抽象代數(shù)李尚志

1、 走下神壇(shn tn)的 抽象代數(shù) 李尚志(shn zh) 北京航空航天大學(xué) 共三十三頁抽象代數(shù)課程(kchng)教什么?考什么?微積分,線性代數(shù)(xin xn di sh)有計算,抽象代數(shù)沒有?既然叫抽象, 就是沒有例子?有證明。太難,課時不夠, 刪去!還剩什么？死記硬背！九陰真經(jīng): 努爾七八,哈瓜兒,寧血契卡,混花察察,學(xué)根許八涂,米爾米爾小學(xué)程度就可以背誦和考試! 誰是山寨版 ?2022/7/27共三十三頁 抽象代數(shù)一定要從公理(gngl)開始?公理是什么? 許多不同東西的共同點. 公理化方法: 描述性(非構(gòu)造性)定義樣板: 幾何(歐幾里德) - 代數(shù)(抽象代數(shù))群,環(huán),域的公理內(nèi)容

2、: 1. 對加、減、乘、除的封閉性2. 解釋什么是加、減、乘、除加法：向量空間前4條公理 = 交換群的運算乘法：結(jié)合律(群的公理) 對加法的分配律(環(huán)的公理)Prof.zhang 教學(xué)法:通過(tnggu)有招學(xué)無招無招勝有招:案例公理案例2022/7/27共三十三頁 案例1. 三階(sn ji)幻方以一變多 旋轉(zhuǎn)(xunzhun) 軸對稱 共有多少個？按2的位置分4組.每組2個.24=8 正方形的對稱群2022/7/27共三十三頁 正多邊形(zhngdubinxng)與正多面體 正三角形的對稱群三角形數(shù)謎一變多23=6S3正方體的旋轉(zhuǎn)(xunzhun)群38個頂點=2446個面=242022

3、/7/27共三十三頁 公理化: 群,子群(z qn),陪集分解以正方體旋轉(zhuǎn)群G為例. G按6個面1,6分組, 第 i 組 Gi =g|g1=ig,a在同一組 g1=a1 a-1g1=1a-1g G1gaG1. Gi= aG1. 由a 可逆得: h1h 2 ah1ah2|Gi |=|G1|, i=1,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|.推廣: G 對除法封閉總可計算a-1g “同組” 等價(dngji)性=G1含1, 對求逆,乘法封閉群G分為子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|.2022/7/27共三十三頁 案例2. 復(fù)數(shù)的幾何與矩陣(j zhn)模型 i2 = -1 : 左轉(zhuǎn)

4、兩番朝后方平面(pngmin)向量v(-1)v,后轉(zhuǎn)(180o)記viv為左轉(zhuǎn)(90o).則i2 = -1.域同構(gòu): 復(fù)數(shù)平面線性變換矩陣i 左轉(zhuǎn)變換i a+bi a1+bi 2022/7/27共三十三頁 案例(n l)3. 平面旋轉(zhuǎn)群 R 旋轉(zhuǎn)(xunzhun)a :v(cosa)v+(sina)(iv)(cosa +isina)n = cosna +isinna (棣美弗公式)f: RR, a eia = cosa +isinaf(a+b) = f(a)f(b) : (群同態(tài))Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZR (群同構(gòu))2022/7/27共三十三頁 案例(n l)4. 單位根

5、群 單位根: 1的 n 次方根(fnggn). xn =1的根. f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n1,w,w2,wn-1 ,w = cos(2p/n) +isin(2p/n)n階循環(huán)群 w =1,w,w2,wn-1f:Z w , k wk , f(k+r) = f(k)f(r)Ker f = nZZn=Z/nZ w 2022/7/27共三十三頁 案例(n l)5. xn -1 的因式分解 復(fù)數(shù)(fsh)范圍: xn -1=(x-1)(x-w)(x-wn-1)有理數(shù)范圍: 以x15 -1為例 1,w,w2,w14在乘法群中的階d|15同階d=1,3,5,15復(fù)因子相乘得Fd(x

6、)F1(x)=x-1. F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1. F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x)分圓多項式 Fd(x)2022/7/27共三十三頁 有限(yuxin)域: 5最 PK 3最 1 抽象代數(shù)最后一課2 最難3 最不應(yīng)當(dāng)考 1 最有用: 信息安全大顯身手2 最有味: 抽象代數(shù)味道3 最易懂: 小學(xué)生可以(ky)懂!4 最先講: 可在第一課第一分鐘!5 最應(yīng)當(dāng)考:首選第一題!2022/7/27共三十三頁案例(n l)6.三階幻方全推導(dǎo)各行和= (1+9)/3=15中心(zhngxn

