流體力學(xué)第十章邊界層理論課件

1、流 體 力 學(xué) 退 出中國科學(xué)文化出版社第十章 邊界層理論 邊界層特性 邊界層微分方程 平板層流邊界層的微分方程解 邊界層積分（動(dòng)量）方程 平板層流邊界層的積分方程解 平板紊流邊界層計(jì)算 平板混合邊界層計(jì)算 第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退 出返 回第六節(jié)第七節(jié)退 出返 回第十章 邊界層理論 第1頁 實(shí)際流體具有粘性，其流動(dòng)參量受粘性的影響。對(duì)于氣體，其粘性主要是由于不同速度的相鄰流體層間發(fā)生動(dòng)量交換的結(jié)果。對(duì)于液體，粘性主要是由于流體分子間的內(nèi)聚力和附著力引起的。因此，如果相鄰流體微元間存在速度梯度，從而受分子附著力和內(nèi)聚力或?qū)娱g動(dòng)量交換的作用，就會(huì)產(chǎn)生剪切力。剪切力的大小與速度梯度有關(guān)，其

2、比例系數(shù)即為流體的粘性系數(shù)或粘度。單位面積上的剪切力叫做剪切應(yīng)力或稱粘性力。速度梯度大時(shí)，粘性力也大，此時(shí)的流場(chǎng)稱為粘性流場(chǎng)，可用納維斯托克斯方程式求解；速度梯度很小時(shí)，粘性力可以忽略，此時(shí)的流場(chǎng)稱為非粘性流場(chǎng)，可以按理想流體來處理，采用歐拉方程求解可使問題大大簡(jiǎn)化。 無論是流體流過物體，還是物體在流體中運(yùn)動(dòng)，由于流體的附著作用，在物體表面總有一層與之直接接觸的薄層流體附在其上，它與相鄰的另一層流體之間存在著速度梯度，從而使兩層流體之間產(chǎn)生粘性力。 第一節(jié) 邊界層特性 第一節(jié) 邊界層特性 退 出第十章 邊界層理論 第2頁如圖10.1所示，平面物體C在靜止的流體中以速度w運(yùn)動(dòng)，與之接觸的流體薄層

3、A在附著力的作用下，也將以速度w隨物體運(yùn)動(dòng)。與之相鄰的B層流體，也將在粘性作用下運(yùn)動(dòng)。但是由于慣性力的作用，B的速度 將低于A的速度w，兩者之間存在速度差，也就出現(xiàn)粘性力。CBAww圖10.1 流體粘性對(duì)速度分布的影響 同樣，B上面的一層流體，也將被牽引而以更低的速度運(yùn)動(dòng)。最后出現(xiàn)上圖所示的速度分布?？梢?，越靠近物體表面，速度梯度越大，粘性力也越大；遠(yuǎn)離物體表面，則速度梯度小，粘性力也小。返 回第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第3頁 流體的粘性力是與速度梯度和粘度有關(guān)的。從整個(gè)流場(chǎng)來看，當(dāng)流體的速度很大時(shí)，流體受粘性力的作用不大，由粘性而產(chǎn)生的能量損失也相對(duì)較小，所以流體的

4、慣性力與粘性力的比值（即雷諾數(shù) ）才是全面描述粘性流體運(yùn)動(dòng)特征的指標(biāo)。慣性力大時(shí)， 值大，粘性力的作用就減??；慣性力小時(shí)， 值小，粘性力作用就大。 僅憑流體的粘度大小，并不能決定其流動(dòng)的粘性作用。例如，空氣和水均是實(shí)際流體，在流場(chǎng)中，除了與物體接觸的極小部分外，大部分可以看成是非粘性流動(dòng)。但是當(dāng)流場(chǎng)中的物體或流道的尺寸很小、流速又很低時(shí)，則不能忽略空氣和水的粘性力。 不管流體的粘度大小、流場(chǎng)中速度的高低，靠近物體表面處，由于流速減緩，速度梯度很大，因而不能忽視粘性力的作用。流體沿靜止物體流動(dòng)時(shí)，緊靠物體表面處流體的流速大致與物體表面平行。直接接觸物體表面的流速為零，而離開物體表面沿外法線方向速

