條件平差原理

1、9.1條件平差原理一 一 .一.一一.八 一在條件觀測(cè)平差中，以n個(gè)觀測(cè)值的平差值L作為未知數(shù)，列出v個(gè)未知數(shù)的條件式，nx1在VTPV = min情況下，用條件極值的方法求出一組v值，進(jìn)而求出平差值。9.1.1基礎(chǔ)方程和它的解設(shè)某平差問(wèn)題，有n個(gè)帶有相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)誤差的觀測(cè)值 L 人nx1為P， 它是對(duì)角陣，改正數(shù)為V，平差值為L(zhǎng)。當(dāng)有r個(gè)多余觀測(cè)時(shí) nxnnx1nx1滿(mǎn)足r個(gè)平差值條件方程為：a L + a L + +a L + a = 01122nn ObL + bL + +bL + b = 01122nnO其相應(yīng)的權(quán)陣 則平差值L應(yīng) nx1(9-1)rL + r L HH r L

2、+ r = 0112 2n n O式中a、b、r(i=1、2、n)i 1 i ia 、 b 、r以 L L + v為條件方程的系數(shù);0為條件方程的常項(xiàng)數(shù)（i =1 2、n）代入（9-1）得條件方程a v + a v HH a v + w = 01 12 2n nab v + b v HH b v + w = 01 12 2n nb(9-2)式中a、w、bwawbrv + r v H卜 r v + w1 12 2n n r，為條件方程的閉合差，=a L + a L + + a L + a1122nn0=b L + b L HH b L + b1122nn0或稱(chēng)為條件方程的不符值（9-3）=r L

3、 + r L HH r L1A =rxna2b2a ) bnn人L =nx1L1L2L =nxlL )1L2Ln J=r x1aobop =p100P2- 0、- 0nxn 30. Pn Jrv1 v2:)waV =nx1W= rx1w:bvnJIwr J、則(9-1 )及(9-2)上兩式的矩陣表達(dá)式為AL + A0 = 0(9-4)AV+W = 0(9-5)上改正數(shù)條件方程式中V的解不是唯一的解，根據(jù)最小二乘原理，在V的無(wú)窮多組解 中，取VtPV =最小的一組解是唯一的，V的這一組解，可用拉格朗日乘數(shù)法解出。為此， 設(shè)Kt =(k kbk )，K稱(chēng)為聯(lián)系數(shù)向量，它的唯數(shù)與條件方程個(gè)數(shù)相等，按

4、拉格朗 日乘數(shù)法解條件極值商題時(shí)，要組成新的函數(shù)：二 VtPV - 2Kt (AV+W)將由對(duì)v求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零得：=2VtP - 2KtAdVVtP = Kt APV = AtK TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark69 o Current Document V = V -1 AtK(9-6)上式稱(chēng)為改正數(shù)方程，其純量形式為v = (a k + b k + rk ) (，=1、2、n)(9-7)i p i a i bi ri代 v = P-1 AtK 入 AV+W = 0 得AP-1 AtK + W = 0N = AP-1 Atrxr rxn nxn n

5、xrNK + W = 0(9-8)上式稱(chēng)為聯(lián)系數(shù)法方程，簡(jiǎn)稱(chēng)法方程。式中N法方程系數(shù)距陣，為arbrrr(99)因 Nt = (AP-1 At)t = (At)t P-1 At = AP-1 At = N 故，N是r階的對(duì)稱(chēng)方陣。法方程的純量形式為aak+abk+ark+w=0paP bL p ra件1 pka+1絲1L p kbb+-也-L p kr+wb=0I（9-10）ark+k+ k+w=0_ p _apbL p rrJ從法方程解出聯(lián)系數(shù)K后，將K值代入改正數(shù)方程，求出改正數(shù) V值，再求平差值 L = L + V，這樣就完成了按條件平差求平差值的工作。9.1.2精度評(píng)定當(dāng)各被觀測(cè)量的平

6、差值求出后，下一步就是對(duì)觀測(cè)精度及平差值或平差值函數(shù)的精度 進(jìn)行評(píng)定，下面來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。1.單位權(quán)中誤差條件平差中單位權(quán)中誤 （9-11）（9-12）b，關(guān)鍵是計(jì)算VtPV （Pvv）。下面將討論VtPV。0 = 廠T-工 Ipwb = /或 0,從中誤差計(jì)算公式可知，為了計(jì)算VtPV （Pvv）的計(jì)算方法。（1）、由匕直接計(jì)算PvvL Pv 2 + Pv 2 + + Pv 2（9-13）1 12 2n n（2）、由聯(lián)系數(shù)K及常數(shù)項(xiàng)W計(jì)算因 + W = 0V = P-1 AtK故 VtPV = VtPP-1 AtK ）= VtPP-1 AtK=VtAtK（9-14）= （AV K = -Wt

7、K（3）、直接在高斯杜力特表格中解算將（9-4）的矩陣方程寫(xiě)為純量形式則有-VtPV = 0 + Wk + Wk + + Wka a b br r-VtPV = w + Wk + Wk + + Wk w a a b br raW -l b -W -1一 raaabb 1 1brr-(r -1)pL pLp-r= 0 + (w) x (訕W -(r-1)r(9-15)W(2)平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)設(shè)有平差值函數(shù)為中=f L ,L，,L )12 n(9-16)它的權(quán)函數(shù)式為：d =尊)dL + (- )dL + + (空)dL dL16L2dLn12n=了四+ f dL + + f dL 令fT =/，) 則 dp = f TdLaf 2n ndL = YL ,dL，.dL12(9