數(shù)值分析非線(xiàn)性方程求根教材課件

1、1 方程求根與二分法第7章 解非線(xiàn)性方程的迭代法一、引言非線(xiàn)性方程的分兩類(lèi)： 則可用搜索法求有根區(qū)間. x 1 0 1 2f(x)的符號(hào) + +方程根的數(shù)值計(jì)算大致可分三個(gè)步驟進(jìn)行: (1) 判定根的存在性。 (2)確定根的分布范圍,即將每一個(gè)根用區(qū)間隔離開(kāi)來(lái)。 (3)根的精確化,即根據(jù)根的初始近似值按某種方法逐步精確化,直至滿(mǎn)足預(yù)先要求的精度為止。 設(shè)f(x)為定義在某區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),方程(1.1)存在實(shí)根。雖然方程(1.1)的根的分布范圍一般比較復(fù)雜,但我們不難將函數(shù)f(x)的定義域分成若干個(gè)只含一個(gè)實(shí)根的區(qū)間。 例如考慮方程 x2-2x-1=0 由圖7.1所示,該方程的一個(gè)負(fù)實(shí)根在-1

2、和0之間,另一個(gè)正實(shí)根在2和3之間。 圖 7.1 這樣,我們總可以假設(shè)方程(1.1)在(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)單實(shí)根x*。由連續(xù)函數(shù)的介值定理知 f(a)f(b)0 若數(shù)值b-a較小,那么我們可在(a,b)上任取一點(diǎn)x0作為方程的初始近似根。 例如,方程 f(x)=x3-x-1=0 由于f(1)0,f(1.5)0,又f(x)在區(qū)間(1,1.5)上單調(diào)連續(xù),故可知在(1,1.5)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。于是可取某個(gè)端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)某一個(gè)點(diǎn)的值作為根的初始近似值。 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào)連續(xù),且 f(a)f(b)0 則方程(1.1)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根x。二、二分法二分法簡(jiǎn)述. (

3、1.3) 對(duì)于確定的精度,從式(1.3)易求得需要二等分的次數(shù)k。 二分法具有簡(jiǎn)單和易操作的優(yōu)點(diǎn)。其計(jì)算步驟如下,框圖如圖7.2所示。1.計(jì)算步驟 輸入有根區(qū)間的端點(diǎn)a,b及預(yù)先給定的精度;(a+b)/2 x;若f(a)f(x)0,則x=b,轉(zhuǎn)向;否則x=a,轉(zhuǎn)向。若b-a,則輸出方程滿(mǎn)足精度的根x,結(jié)束;否則轉(zhuǎn)向。2. 計(jì)算框圖 (見(jiàn)下頁(yè)）例1 求方程 f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)的根。要求用四位小數(shù)計(jì)算,精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位。解 這里a=1,b=1.5，取區(qū)間(1,1.5)的中點(diǎn) 圖 7.2 由于f(1)0,f(1.25)0,則令 a1=1.25, b1=1.5得到新的有

4、根區(qū)間(1.25,1.5) 取x6=1.3242，誤差限| x6-x*|0.5/(27)0.005,故x6即為所求近似根，實(shí)際上根x*=1.324717二分法優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，收斂性有保證； 缺點(diǎn)：收斂不夠快，特別是精度要求高時(shí)，工作量大，而且不能夠求復(fù)根及雙重根。2 迭代法一、不動(dòng)點(diǎn)迭代kxk012345671.51.357211.330861.325881.324941.324761.324731.32472雖然迭代法的基本思想很簡(jiǎn)單,但效果并不總是令人滿(mǎn)意的。對(duì)于上例,若按方程寫(xiě)成另一種等價(jià)形式 x=x3-1 (29) 建立迭代公式 xk+1=x3k-1, k=0,1,2,仍取初始值x0=

5、1.5, 則迭代結(jié)果為 x1=2.375 x2=12.3976這種不收斂的迭代過(guò)程稱(chēng)作是發(fā)散的。如下圖：二、不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性三、局部收斂性與收斂階kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123 x0 x1 x2 x3 2398721.521.521.751.734751.73263121.751.7321431.7320513 迭代收斂的加速方法一、埃特金加速收斂方法二、斯蒂芬森迭代法kxkykzk0123451.51.416291.355651.329851.324801.324722.375001.840921.491401.347101.3251812.39

6、655.238882.317281.444351.32714說(shuō)明: (2.2)不收斂,(3.3)可能收斂; (2.2)線(xiàn)性收斂,(3.3)平方收斂!kxkykzk0123.53.734443.733073.604143.733813.662023.733474 牛頓法一、牛頓法及其收斂性 牛頓法是非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化的方法。其計(jì)算步驟為: 給出初始近似根x0及精度。 計(jì)算 若x1-x0,則轉(zhuǎn)向;否則,轉(zhuǎn)向。 輸出滿(mǎn)足精度的根x1,結(jié)束。 牛頓法的計(jì)算框圖見(jiàn)圖7.4。 圖 7.4 二、牛頓法應(yīng)用舉例kxk01230.50.571020.567160.56714kxk012341010.75000010.72383710.72380510.723805三、簡(jiǎn)化牛頓法與牛頓下山法kxkxkxk f(xk)012341.51.347831.325201.324720.617.9發(fā)散0.6 -1.3841.140625 -0.6566431.36181 0.18661.32628 0.006671.32472 0.0000086四、重根情形kxk(1)(2)(3)0123x0 x1x2x31.51.4583333331.4366071431.4254976191.51.