5、度急劇增大，速度梯度則逐漸減小，如圖10.2所示。緊靠物體表面的速度梯度很大的這層流體稱為邊界層。第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第4頁 在邊界層中，流體粘性力的作用不能忽略。對(duì)于實(shí)際流體，直接從納維斯托克斯方程式對(duì)整個(gè)流場(chǎng)求解是很困難的。由于方程式的非線性和邊界條件的復(fù)雜性，直到目前還不能用解析法來分析。普朗特通過對(duì)粘性力作用的分析，認(rèn)為可以把整個(gè)流場(chǎng)分為兩部分：一部分是直接臨近物體表面的邊界層區(qū)和經(jīng)過邊界層后靠近物體的尾跡區(qū)，在這部分流場(chǎng)中，粘性作用顯著，屬于粘性流，可按納維斯托克斯方程式求解。圖10.2 邊界附近流體的速度分布 由于邊界層和尾跡區(qū)的尺寸很小，和物體的幾

6、何尺寸相比屬于微量，因而可認(rèn)為流動(dòng)是平行于物體表面的，方程式就可得到簡(jiǎn)化；另一部分是邊界層和尾跡以外的區(qū)域，在此區(qū)域中粘性力的作用很小，可以看成非粘性流，且不存在速度梯度，可以按理想流體的勢(shì)流考慮。 能量供應(yīng)加強(qiáng)，而使邊界層速度梯度增大，邊界層逐漸減薄至 。進(jìn)入直管段EF后，邊界層又沿管長(zhǎng)增厚，直至發(fā)展到管中心。因此在整個(gè)流道中邊界層是逐步發(fā)展的。第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第5頁一、邊界層的形成流場(chǎng)中流動(dòng)參量的變化、流道和繞流體形狀的不同，都會(huì)影響邊界層的形成和發(fā)展。下面舉幾個(gè)典型的例子來說明這一問題。（一）收縮管中的流動(dòng)圖10.3 收縮管中的流動(dòng)CBADEF圖103

7、所示為一收縮管中的流動(dòng)。流體在進(jìn)入收縮流道CD前的AB段內(nèi)，邊界層已有相當(dāng)發(fā)展，具有一定厚度 ，進(jìn)入收縮管道CD段后，流體加速而壓力逐漸降低，由于主流速度逐漸增高，對(duì)邊界層流體的第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第6頁（二）繞過流線型機(jī)翼的流動(dòng) 圖10.4所示為均速流體繞過流線型機(jī)翼柱體的流動(dòng)。邊界層沿機(jī)翼表面發(fā)展并逐漸加厚，直到翼柱后部形成尾跡區(qū)。開始時(shí)尾跡區(qū)中速度梯度較大，一定距離后尾跡逐漸擴(kuò)散，速度梯度減小，最終消失在主流區(qū)中。 圖10.5 漸擴(kuò)管中的流動(dòng)圖10.4 繞過流線型機(jī)翼的流動(dòng)尾跡區(qū)（三）漸擴(kuò)管中的流動(dòng) 圖10.5所示為漸擴(kuò)管中的流動(dòng)。由于流道截面逐漸增大，主

8、流區(qū)中壓力不斷增高，流體便需要消耗動(dòng)能來補(bǔ)充壓力能，但是在邊界層中由于粘性摩擦力的影響而損失的動(dòng)能較主流區(qū)大，因此其動(dòng)能不足以補(bǔ)充壓力能的增高，且主流的增壓減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)邊界層流體能量供應(yīng)減弱，致使邊界層中流體的流速最終降為零，甚至出現(xiàn)倒流（流速為負(fù)值）。 第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第7頁而受粘性影響較小的中心主流卻仍以較高流速流動(dòng)，不再貼近管道壁面。在主流與管壁之間，邊界層被破壞，出現(xiàn)旋渦和倒流等不規(guī)則的流動(dòng)。開始出現(xiàn)這種不規(guī)則的倒流而使邊界層被破壞的區(qū)域稱為邊界層脫離點(diǎn)。因此在漸擴(kuò)管形的流道中邊界層有可能不是連續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的。 （四）繞過圓柱體的流動(dòng)圖10.6 繞過圓

