2022年函數(shù)及其表示知識點練習題答案

1、函數(shù)及其表示考綱知識梳理一、函數(shù)與映射的概念函數(shù) 映射兩集合 設 A、B 是兩個非空數(shù)集 設 A、B 是兩個非空集合對應關系 如果按照某種確定的對應關 如果按某一個確定的對應關f : A B 系 f ，使對于集合 A 中的任 系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x ，在集合 B 中都 意一個元素 x ，在集合 B 中有唯一確定的數(shù) f x ( ) 和它 都有唯一確定的元素 y與之對應。對應。名稱 稱 f : A B 為從集合 A 到 稱 f : A B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù) 集合 B 的一個映射記法 y f ( ) x ， x A 對應 f : A B 是一個映射注： 函

2、數(shù)與映射的區(qū)別：函數(shù)是特殊的映射，二者區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個集合必須是非空數(shù)集。二、函數(shù)的其他有關概念（1）函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf x ， xA中， x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值f x ( ) |xA 的集合叫做函數(shù)的值域（2）一個函數(shù)的構成要素定義域、值域和對應法則（3）相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)。注：若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，是否為相等函數(shù)？（不一定。如果函數(shù) y=x 和y=x+1, 其定義域與值域完全相同，但不是相等

3、函數(shù)； 再如 y=sinx 與 y=cosx ，其定義域為 R，值域都為 -1 ，1 ，顯然不是相等函數(shù)。因此湊數(shù)兩個函數(shù)是否相等，關鍵是看定義域和對應關系）（4）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法和列表法。（5）分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應法則不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是個函數(shù)。其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，函數(shù)及其表示測試題1、設函數(shù)f(x)x24x6 ,xf0則不等式f(x )f( 1 )的解集是（ A ）x6 ,x0A.(3 )1,(3 ,)B

4、.(3 1, )(2,)C.(1,1 )(,3)D.(,3 )( 3,1 )解析由已知，函數(shù)先增后減再增(x)3 ,當x0，f(x)2f( 1 )3令解得x,1 x3。x1 或x3當x0，x63 ,x3故f(x)f( 1 )3，解得32、試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？2 3 3（1）f （x）= x，g（x）= x；| x | 1 x ,0（2）f （x）= x，g（x）= 1 x ;0（3）f （x）= 2 n 1x 2 n 1，g（x）=（2n 1x ）2n1（nN* ）；2（4）f （x）= x x 1，g（x） = x x；（5）f （x）=x 22x1，g（t ）=t 22t

5、1。2 3 3解：（1）由于 f（x）= x =|x| ，g（x）= x =x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；|x|11x0,x;0（2）由于函數(shù) f （x）= x的定義域為 （， 0）（0，+），而 g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù)；（3）由于當 nN* 時， 2n 1 為奇數(shù)，f （x）=2n1x2n1=x， g（x）=（2n1x ）2n1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù)；（4）由于函數(shù)f （x）=xx1的定義域為 x|x 0 ，而 g（x）=x2x的定義域為x|x 1 或 x0 ，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；（5

6、）函數(shù)的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù)注：對于兩個函數(shù) y=f （x）和 y=g（ x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時， y=f （x）和 y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。3、求下列函數(shù)的值域：（1）y3x2x2；（ 2）yxx26x5；（ 3）y3x1；4 |；x2（4）yx4 1x ；（ 5）yx1x2；（ 6）y|x1|x（7）y2x2x2；（8）y2x2x1(x1)；x2x1212x23(x1)22323解：（ 1）（配方法）y3x261212，y3 x2x2的值域為23,)12（2）求復合函數(shù)的值域：

7、設x 26x5（0），則原函數(shù)可化為y又2 x6x5(x2 3)44，04 ，故0,2 ，yx26 x5的值域為0, 2（3）（法一）反函數(shù)法：y3x1的反函數(shù)為y2x1，其定義域為xR x23，x2x33x7原函數(shù)y3x1的值域為yR y3x2（法二）分離變量法：y3x13(x2)7x2x2，x720，3x723，函數(shù)y3x1的值域為yR y3x20，則x12 t ，（4）換元法（代數(shù)換元法）：設t1x原函數(shù)可化為y1t24 t(t2)25( t0)，y5，原函數(shù)值域為(,5注：總結yaxbcxd 型值域，變形：y2 axb2 cxd 或y2 axbcxd（5）三角換元法：1x201x1，設

8、xcos,0,，y20恒有實根，則ycossin2 sin(4)0, ，44,5，sin(4)2,1422sin(4) 1,2，1)原函數(shù)的值域為 1,22x3(x4)y|x1|x4 |5( 4x（6）數(shù)形結合法：2x3(x1)，y5，函數(shù)值域為5,)R（7）判別式法：2 xx10恒成立，函數(shù)的定義域為由y2x2x2得：(y2)x2(y1)xy20 x2x11)x當y20即y2時，即3x00，x0R當y20即y2時，xR 時方程(y2)x2(y(y2 1)4 (y2)20，11y5且y2，原函數(shù)的值域為1,5（8）y2 x2x1x(2x1) 1x211x1x1122 x12 x1x222，x1

9、，x10，22x1x112 (x1 )2 (x11)2，22222當且僅當x1x11時，即x)122時等號成立222y21，21,2原函數(shù)的值域為24、求函數(shù)的解析式（1）已知f x1)3 x1，求f x ；2 ( f x1)2x17，求f x ；xx3（2）已知f(21)lgx，求f x ；x（3）已知f x 是一次函數(shù)，且滿足3 ( f x1)（4）已知f x 滿足2 ( )f(1 x)3x，求f( ) x ；把中的x換成12f1 ( )xf x ( )3，2 的最大值是M(a)，試求：M(a) 的表達式；x ，得x2得3 ( )6x3xf x ( )2x1x 。5. 設 a 是正數(shù)， ax+y=2(x 0,y 0) ，記 y+3x1 x 21解將代數(shù)式 y+3x2x2表示為一個字母，由 ax+y=2 解出 y 后代入消元， 建立關于x 的二次函數(shù)，逐步進行分類求M(a)。1設 S(x)=y+3x 2x2, 將 y=2ax 代入消去 y，得：1S(x)=2 ax+3x2x21 =2x2+(3 a)x+2 (3 a)2+2(x 0) =112x (3 a)2+ 2y0 2ax0 2而 a0 0 xa下面分三種情況求 M(a) 2(i) 當 03a0) ，即0 a 32a 3 a 2 0 時解得 0