7、)=(15445)/(4 1)=5奇偶按角邊: 第一行和=第一列和 : a1+a2+a3 a1+b1+c1a2 b1邊=奇: a1+a2+a3 1 a2 1 邊=奇, 角=偶2022/7/27共三十三頁案例(n l)7. 奇與偶的算術(shù) -二元域 曾肯成問題: 隨機(jī)整數(shù)行列式等于奇數(shù)(j sh)與偶數(shù)的概率. 奇偶數(shù)加減乘公式:偶偶=偶,偶奇=奇,奇奇=偶; 整偶=偶,奇奇=奇.用0,1表示: 00=0,01=1,11=0; a0=0,11=1.二元域 Z2=0,1.注意1+1=0,a-b=a+b.2022/7/27共三十三頁D=ad-bc為奇數(shù)(j sh)的概率情況1. ad=1,bc=0 a

8、=d=1, (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0)情況2. ad=0,bc=1 b=c=1, (a,d)=(0,0),(0,1),(1,0)共6種可能,概率=6/16=3/8D為偶數(shù)的概率=1-3/8=5/8 Z2上的2階行列式2022/7/27共三十三頁GL(2,2):Z2上2維空間V共3個非零向量(xingling)v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1)任何兩個線性無關(guān)每個置換都是可逆線性變換上述矩陣右乘分別得(1),(23),(12), (123),(13),(132).GL(2,2) S3 Z2上可逆矩陣(j zhn)群2022/7/27共三十三頁數(shù)域上的線性代數(shù)定理:

9、detA=1A可逆行線性無關(guān)茅臺換礦泉:也適合于二元域 Z2第1行:A10, 2n-1個選擇第2行:A2 lA1, 2n-2個選擇第k+1行:Ak+1 l1A1+lkAk, 2n-2k個選擇共有(n yu) (2n-1)(2n-22)(2n-2n-1)個概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)(1-1/2) Z2 上n階行列式2022/7/27共三十三頁 案例分析(fnx)：“假零”性質(zhì) ab,ab的奇偶性只與a,b奇偶性有關(guān):ab =(r+偶)(s+偶) (結(jié)合,交換(jiohun)） =(r s)+ (偶偶)= (r s)+ 偶ab =(r+偶)(s+偶) （分配) =rs+(r偶+偶s

10、+偶偶)=rs+偶“假零”性質(zhì): O1.偶偶=偶 O2.整偶=偶真零性質(zhì): 00=0,數(shù)0=0只考慮奇偶性:可以將偶數(shù)當(dāng)作0. 2022/7/27共三十三頁 公理化：環(huán), 理想(lxing), 商環(huán) 環(huán) D：對加、減、乘封閉加、減、乘的合法性條件：加法(jif):結(jié)合律,交換律,零,負(fù)元減法:a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. 乘法:結(jié)合律,對加法的分配律 理想Q:D的子集,滿足“假零”性質(zhì)O1,O2記a-bQ為 ab (mod Q),可按等式計算商環(huán): D/Q =同余類集合 a=a+ Q,定義加,減,乘:ab=ab, ab=ab. 2022/7/27共三十三頁 案例(n l)8. Z

11、n -單表密碼Zn =Z/nZ=r+nZ| r=0,1,n-1.加法密碼(m m): Z26: f(x) = x+b. 仿射密碼: f(x)=ax+b, a可逆. 可逆元與反函數(shù).例:y=3x+5, 93=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). 可逆條件: (a,n)=1, 存在 au+nq=1, au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b) Zn中可逆元組成乘法群 Zn*2022/7/27共三十三頁 案例(n l)9.p元域Zp上可逆陣素數(shù)p: Zp* = Zp 0. Zp 是域. Zp 上的n階可逆方陣個數(shù)|GL(n,p)|=(pn-1)(pn-pk)(pn-pn-1)

12、隨機(jī)整數(shù)n階行列式模p余r概率r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2r0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA.案例分析(fnx)正規(guī)子群,同態(tài)基本定理2022/7/27共三十三頁 案例(n l)10. 極限與微分博士生 2010考題. 在一點a連續(xù)的全體實函數(shù)構(gòu)成環(huán)CO(Dx)(無窮小)與o(Dx)=O(Dx)Dx都是C的理想.limxcf(x)=A f(x) A (mod O(Dx)f(x) f(a)+f(a)Dx (mod o(Dx)和差積商極限: f(x)A, g(x)B 加減乘除(ji jin chng ch)冪的導(dǎo)數(shù): (x+Dx)nxn+nxn-1Dx (xn)=n