9、柱體的流動(dòng)ABCD主流區(qū) 圖10.6表示流體繞過圓柱體的流動(dòng)。在來流接觸柱體表面后的前一半柱面ABC區(qū)域，邊界層逐漸形成并發(fā)展。此時(shí)流體沿柱面是增速降壓流動(dòng)，不會(huì)出現(xiàn)邊界層脫離現(xiàn)象。進(jìn)入后一半柱面ADC區(qū)域，流體作減速增壓流動(dòng)，邊界層中因克服粘性摩擦而損失大量動(dòng)能，無法補(bǔ)充足夠的壓力能來與主流壓力平衡，邊界層便開始脫離，形成旋渦狀尾跡，并向下游發(fā)展，直到幾倍圓柱直徑的距離后消失。離開表面較遠(yuǎn)的區(qū)域，以及尾跡后的主流區(qū)則可視為非粘性流。第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第8頁 由此可見，流體流過物體表面時(shí)，粘性流的邊界層可能充分發(fā)展，也可能出現(xiàn)脫離。因此不能認(rèn)為除去靠近物體表面

10、的區(qū)域外，都屬于非粘性流區(qū)域。只有當(dāng) 很高，且邊界層不脫離時(shí)，物體表面以外的主流區(qū)才可認(rèn)為是屬于非粘性流，可按勢(shì)流來處理，如處于均速流場(chǎng)中的機(jī)翼形物體的繞流或平板繞流等。必須指出，直管內(nèi)的流動(dòng)不能按非粘性流考慮，即不能按勢(shì)流計(jì)算，因?yàn)榱黧w均速流進(jìn)直管時(shí)，在粘性力作用下，會(huì)逐漸出現(xiàn)速度梯度，靠近壁面處流速降低，形成一薄層邊界層，隨著流動(dòng)的繼續(xù)，粘性力的作用范圍不斷擴(kuò)大，直至發(fā)展到整個(gè)截面，此時(shí)管道中心處流速最大，壁面處流速為零，速度梯度最大的區(qū)域仍在壁面附近，但是粘性力的作用范圍最終達(dá)到了整個(gè)截面，這與平板繞流或曲面繞流的情況不同。 第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第9頁二、

11、層流邊界層和紊流邊界層 層流時(shí)，流體的流動(dòng)主要受粘性力控制，流速場(chǎng)平行于流道壁面。紊流的流速則隨時(shí)間和位置不斷發(fā)生大小和方向的變化，其速度場(chǎng)是指平均流速的分布。嚴(yán)格說來，任何流場(chǎng)中的流速都在變動(dòng)，當(dāng)變動(dòng)十分微小，接近于其時(shí)均值時(shí)，即屬于層流。變動(dòng)大時(shí)，即為紊流。由層流轉(zhuǎn)入紊流的機(jī)理，可以認(rèn)為與流場(chǎng)中的微小擾動(dòng)和該擾動(dòng)的擴(kuò)大有關(guān)。兩層流速不同的流體之間，由于速度差而出現(xiàn)微小旋渦。這些旋渦可以在粘性力作用下，由于存在減緩速度梯度的效應(yīng)而衰減；也可以在慣性力作用下，由于存在維持速度梯度的效應(yīng)而擴(kuò)大。如果旋渦擾動(dòng)逐漸衰減，流動(dòng)就恢復(fù)為層流狀態(tài)。如果旋渦擾動(dòng)逐漸擴(kuò)大，就發(fā)展為紊流狀態(tài)。 在繞流流場(chǎng)中，邊

12、界層的流動(dòng)同樣也有由層流轉(zhuǎn)入紊流的現(xiàn)象。如圖10.7所示為處在均速主流流場(chǎng)中的流線型銳端平板。剛接觸板端時(shí)，流速 是均勻的。進(jìn)入平板后，由于粘性作用，在壁面處便出現(xiàn)一層極薄的邊界層。第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第10頁因?yàn)檫吔鐚雍穸?極小，擾動(dòng)在其中不易發(fā)展，所以此時(shí)邊界層中的流動(dòng)是層流，稱為層流邊界層，受粘性力的控制。當(dāng)流體沿平板繼續(xù)流動(dòng)，邊界層逐漸增厚，擾動(dòng)便會(huì)發(fā)展起來，邊界層中的流動(dòng)變成紊流，此時(shí)邊界層厚度 增加很快，稱為紊流邊界層。邊界層由層流向紊流轉(zhuǎn)變時(shí)，不是突然發(fā)生的，中間有一過渡區(qū)，稱作變流區(qū)。在與板面直接接觸的地方，還有一層極薄的層流底層（對(duì)光滑板尤其明

