4.1 力學(xué)量隨時間的演化

1、第 4 章力學(xué)量隨時間的演化與對稱性 經(jīng)典力學(xué)中,處于一定狀態(tài)下的體系的每一個力學(xué)量 ,作為時間的函數(shù),在每一時刻都具有一個確定值.量子力學(xué)中,處于量子態(tài) 下的體系,在每一時刻,不是所有力學(xué)量都具有確定值,一般說來,只具有確定的概率分布和平均值.先討論力學(xué)量的平均值如何隨時間改變.引言: 量子力學(xué)中力學(xué)量隨時間演化的問題與經(jīng)典力學(xué)有所不同.4.1.1 守恒量力學(xué)量 的平均值為所以 如 不顯含時間 (以后如不特別聲明,都是指這種力學(xué)量),即 ,則因此，若則即這種力學(xué)量在任何態(tài) 之下的平均值都不隨時間改變。進一步證明: 在任意態(tài) 下 的概率分布也不隨時間改變.體系的任何一態(tài) 均可用 展開 考慮到

2、,我們可以選擇包括 和 在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集,其共同本征態(tài)記為 ( 是一組完備的量子數(shù)的簡記),即 在 態(tài)下，在 時刻測量 得 的概率為而 對于Hamilton量H 不含時的量子體系,如果力學(xué)量 A 與H 對易,則無論體系處于什么狀態(tài)(定態(tài)或非定態(tài)),A 的平均值及其測值的概率分布均不隨時間改變.總結(jié)所以, 把 A 稱為量子體系的一個守恒量.量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中守恒量概念的區(qū)別,其實質(zhì)是不確定度關(guān)系的反映.（a）與經(jīng)典力學(xué)守恒量不同，量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài)。若初始時刻體系處于守恒量 A的本征態(tài)，則體系將保持在該本征態(tài)。由于守恒量具有此特點

3、，它的量子數(shù)稱為好量子數(shù).反之，若初始時刻體系并不處于守恒量 A 的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不是 A 的本征態(tài)，但 A 的平均值和測值概率的分布不隨時間變。（b）量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值. 守恒量與定態(tài)的區(qū)別: 定態(tài)是體系的一種特殊的狀態(tài),即能量本征態(tài),而守恒量則是體系的一種特殊的力學(xué)量,它與體系的Hamilton量對易.在定態(tài)下,一切力學(xué)量(不顯含t，但不管是否守恒量)的平均值和測值概率分布都不隨時間改變.而守恒量則在一切狀態(tài)下(不管是否定態(tài))的平均值和概率分布都不隨時間改變. 守恒量在能量本征值問題中的應(yīng)用，要害是涉及能級簡并，其中包括: (a)能級是否簡并？（b）在能級

4、簡并的情況下，如何標記各簡并態(tài)？引入4.1.2 能量簡并與守恒量的關(guān)系 定理 設(shè)體系有兩個彼此不對易的守恒量 和 ,即 ,但 ,則體系能級一般是簡并的. 推論 如果體系有一個守恒量 ，而體系的某條能級不簡并（即對應(yīng)于某能量本征值 ，只有一個本征態(tài) ），則 必為 的本征態(tài).例如 一維諧振子勢 中的粒子的能級是不簡并的,而空間反射 為守恒量, 所以能量本征態(tài)必為 的本征態(tài),即有確定宇稱. 在一般情況下,當能級出現(xiàn)簡并時,可以根據(jù)對體系對稱性的分析,找出其守恒量. 然后要求能量本征態(tài)同時又包含H 在內(nèi)的對易守恒量完全集的共同本征態(tài),就可把能級的各簡并態(tài)標記清楚.位力(virial)定理 當體系處于定態(tài)下，關(guān)于平均值隨時間的變化，有一個有用的定理，即位力（virial）定理. 設(shè)粒