13、xn-1積的導(dǎo)數(shù): f(x)g(x)f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)Dx商的導(dǎo)數(shù):2022/7/27共三十三頁案例11.分?jǐn)?shù)(fnsh)化小數(shù)- 循環(huán)節(jié)長度數(shù)學(xué)聊齋: 商家打折: 1428元?a=1/7=0.142857循環(huán)節(jié)D=106a-a= 142857=(106-1)/7. q/p=a的循環(huán)節(jié) D=(10d-1)q/p=整數(shù)(zhngsh). 最小的d使 10dqq(mod p)當(dāng) p是素數(shù)(2,5), 10d1(mod p)D是 10在乘法群 Zp*中的階,整除 p-1混循環(huán): (10d-1)10kq0(mod p).2022/7/27共三十三頁 案例分析乘法(c

14、hngf)群元素的階例:q/7. 10k (k=1,2,)模7余3,2,6,4,5,1，d=6.循環(huán)節(jié)D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857 對k=1,2,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。將D前k位移到末尾,得到(d do)D的rk(=3,2,6,4,5)倍。推廣：1/a的循環(huán)節(jié)輪換排列都得到D的rk倍。僅當(dāng)d=n-1時得到所有各倍循環(huán)群的生成元另例:1/17=0.0588235294117647。1/19=更多性質(zhì)：142+857=999，14+28+57=99。2022/7/27共三十三頁案例(n l)12. 復(fù)數(shù)的代數(shù)模型域擴(kuò)張202

15、2/7/27共三十三頁案例(n l)12. 復(fù)數(shù)的代數(shù)模型域擴(kuò)張環(huán)同態(tài)基本定理已經(jīng)找到矩陣J滿足J2+I=0。環(huán)同態(tài) f:RxRJ, f(x)f(J). Kerf = f-1(0) = (x2+1).每個 aI+bJa+bx=a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)Rx商環(huán) C = Rx/ (x2+1) =a+bx|a,bR0=x2+1=x2+1 x2 = -1。a+bx0 與x2+1互素,在C中可逆.C 是域.記1=1,x=i, 則 i2 = -1. C=a1+bi | a,bR =復(fù)數(shù)域。直接為x2+1造根: 不需先猜J2+I=0。在Rx中強(qiáng)制規(guī)定“假零集合”Q = 0= x2+1.則 Q

16、 = (x2+1)由 x2+1 的所有(suyu)倍式組成. C=Rx/ (x2+1)線性變換: a+bxxa+bx在基1,x下的矩陣 滿足條件 J2 = -I.2022/7/27共三十三頁 推廣(tugung). 域的代數(shù)擴(kuò)張無中生有: 為域F上多項式f(x)造根。強(qiáng)制(qingzh)規(guī)定f(x)=0: 在Fx中生成理想 (f(x). 同余類環(huán) E=Fx/(f(x)中f(x)=0, x是根. f(x) 在 Fx 中不可約: E 是F的代數(shù)擴(kuò)域.設(shè)d=deg f(x), 則 E 是 F 上 d 維空間,E:F=d.造矩陣根: F上線性變換g(x)xg(x) 在基1,x, , xd-1 下的矩陣

17、J是f(x)的根。f(x)可約: 不可約因子h(x)在擴(kuò)域E=Rx/(h(x)中有根,也是f(x)的根。同構(gòu): h(x)在擴(kuò)域M/F中有根w,則s:EM, g(x)g(w)為域同構(gòu). 自同構(gòu)：sGal(E/F) g(w)g(u), w與u為h(x)的任意兩個根。2022/7/27共三十三頁 案例13.m序列(xli)有限域的擴(kuò)張Z2 上線性移位寄存器序列u1,u2,um,滿足條件 uk+n=c1uk+n-1+cnuk .m序列: 選c1,c2,cn達(dá)到最大周期 N=2n-1.(uk+1,uk+n) = (uk,uk+n-1)A 狀態(tài)(zhungti)轉(zhuǎn)移矩陣 A = A的最小多項式 m(x)

18、= xn-c1xn-1-cn-1x-cn.(uk+1,uk+n)=(u1,un)Ak 取遍非零狀態(tài). 如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆，2022/7/27共三十三頁如果B=f(A)= a1An-1+an-1A+anI不可逆,則有Uk+1= (uk+1,uk+n) 0使Uk+1B=00=Uk+1BAm=Uk+1AmB=Uk+1+mB, 對所有m.Uk+1+m包括Z2上所有的非零n維行向量.這迫使 B = 0. 說明 Z2A中非零元都可逆。Z2x/(m(x) Z2A是域, 包含元素2n個。反過來,找2n元有限域,其乘法群的生成元的最小多項式m(x)=xn-b1xn-1-bn-1x-bn.取(c1,c2,cn)=(b1,b2,bn)即得m序列。案例分析: (1) q元有限域存在(cnzi)q 是素數(shù)冪