13、顯）。邊界層由層流向紊流的轉(zhuǎn)變，取決于雷諾數(shù) 的大小。對(duì)繞流流場(chǎng)， 與主流流速 、流體運(yùn)動(dòng)粘度 和自板端向后流過的距離 有關(guān)，即 圖10.7 流體繞過流線型銳端平板層流區(qū)過渡區(qū)紊流區(qū)WxwwW層流底層（10.1）第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第11頁是否由層流轉(zhuǎn)入紊流取決于臨界雷諾數(shù) ，而主流的初始擾動(dòng)程度、板面的幾何形狀、流場(chǎng)的壓力梯度、壁面的粗糙度、流體的可壓縮性（馬赫數(shù)）、加熱或冷卻效果等都會(huì)影響臨界雷諾數(shù) 。對(duì)于光滑表面沒有壓力梯度的絕熱流動(dòng)當(dāng)主流擾動(dòng)非常小時(shí)， 可達(dá)到 。紊流時(shí)繞流物體在流場(chǎng)中的阻力比層流時(shí)大，故在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量避免紊流。當(dāng)主流速度一定時(shí)，只要使

14、，就可避開紊流邊界層。在邊界層計(jì)算中，必須先確定 ，然后再對(duì)層流區(qū)和紊流區(qū)分別計(jì)算。 對(duì)于層流邊界層，根據(jù)粘性流的剪切應(yīng)力公式 可以進(jìn)行精確計(jì)算。雖然對(duì)于不同的幾何形體，求解十分復(fù)雜，但它能夠用解析法來計(jì)算。而對(duì)于紊流，由于沒有具體的物理模型，所以無法進(jìn)行定量計(jì)算，只能結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行近似計(jì)算，以滿足工程需要。至于變流區(qū)，情形更為復(fù)雜，在計(jì)算中往往近似地把它看成是層流和紊流的重疊區(qū)，或者全部按紊流來計(jì)算。第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第12頁 不管是層流邊界層或紊流邊界層，在分析計(jì)算時(shí)，若 ，則可認(rèn)為邊界層厚度和物體的尺寸或流動(dòng)距離 相比屬于微量，從而對(duì)邊界層的計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)

15、化。邊界層以外的主流區(qū)則按非粘性流考慮。 三、邊界層厚度在管內(nèi)紊流和繞流情況下，流場(chǎng)中的速度變化主要發(fā)生在壁面附近。流速改變劇烈的區(qū)域，即為邊界層。自壁面至流速不再改變處的距離稱為邊界層厚度，用 表示。邊界層厚度以外叫主流區(qū)。嚴(yán)格說來，自壁面至流速完全不變的區(qū)域，距離很大，故一般將速度達(dá)到主流速度0.990.995倍的地方作為邊界層厚度的上限。照此規(guī)定，邊界層厚度極小，與物體尺寸相比可看成微量。但是這樣的規(guī)定卻不利于對(duì)邊界層進(jìn)行解析計(jì)算，為此下面列出了三種較嚴(yán)格的規(guī)定邊界層厚度的方法。第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第13頁由此可見，在保證流量相等的前提下，邊界層的存在猶如

16、將沒有粘性的主流區(qū)自固體壁面向外推移了 距離，或者說主流區(qū)被向外排擠了 距離。因此流量厚度又稱排擠厚度或位移厚度。理想流體流過 厚度的流量為 ，實(shí)際情況下由于粘性而使速度減低從而減少的流量為 dy12WyW-wwx13圖10.8 邊界層厚度o流量厚度的定義是：理想流體以主流速度 流過厚度 的流量等于實(shí)際流體由于粘性使流速減低時(shí)整個(gè)流場(chǎng)減小的流量。如圖10.8所示，即面積（1+3）= 面積（2+3）。（一）流量厚度于是 （10.2）于是能量厚度的定義是：理想流體以主流速度 流過厚度 的動(dòng)能等于實(shí)際流體在整個(gè)流場(chǎng)中的動(dòng)能減少量。動(dòng)量厚度的定義是：理想流體以主流速度 流過厚度 的動(dòng)量等于整個(gè)流場(chǎng)中實(shí)

