(完整word版)熱傳導(dǎo)方程傅里葉解

1、熱傳導(dǎo)在三維的等方向均勻介質(zhì)里的傳播可用以下方程表達：du（d2uSPud2u頁+dlVU）=k（喬+帝+菇丿二kg+吟y+%J其中：u=u（t,x,y,z）表溫度，它是時間變量t與空間變量（x,y,z）的函數(shù)。汀是空間中一點的溫度對時間的變化率。dZ與:溫度對三個空間座標軸的二次導(dǎo)數(shù)。k決定于材料的熱傳導(dǎo)率、密度與熱容熱方程是傅里葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導(dǎo)）。如果考慮的介質(zhì)不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的邊界條件。如果介質(zhì)是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數(shù)型的上界，此假定吻合實驗結(jié)果。熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質(zhì)，這代表熱從高溫處向低溫

2、處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態(tài)會趨向同一個穩(wěn)態(tài)（熱平衡）。因此我們很難從現(xiàn)存的熱分布反解初始狀態(tài)，即使對極短的時間間隔也一樣。熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式Ut氐色其中的是對空間變量的拉普拉斯算子。熱方程支配熱傳導(dǎo)及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經(jīng)細胞的動作電位。熱方程也可以作為某些金融現(xiàn)象的模型，諸如布萊克-斯科爾斯模型與Ornstein-Uhlenbeck過程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應(yīng)用于影像分析。量子力學(xué)中的薛定諤方程雖然有類似熱方程的數(shù)學(xué)式(但時間參數(shù)為純虛數(shù))，本質(zhì)卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。就技術(shù)上來說，熱

3、方程違背狹義相對論,因為它的解表達了一個擾動可以在瞬間傳播至空間各處。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導(dǎo)推出一個合理的速度，則須轉(zhuǎn)而考慮一個雙曲線型偏微分方程。以傅里葉級數(shù)解熱方程編輯以下解法首先由約瑟夫傅里葉在他于1822年出版的著作Theorieanalytiquedelachaleur中譯：解析熱學(xué))給出。先考慮只有一個空間變量的熱方程，這可以當(dāng)作棍子的熱傳導(dǎo)之模型。方程如下：(1)%=其中u=u(t,x)是t和x的雙變量函數(shù)。x是空間變量，所以xe0,L，其中L表示棍子長度。t是時間變量，所以t20。假設(shè)下述初始條件(2)u(0,x)=fx)VxG0,L其中函數(shù)f是

4、給定的。再配合下述邊界條件訛0)=0=u(i,L)就0.讓我們試著找一個非恒等于零的解，使之滿足邊界條件(3)并具備以下形式：u(tjX)X(x)T(t).這套技術(shù)稱作分離變量法?，F(xiàn)在將u代回方程(1),T(t)_Xff(x)kT(t)=X(x)由于等式右邊只依賴x,而左邊只依賴t兩邊都等于某個常數(shù)入，于是：Tt)=-XkT(t)X氣x)=-XXx)以下將證明(6)沒有入W0的解:假設(shè)入0,則存在實數(shù)B、C使得X(h)=Bex+從(3)得到X(0)=0=X(L).于是有B=0=C,這蘊含u恒等于零。假設(shè)入二0,則存在實數(shù)B、C使得X(x)Bx+C.仿上述辦法可從等式(3)推出u恒等于零。因此必

5、然有入0,此時存在實數(shù)A、B、C使得f=AeXktXx)=Bsin(VXir)+Ccos(VAx).從等式(3)可知C=0,因此存在正整數(shù)n使得由此得到熱方程形如(4)的解。一般而言，滿足(1)與(3)的解相加后仍是滿足(1)與(3)的解。事實上可以證明滿足(1)、(2)、(3)的解由下述公式給出：其中推廣求解技巧編輯上面采用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間上，算子巳.可以用它的特征矢量表示。這就自然地導(dǎo)向線性自伴算子的譜理論?？紤]線性算子u=u，以下函數(shù)序列xx的特征矢量。誠然:此外，任何滿足邊界條件f(0)=f(L)=0的的特征矢量都是某個e。令L2(0,L)表0,L

6、上全體平方可積函數(shù)的矢量空間。這些n函數(shù)e構(gòu)成L2(0,L)的一組正交歸一基。更明白地說：n最后，序列e張出L2(0,L)的一個稠密的線性子空間。這就nnGN表明我們實際上已將算子對角化非均勻不等向介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)一般而言，熱傳導(dǎo)的研究奠基于以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談?wù)搯挝粫r間內(nèi)流進空間中一塊區(qū)域的熱量。單位時間內(nèi)流入?yún)^(qū)域V的熱量由一個依賴于時間的量qt(V)給出。假設(shè)q有個密度Q(t,x)，于是/Q仏戈)血熱流是個依賴于時間的矢量函數(shù)H(x),其刻劃如下：單位時間內(nèi)流經(jīng)一個面積為dS而單位法矢量為n的無窮小曲面元素的熱量是H(t)ii(t)dS因此單位時間內(nèi)進入

