幾何直觀讓內隱的概念“看得見”

1、幾何直觀，讓內隱的概念“看得見”尹昌濤【摘要】概念教學是數(shù)學教學的重要組成部分，學好概念可以為學生 的數(shù)學學習打下扎實的基礎。在概念教學中，如能有效借助幾何直觀, 則可以降低概念學習的難度，催化、強化、深化、活化整個概念教學， 讓學生理解得更深刻。本文主要對幾何直觀作用價值、運用現(xiàn)狀及在 概念教學中的實際運用進行了深入探討?！娟P鍵詞】概念教學理解幾何直觀 在第一次教學蘇教版數(shù)學四年級下冊“乘法分配率” 一課時，筆者課 前認真研讀了教材，并充分備好了課，像一般教師一樣先創(chuàng)設情境并 提問：“足球單價32元，籃球單價45元，排球單價65元，那么7 個籃球和排球一共需要多少呢？ ”再按照分析題意、列式

2、解答、講述 思路、觀察比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、舉例驗證、總結規(guī)律、鞏固練習的順序 進行教學。各個教學環(huán)節(jié)也比較順暢，但在課后練習作業(yè)中，很多學 生把（a+b） Xc模型的算式寫成a+bXc或者是（aXb） Xc,與（a+b）Xc模型分不清。經(jīng)過單獨指導，大部分學生都能掌握乘法分配率,但還是有四五個學生總犯這樣的錯誤。停下腳步尋找根源，筆者發(fā)現(xiàn)：根本原因是學生“數(shù)”感薄弱，用字 母表征乘法分配律體驗淺薄。在教學中，教師如果只讓學生抽象數(shù)字 表征，那么學生的認知只會如外在描摹一般，產(chǎn)生機械記憶思維，影 響他們對其他運算律的理解。如果把數(shù)的概念理解構建在直觀圖形表征上，不就直觀形象，好理解 了嗎？于是筆者在

3、教學中分解長方形面積推導過程，構建面積公式與 乘法分配律的相關性，直觀展現(xiàn)乘法分配律的算理，大長方形整體面 積等于兩小長方形面積之和（見圖1）。這樣竟收到了意想不到的教阜效果一一學生基本不再犯上述類似的錯誤了，筆者感到很欣慰。、意蘊解讀：“幾何直觀”的作用及價值從數(shù)學課程標準對幾何直觀的闡述中，我們可以清楚地認識到，幾何直觀是借助形來描述和幫助分析問題的一種方法或思想。而幾何直觀的作用就是可以化繁為簡、化模糊為具體、化抽象為直觀，幫助我 們尋求思路，提供猜想的途徑。其價值就是使教學手段更豐富和多樣 化，有利于學生思維的發(fā)散和聚焦;有利于學生對問題的理解與解決;有利于學生感悟數(shù)學之美。二、審視：

4、“幾何直觀”在數(shù)學概念教學中的運用現(xiàn)狀剖析數(shù)學概念的教學一般分為前期、中期、后期三個階段。筆者對全校18位數(shù)學教師使用幾何直觀在概念教學前期、中期、后期的運用情況進行了調查統(tǒng)計。為了保證調查的真實性和準確性，本次調查利用 課余時間在不同的時間點進行了調查與訪談。通過調查我們發(fā)現(xiàn)：18位教師均會在概念教學的前期運用幾何直觀, 即在概念的引入中運用，但在概念教學的中期、后期，即在概念的形 成和鞏固中運用較少。通過訪談了解原因：所有教師都認為借助幾何 直觀很重要，但大部分教師對幾何直觀只是有一定的了解，了解不夠 深入。受傳統(tǒng)“灌輸式”概念教學的影響，大部分教師只體會到幾何 直觀在概念引入教學時運用的

5、好處，而未體會到在概念形成、鞏固教 學時運用也能發(fā)揮其重要的作用。三、探尋：幾何直觀在概念教學中的實際運用 在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，概念教學大都是以教師的直接呈現(xiàn)為主，即教 師直接出示概念，學生只是表面對文字意義進行理解，看不見、摸不 著，使得概念教學課堂氣氛沉悶、效果不甚理想。但是幾何直觀由于 其圖形的直觀效果，在課堂教學中運用，能激發(fā)學生的直觀思維，從 而降低理解難度，使概念教學直觀生動、易于理解。（一）改變概念感知方式一一凸顯本質，催化理解 概念教學重點在引入階段，結合學生的智力發(fā)展水平，以直觀呈現(xiàn)的 表征方式調整概念的感知力，讓學生主動探尋對概念的深度認知，借 助幾何直觀支撐表象，能催化對

6、抽象的數(shù)學概念的理解。例如，在教學“認識中位數(shù)” 一課時，難點是理解“在極端數(shù)據(jù)中, 中位數(shù)比平均數(shù)更具代表性”。在教學過程中，一般教師都是先出示 學生跳繩的7組數(shù)據(jù)：107、97、105、102、100、98、196,并引導 學生求出平均數(shù)，觀察、比較數(shù)據(jù)。發(fā)現(xiàn)平均數(shù)不能代表學生的一般 水平，教師接著會引導學生對比認識中位數(shù)的性質。由于學生對中位 數(shù)比較陌生，這種從數(shù)中抽象概念的教學形式讓學生理解起來有一定 的困難，教學效果并不很明顯。因此，在教學中，筆者充分運用幾何 直觀的特性，幫助學生理解“在極端數(shù)據(jù)中，中位數(shù)比平均數(shù)更具代 表性”，于是將7組數(shù)據(jù)表示在統(tǒng)計圖中，分別用直線畫出平均數(shù)、