17、際流體的流量與速度減小量的乘積。第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第14頁（二）動(dòng)量厚度即（10.3） （三）能量厚度即（10.4） 第一節(jié) 邊界層特性 退 出返 回第十章 邊界層理論 第15頁在已知 與 的關(guān)系后，即可通過式（10.2）、（10.3）、（10.4）計(jì)算邊界層流量厚度 、動(dòng)量厚度 和能量厚度 。利用 、 和 可以進(jìn)行邊界層的解析計(jì)算，并且可以根據(jù) 、 、 和 的比值表示邊界層中的速度分布。退 出返 回第十章 邊界層理論 第1頁第二節(jié) 邊界層微分方程 普朗特和馮卡門（Von Karman）分別提出邊界層的微元體分析法和控制體分析法，建立了邊界層的微分方程式和積分

18、方程式。（10.5） 邊界層中的流動(dòng)屬于粘性流，它符合納維斯托克斯方程式。對(duì)于忽略了質(zhì)量力的不可壓縮流體穩(wěn)定的二維繞流流動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程式和連續(xù)方程式為 邊界層計(jì)算主要解決的是邊界層厚度沿界面的變化、流體壓力分布和流動(dòng)阻力的計(jì)算問題。下面首先討論邊界層微分方程式。退 出返 回第十章 邊界層理論 第2頁第二節(jié) 邊界層微分方程 現(xiàn)利用邊界層特性來討論方程組中各項(xiàng)的數(shù)量級(jí)，從而簡(jiǎn)化方程組。以 表示主流速度、 表示邊界層厚度、 表示繞流物體的長(zhǎng)度（如平板長(zhǎng)、翼弦）。并以 表示微量，用符號(hào)“”表示數(shù)量級(jí)相同。在流動(dòng)方向上， 的變化從零到 ， 與 數(shù)量級(jí)相同；相應(yīng)地 由 零到 ，具有 的數(shù)量級(jí)，即 ， 由于

19、邊界層厚度很小，與繞流物體長(zhǎng)度相比為微量，因此邊界層中的速度 沿著厚度從零變化到 ，因此 ； 的數(shù)量級(jí)可由連續(xù)性方程推導(dǎo)如下：或各項(xiàng)除以 ，注意到 ，則上式可寫成退 出返 回第十章 邊界層理論 第3頁第二節(jié) 邊界層微分方程 式（10.5）的第一個(gè)方程中各項(xiàng)及對(duì)應(yīng)的數(shù)量級(jí)為 當(dāng) 較大時(shí)，有 ，則 1， 趨于零。1 1 1式（10.5）的第二個(gè)方程中各項(xiàng)的數(shù)量級(jí)為退 出返 回第十章 邊界層理論 第4頁第二節(jié) 邊界層微分方程 各項(xiàng)除以 ，則上式可寫成與第一個(gè)方程中各項(xiàng)的數(shù)量級(jí)相比，上式各項(xiàng)均為微量，從而得到 。即邊界層中的壓力 在y方向是不變的，與邊界層外的壓力相等。事實(shí)上，由實(shí)驗(yàn)測(cè)出的物體表面壓力

20、分布與按理想勢(shì)流計(jì)算出的壓力分布十分接近。（10.6）其邊界條件為 由上述分析，得到簡(jiǎn)化后的不可壓縮粘性流體二維穩(wěn)定流動(dòng)的層流邊界層方程組退 出返 回第十章 邊界層理論 第5頁第二節(jié) 邊界層微分方程 式中 表示 位置沿壁面的主流區(qū)的流速，即邊界層外緣的流速。當(dāng) 時(shí)，主流流速不變， 為一常數(shù)，與 無關(guān)。邊界層微分方程式是邊界層計(jì)算的基本方程式。但是，由于它的非線性，即使對(duì)于形狀最簡(jiǎn)單的物體，求解也十分困難。因此目前只能對(duì)平板繞流層流邊界層進(jìn)行解析計(jì)算，對(duì)復(fù)雜物體的繞流和紊流邊界層尚無法求解。退 出返 回第十章 邊界層理論 第1頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 如圖10.9所示，假定在穩(wěn)定流動(dòng)