7、V的熱流量也由以下的面積分給出=_H(x)-n(x)dSJdv其中n(x)是在x點的向外單位法矢量。熱傳導(dǎo)定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關(guān)系H(h)=_A(g)Vu(x)其中A(x)是個3X3實對稱正定矩陣利用格林定理可將之前的面積分轉(zhuǎn)成一個體積分Qt(V)=-HQnQdSJdvg乩灼0)乩嚴仇H)dx溫度在x點對時間的改變率與流進x點所在的無窮小區(qū)域的熱量成正比，此比例常數(shù)與時間無關(guān)，而可能與空間有關(guān)，寫作K(X)。dtu(t,x)代(x)Q(、h)將以上所有等式合并，便獲得支配熱流的一般公式dtu(t,x)=k-(x)丫8叭叱(工)8巧呃、工)注記：系數(shù)K（X）是該材料在X點的密度和

8、比熱的積的倒數(shù)。在等方向性介質(zhì)的情況，矩陣A只是個標量，等于材料的導(dǎo)熱率。在非等向的情況，A不一定是標量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通?？煽紤]相應(yīng)的抽象柯西問題，證明它是適定的，并（或）導(dǎo)出若干定性結(jié)果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態(tài)或一些平滑化性質(zhì)）。這些論證通常有賴于單參數(shù)半群理論：舉例來說，如果A是個對稱矩陣，那么由Au（x）:=X良灼-（工）良沁h）定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導(dǎo)出它生成一個單參數(shù)半群。粒子擴散編輯粒子擴散方程編輯在粒子擴散的模性中，我們考慮的方程涉及在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作c。或者在單一粒子的情況：單一粒子

9、對位置的概率密度函數(shù)，記作P。不同情況下的方程：5=D乂或者Pt=DAP.c與P都是位置與時間的函數(shù)。D是擴散系數(shù)，它控制擴散速度，通常以米/秒為單位。如果擴散系數(shù)D依賴于濃度c（或第二種情況下的概率密度P）,則我們得到非線性擴散方程單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動如果一個粒子在時間，二：;時置于h門，則相應(yīng)的概率密度函數(shù)具有以下形式：P（元F）=G（R,t）=他開仍尸涉401它與概率密度函數(shù)的各分量卜；、：,和匕的關(guān)系是：T1於+E討璀P（R、0=f4?rDf）3/2CWt=卩伍（兔t）隨機變量m服從平均數(shù)為o、變異數(shù)為三/門的正態(tài)分布在三維的情形，隨機矢量斤服從平均數(shù)為i、變

10、異數(shù)為門門泊勺正態(tài)分布。在t=o時，上述m的表示式帶有奇點。對應(yīng)于粒子處在原點之初始條件，其概率密度函數(shù)是在原點的狄拉克&函數(shù)，記為何?。ㄈS的推廣是mA=WWW）；擴散方程對此初始值的解也稱作格林函數(shù)。擴散方程的歷史源流編輯粒子擴散方程首先由AdolfFick于1855年導(dǎo)得。以格林函數(shù)解擴散方程編輯格林函數(shù)是擴散方程在粒子位置已知時的解（數(shù)學(xué)家稱之為擴散方程的基本解）。當(dāng)粒子初始位置在原點d時，相應(yīng)的格林函數(shù)記作：（t0）；根據(jù)擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置F，相應(yīng)的格林函數(shù)是疋:。對于一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數(shù)的疊加舉例來說，設(shè)t=o時有一大

11、群粒子，根據(jù)濃度分布的初始值門分布于空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分布如何隨時間演化。跟任何（廣義）函數(shù)一樣，濃度分布的初始值可以透過積分表為狄拉克&函數(shù)的疊加：c(R.i=0)=Jc(代t=0)6(元刖)邂d尺擴散方程是線性的，因此在之后的任一時刻t，濃度分布變?yōu)閏(R,i)=Ic(J=0)G(R-J)dldf在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克6函數(shù)對應(yīng)的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導(dǎo)或動量的擴散；后者關(guān)系到流體的粘性現(xiàn)象。一維格林函數(shù)解列表編輯以下以簡寫B(tài)C代表邊界條件，IC代表初始條件。論=ku-rx0 xOO,0iooJu(0)=g(x)IC(可能的問題：根據(jù)上解，u(0)=0)ut