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的薄膜幾乎不受短邊的約束，近似于柱面 即 邊界條件：將的表達(dá)式代入位移分量如下：求最大剪應(yīng)力由薄膜比擬可以推斷出，最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形截面的長(zhǎng)邊上（y=-b/2；y=b/2），其大小：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角：對(duì)任意矩形桿（橫截面的邊長(zhǎng)比值a/b為任意值），通過(guò)分析，可以將上述公式進(jìn)行修正

7、：其中，和1只與比值a/b有關(guān)，其數(shù)值看P198 表 對(duì)狹長(zhǎng)矩形截面桿，和1取1/3 很多薄璧桿的橫截面，是由若干等寬的狹長(zhǎng)矩形組成的，有直的，有彎的，如圖所示： 由薄膜比擬可知，如果一個(gè)直的狹長(zhǎng)矩形和彎的狹長(zhǎng)矩形具有相同的長(zhǎng)度a和寬度，則當(dāng)這兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形上的薄膜具有相同的張T并受相同的壓力q時(shí)，兩個(gè)薄膜的體積V和斜率i將沒有多大的區(qū)別，因此一個(gè)彎的狹矩形截面可以用同寬，同長(zhǎng)的直的狹矩形截面來(lái)代替，而不致引起多大的誤差如何求薄璧桿的應(yīng)力？ 用ai和bi代表扭桿中第i個(gè)狹長(zhǎng)矩形的長(zhǎng)和寬，Mi代表該矩形上承受的扭矩（整個(gè)橫截面上扭矩的一部分），i代表矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，k代表扭桿的扭角 這些公式是近似的，因?yàn)闆]有考慮到兩個(gè)矩形的過(guò)渡和連接的影響本章小結(jié)本章對(duì)空間問(wèn)題基本方程的求解方法作了歸納，對(duì)一些典型的彈性力學(xué)空間問(wèn)題進(jìn)行了求解分析，學(xué)習(xí)這部分，要求掌握一些幾點(diǎn)：（1）受荷載作用的彈性體中，其應(yīng)力、應(yīng)變和位移均是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，若能求出物體內(nèi)的應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)，就能得到物體中任一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移 （2）求物體內(nèi)的6個(gè)應(yīng)力分量、6個(gè)