21、情況下，沿平板流動(dòng)方向主流速度 不隨 而變化，故不存在壓力梯度，即 。式（10.6）變?yōu)閳D10.9 作用在邊界層流體微元上的力dxyxdyo平板層流邊界層的計(jì)算應(yīng)從式（10.6）及其邊界條件出發(fā)，先將運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)性方程歸并、簡(jiǎn)化成常微分方程式，然后進(jìn)行求解，得到邊界層中速度分布規(guī)律及沿流動(dòng)方向邊界層厚度增長(zhǎng)規(guī)律，最后確定出流動(dòng)的剪切應(yīng)力和阻力系數(shù)。（10.7）為了將其簡(jiǎn)化為一常微分方程式，在邊界層中取一微元體進(jìn)行分析，作用在微元體上的力只有粘性力和慣性力。退 出返 回第十章 邊界層理論 第2頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 設(shè)邊界層微元底面的粘性力為 ，頂面的粘性力為 ，則沿 方向粘性力

22、的合力為 ，由于 ，故 。微元體的加速度對(duì)穩(wěn)定流動(dòng) ，從而得 ，因此慣性力 。在層流邊界層中，粘性力與慣性力成比例，即 （10.8）假定邊界層中的速度分布在任何截面上均相似，也就有 于是 退 出返 回第十章 邊界層理論 第3頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 或（10.9）代入式（10.8），可得（10.10）將（10.9）式代入上式可得（10.11）式中 。令 為另一函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，則由上述邊界層中速度分布的相似條件可知 是 的函數(shù)，即退 出返 回第十章 邊界層理論 第4頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 對(duì)層流邊界層引入流函數(shù) ，則有，于是由此得則（10.12） 利用流函數(shù) ，并將各運(yùn)動(dòng)

23、參量表示成 的函數(shù)，可將邊界層微分方程簡(jiǎn)化為 的常微分方程。 退 出返 回第十章 邊界層理論 第5頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 由于流線方程具有連續(xù)函數(shù)的特性，即（10.13）退 出返 回第十章 邊界層理論 第6頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 也就是可見所取流線方程式滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程。將式（10.13）代入式（10.6）中的納維斯托克斯運(yùn)動(dòng)方程，整理后得到（10.14） （b）此式是一個(gè)三階非線性常微分方程式，其邊界條件是即即（a） 即 （c）退 出返 回第十章 邊界層理論 第7頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 利用上述邊界條件，將邊界層計(jì)算問題歸結(jié)為求解常微分方

24、程式（10.14），即求函數(shù) 。假定 是一個(gè)指數(shù)級(jí)數(shù)形式：其中 ， ， ， 是待定系數(shù)。由上式可得函數(shù) 的各階導(dǎo)數(shù) 、 、 由函數(shù) 、 及邊界條件的式（a）、（b）得到， ； ，將 、 和 代入微分方程式（10.14），整理后可得退 出返 回第十章 邊界層理論 第8頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 可見 、 、 、 等不為零，且均可用 表示。于是 變成下列要滿足式（10.14），上式中各項(xiàng)都應(yīng)為零，由此可確定各系數(shù)為， ， ， ，（10.15）形式：式中系數(shù) 可利用邊界條件的式（c），即 時(shí) 來確定。勃拉修斯經(jīng)過計(jì)算得到 。于是可通過數(shù)值計(jì)算得出 、 、 、 等在不同 值下的數(shù)值。豪沃斯（

25、Howarth）求得 08.8范圍內(nèi)上述各項(xiàng)的數(shù)值解，其部分結(jié)果列于表10.1中。表10.1表明：當(dāng) 時(shí)， 已趨近于1。根據(jù)式（10.13）的第一式可知，此時(shí) ，即邊界層外緣流速已等于主流速度， 值（ ）已達(dá)到邊界層規(guī)定厚度以上。退 出返 回第十章 邊界層理論 第9頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 由表中也可以看出，當(dāng) 值達(dá)到0.99時(shí)， ，此時(shí) ，或者 據(jù)此可以確定繞流平板層流邊界層的厚度 。邊界層流量厚度（10.16）由表可知：當(dāng) 時(shí)， ，即可認(rèn)為 相當(dāng)于 ，此時(shí) ，所以 ，即（10.17）層流情況下貼近壁面處流體的剪切應(yīng)力為由式（10.13）已知退 出返 回第十章 邊界層理論 第10