7、中位數(shù)所在的數(shù)據(jù)，再提問：“比115多5或少5的有幾人？”（學生回答：無）“那么有幾人比102多5或少5呢？ “（學生回答：6） 以直觀的方式對比認識中位數(shù)與平均數(shù)的性質與區(qū)別，凸顯了其本質, 自然而然能快速催化學生對中位數(shù)性質的認識。由此可見，在數(shù)學概念教學中，充分借助幾何直觀，不僅可以把概念化繁為簡，而且還利于化難為易，有助于教學重難點的突破。（二）展現(xiàn)概念生成過程一一明晰本質，強化理解 在概念教學的前期和中期，教師可以以直觀的方式，讓學生借助幾何 畫板的動畫演示功能動手操作，親身經(jīng)歷并自我展現(xiàn)概念的生成過程, 這樣有利于學生對概念的深度理解和提升理解思維水平。例如，在教學“三角形的認識”

8、 一課時，若教師只是按照課本上的定義進行教學，認識三角形的高，只是像例題一樣從一個頂點到對應邊 的垂直線段，學生會認為三角形的高就在三角形內。但如果教師結合幾何畫板”軟件演示三角形高的變化，操作直觀演示內部高到外部 高都符合高的定義，不但可以豐富學生對高的定義認知，而且可以使 學生對高的定義理解更扎實（見圖2）。在平時的數(shù)學概念課堂教學中，對于像此類歸化型的概念，讓學生借 助“幾何畫板”的動態(tài)演示直觀功能，親身體驗，既讓各個分支知識 點的歸納成型形成完整概念，又有利于螺旋降低理解的難度，真正克 服了負遷移，強化了學生對概念的認知。（三）發(fā)掘概念隱含特性一一觸摸本質，深化理解數(shù)學教學階段，有些概

9、念帶有表面性，在概念教學后期，概念雖已形 成，但學生的探知欲望并沒有得到滿足，若不及時引導，容易限制學 生思維的發(fā)展。教師要充分利用幾何直觀的自身特性，發(fā)掘概念中隱 含的本質特性，直觀、淺顯地讓學生觸摸到概念的本質，從而深化對 概念的理解。例如，筆者曾聽過一節(jié)“3的倍數(shù)特征”的展示課，課上的結構層次 分明，無論是教師問題的設計、引導，還是學生的探索、交流、討論， 都很到位，到最后的運用特征鞏固練習也做得非常好，于是教師在全 課總結時問道：“還有什么疑問嗎？ ”這時有個學生問：“到底為什 么各個位數(shù)上數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除呢？”教師顯 得有些無奈，其他學生也質疑起來其實這位教師機智

10、一點，借助 幾何直觀，完全能發(fā)掘3的倍數(shù)特征的深層原因（見圖3）。如325能被3整除嗎？各個位數(shù)上數(shù)的和（3+2+5） =10,不能被3整除，所以325不能被3 整除。究其本原因，結合幾何直觀很容易就能解釋：將3個100、 2個10、5個1除以3分析一下，其中3個100中的3個99都能被3 整除，2個10中的2個9都能被3整除，余下3個1 （相當于百位上 的3）、2個1 （相當于十位上的2）和個位的5的和來判斷能否被3 整除，其實就相當于判斷325能否被3整除。學生的質疑，是學生主動求知欲望的表現(xiàn)。在本課例中，幾何直觀不 但發(fā)揮了其自身突出的價值，而且讓學生感受到幾何直觀的好處，同 時，問題的

11、成功解決，也激發(fā)了學生學好數(shù)學的興趣，有利于學生思 維的多元化發(fā)展。（四）構建概念內在聯(lián)系完善認知，活化理解 分析數(shù)學教學內容，不難發(fā)現(xiàn)，教學知識三大領域的概念都是呈螺旋 上升的，依據(jù)各自領域知識的邏輯思維層次縱向教學。面對每個知識 概念時，師生互動能較容易突破重難點，可是同一領域知識相互交織, 學生會混淆不理解。這就需要我們教師在進行概念教學時，既要注重 單獨概念的應用和再理解，更要注重把多個概念放一起復習，系統(tǒng)整 理其內在聯(lián)系，以促進自我認知的完善。例如：在復習“平面圖形面積的整理與運用” 一課時，教師可以引導 學生說一說這些圖形的面積公式的推導過程，讓學生發(fā)現(xiàn)這些圖形的 面積計算公式都是

12、以哪個圖形的面積公式為基礎來推導的。若教師引 導學生借助幾何直觀，以“長方形的面積”為原始數(shù)學概念，利用樹 形圖構建概念之間聯(lián)系，能起到畫龍點睛的作用（見圖4）。數(shù)學概念之間具有很強的關聯(lián)性，從最少的幾個原始數(shù)學概念出發(fā), 利用樹形圖、集合圖、網(wǎng)絡圖等，把已有的有聯(lián)系的各個概念知識點 融會貫通，再通過系統(tǒng)的復習整理它們之間的內在聯(lián)系，發(fā)散到該概 念知識的整個領域，讓數(shù)學概念能結成一張網(wǎng)。因此，充分發(fā)揮幾何 直觀圖形表征功能，讓數(shù)形有機結合理解概念，既有助于學生理清概 念之間的關聯(lián)性，又可以完善概念的認知，活化學生對概念的理解。綜上所述，在小學數(shù)學概念教學中，教師要想讓學生對內隱的概念“看得見”,要想讓學生學習概念知識