26、頁第三節(jié) 平板層流邊界層的微分方程解 （10.18）（10.19）當(dāng)?shù)刈枇ο禂?shù)寬為 、長(zhǎng)為 的平板的總阻力為由表10.1數(shù)據(jù)或根據(jù)勃拉修斯的計(jì)算，當(dāng) （即 ）時(shí)， ，所以（10.20）式中 為按板長(zhǎng) 計(jì)算的雷諾數(shù)。試驗(yàn)表明上述層流邊界層問題的精確解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果十分吻合。所以總的阻力系數(shù)為退 出返 回第十章 邊界層理論 第1頁第四節(jié) 邊界層積分（動(dòng)量）方程 邊界層微分方程式的解析計(jì)算十分繁雜，目前僅能求解平板繞流層流邊界層問題。應(yīng)用較為廣泛的是邊界層積分方程式，又稱動(dòng)量方程式。它是馮卡門根據(jù)動(dòng)量定理提出的?？梢赃m用于層流邊界層和紊流邊界層，以及無壓力梯度和有壓力梯度的情況。如圖10.10所示為邊界

27、層局部圖，沿流動(dòng)方向有壓力梯度時(shí)，主流區(qū)的流速W（即邊界層外緣的流速）是隨 變化的，在無壓力梯度時(shí)，W為常數(shù)。 取邊界層中與 軸垂直的AB、CE兩平行面，其寬度為單位寬度。 方向距離為 ，BC為邊界層邊緣，AE為平板壁面，則ABCE為邊界層中的微元控制體，因?yàn)樵谶吔鐚又?，故在AB、CE界面上壓力為定值。圖10.10 邊界層局部yxdxWABCDExo退 出返 回第十章 邊界層理論 第2頁于是控制體在 方向所受到的力有以下幾項(xiàng)：第四節(jié) 邊界層積分（動(dòng)量）方程 在 面上在 面上在 面上在 面上略去上述各項(xiàng)中的高階微量，則沿 方向的總作用力為（10.21）單位時(shí)間內(nèi)流入控制體的動(dòng)量為通過 面通過

28、面流入的流量應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹鞒?面的流量與流入 面的流量之差退 出返 回第十章 邊界層理論 第3頁第四節(jié) 邊界層積分（動(dòng)量）方程 由于所以單位時(shí)間內(nèi)通過 面流入的動(dòng)量為單位時(shí)間內(nèi)流出控制體的動(dòng)量，也即通過 面流出的動(dòng)量為控制體中的動(dòng)量增加率為退 出返 回第十章 邊界層理論 第4頁第四節(jié) 邊界層積分（動(dòng)量）方程 由動(dòng)量守恒定理知，單位時(shí)間內(nèi)流入控制體的動(dòng)量與作用于控制面及控制體上外力之和等于單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)動(dòng)量的增加,即得到（10.22）上式即為馮卡門邊界層動(dòng)量積分方程式。它適用于穩(wěn)定或不穩(wěn)定、可壓縮或不可壓縮流體的層流或紊流邊界層。對(duì)于不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng)，積分方程式變?yōu)椋?0.23）根據(jù)沿主流

29、流線的伯努利方程，有或退 出返 回第十章 邊界層理論 第5頁第四節(jié) 邊界層積分（動(dòng)量）方程 因?yàn)榈仁絻蛇吪c 無關(guān)，只隨 變化，所以式（10.23）第三項(xiàng)也可改寫為則式（10.23）變換為（10.24）根據(jù)流量厚度 和動(dòng)量厚度 的定義，上式可變換為退 出返 回第十章 邊界層理論 第6頁第四節(jié) 邊界層積分（動(dòng)量）方程 該動(dòng)量方程式適用于穩(wěn)定、不可壓縮流體具有壓力梯度時(shí)的層流或紊流邊界層。據(jù)此可以計(jì)算邊界層的厚度和流動(dòng)阻力。 邊界層積分方程式中的 可由主流區(qū)的勢(shì)流方程式確定，剩下的未知量只有 、 和 。因此除了動(dòng)量方程式外，還需假定邊界層內(nèi)的速度分布 ，并把與速度分布有關(guān)的 和 聯(lián)系起來，從而就可根

30、據(jù)邊界條件，對(duì)邊界層進(jìn)行求解。 考慮速度分布的相似性， 為 的函數(shù)，即流體繞過平板流動(dòng)時(shí)，沿 方向無壓力梯度，即 ，因此 ，退 出返 回第十章 邊界層理論 第1頁第五節(jié) 平板層流邊界層的積分方程解 （10.25）上述函數(shù)必須滿足邊界條件：（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ?，F(xiàn)假定一速度分布為由三個(gè)邊界條件定出三個(gè)系數(shù)分別為 ， 和 。因此速度分布函數(shù)成為（10.26）是常數(shù)。式（10.24）可寫為退 出返 回第十章 邊界層理論 第2頁將式（10.26）代入層流條件下的剪應(yīng)力關(guān)系式，得（10.27）第五節(jié) 平板層流邊界層的積分方程解 代入 的關(guān)系式，得（10.28）將式（10.27）、（1

31、0.28）代入（10.25），得到從而有（10.29）由（10.28）式得（10.30）根據(jù)流量厚度退 出返 回第十章 邊界層理論 第3頁第五節(jié) 平板層流邊界層的積分方程解 又可得（10.31）因此，寬度為 長(zhǎng)度為 的平板上的總阻力為（10.32）當(dāng)?shù)刈枇ο禂?shù)平板總阻力系數(shù)為（10.34）（10.33）退 出返 回第十章 邊界層理論 第4頁第五節(jié) 平板層流邊界層的積分方程解 由積分方程式得出的計(jì)算結(jié)果與上一節(jié)微分方程解較為接近。若合理假設(shè)邊界層中流速 的分布，則可以使誤差更小。對(duì)于除繞流平板層流邊界層以外的其它復(fù)雜情況，如曲面繞流和紊流邊界層等，難以或根本不能應(yīng)用微分方程法計(jì)算，積分方程法是目

32、前唯一可以采用的解析計(jì)算方法。退 出返 回第十章 邊界層理論 第1頁第六節(jié) 平板紊流邊界層計(jì)算 實(shí)際流動(dòng)中，大量問題屬于紊流邊界層問題，而紊流問題顯然比層流問題復(fù)雜。普朗特假設(shè)：沿平板的邊界層流動(dòng)與圓管中的流動(dòng)沒有顯著差別。對(duì)充分發(fā)展的紊流來說，可以認(rèn)為圓管中的流動(dòng)是一種邊界層厚度達(dá)到管子半徑的邊界層流動(dòng)，管中心速度相當(dāng)于勢(shì)流區(qū)速度 。實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng) 時(shí)，平板繞流邊界層的速度分布與圓管中的流動(dòng)速度分布幾乎是一樣的。一、速度分布函數(shù)對(duì)于中等雷諾數(shù)（ ）的流動(dòng)，光滑圓管中速度分布的指數(shù)公式為：當(dāng)圓管中的雷諾數(shù) 時(shí)， 與 的七次方根成正比；而當(dāng)雷諾數(shù) 后， 就 與的八、九、十次方根成正比。（10.35）假定平板紊流邊界層的速度分布符合 規(guī)律，在邊界層外緣即 處有 ，式（10.35）可寫成退 出返 回第十章 邊界層理論 第2頁第六節(jié) 平板紊流邊界層計(jì)算 （10.36）將切應(yīng)力速度 代入上式得變換上式得（10.37）（10.38）由（10.35）和（10.36）兩式得二、邊界層厚度由馮卡門方程，對(duì)無壓力梯度的邊界層，有（10.39）退 出返 回第十章 邊界層理論 第3頁第六節(jié) 平板紊流邊界層計(jì)算 將式（10.37）、（10.38）代入（10.39），并考慮式（10.3）得到積分可得（10.40）嚴(yán)格說來，紊流邊界層前為層流邊界層，常數(shù) 應(yīng)由層流向紊流轉(zhuǎn)變處的邊界層厚度來確定（圖10.