正弦定理和余弦定理分析

1、正弦定理和余弦定理1.正弦定理:ab_sin A sin Bsine=2R，其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形:a : b : c= sin_ A : sin_ B : sin_ C;a = 2Rsin A, b = 2Rsin B, c= 2Rsin C;sin A= 2R，sin B= 2R, sin C= 2R等形式，解決不同的三角形問題.余弦定理：a2= b2+ c2-2bccos_A,余弦定理可以變形：b2 + c2- a2cos A =111abc 1r _ Sabc= absin C =尹csin A= gacsin B =頑=2（a+ b + c） r（r 是三角形

2、內(nèi)切圓的半徑 ）,并可由此計算R、r.在厶ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形za-nJKARA關(guān)系式a = bs in Absin Aa bab解的個數(shù)一解兩解一解一解難點正本疑點清源1 在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大， 正弦值較大的角也較大， 即在 ABC中,AB? ab? sin Asin B；根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：化邊為角；化角為邊，并常用正弦（余弦）定理實施邊、角轉(zhuǎn)換.I基礎(chǔ)自測Ia+ b+ c在厶 ABC 中，若 A = 60 a=3，則.A ,. D , . =、 sin A+ sin B + sin

3、 C TOC o 1-5 h z 已知 ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 .35 設(shè) ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 cos A= ? cos B=t, b = 3,貝V c=513在 ABC 中，B= 60 AC/3，貝U AB + 2BC 的最大值為 已知圓的半徑為4, a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc= 16 ,2，則三角形的面積為（A. 2 .2B. 8.2D.C. ；2題型分類深度剖析題型一利用正弦定理解三角形 【例1】 在厶ABC中，a = 3, b = 2, B= 45求角A、C和邊c.變式訓(xùn)釦 已知a, b,

4、c分別是 ABC的三個內(nèi)角A, B, C所對的邊，若a= 1, b =A + C = 2B,則角A的大小為.題型二利用余弦定理求解三角形在厶ABC中,a、b、c分別是角 A、B、C的對邊，且cos Bcos C(1)求角B的大小；若 b = .13, a + c= 4,求厶 ABC 的面積.受式訓(xùn)媒2已知a, B, C ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a, b, c,且2cos2A + cos A= 0.(1)求角A的值；若a = 2 3, b + c= 4,求厶ABC的面積.題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3 已知a, b, c分別為 ABC三個內(nèi)角 A, B, C的對邊，acos

5、C + .-3asin C b c= 0.(1)求 A;若a = 2, ABC的面積為.3 求b, c.變式訓(xùn)練3在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊長分別是a, b, c.(1)若c= 2 , C = n且厶ABC的面積為.3 ,求a , b的值；典例：(12 分)在厶 ABC 中,若(a2 + b2)sin(A B) = (a2 b2) sin(A+ B)，試判斷厶 ABC 的形狀.(12分)(2012遼寧)在厶ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.角A, B, C成等差數(shù)列.求cos B的值；邊a, b, c成等比數(shù)列，求 sin Asin C的值.應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)

6、角和定理：A+ B + C = n A + B+ C =寸中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù).sin2A = si n2B + si n2C 2 正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得2sin B sin C cos A，可以進(jìn)行化簡或證明.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練（時間：35分鐘，滿分：57分）1.、選擇題（每小題5分，共20分）在厶 ABC 中，若/ A = 60 / B= 45 BC = 32,貝U AC 等于2.A . 4,3B . 2 .3C. 3在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,b,c.若 acos A= bsin B，貝U1B.14.A .等

7、腰直角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D .等腰三角形或直角三角形 ABC 中，AC= .7, BC= 2, B = 60 代寧B晉C.十則BC邊上的高等于3+39二、填空題（每小題5分，共15分）5.n1(2011 北京)在厶 ABC 中，若 b= 5,Z B= 4, sin A=-，貝V a=436.（2011福建）若厶ABC的面積為 J3, BC = 2, C= 60則邊AB的長度等于7.在厶 ABC 中，若 AB = 5, AC = 5,且 cos C=孟，則 BC =三、解答題（共22分）sin Acos A + cos2B 等于C. 13.在厶ABC中，a, b, c分別為角A,

8、 B, C所對的邊，若a= 2bcos C,則此三角形一定是（）8 (10分)在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且滿足cos A=耳5 AB AC = 3.求厶ABC的面積；若b + c= 6,求a的值.B+ C79. (12 分)在厶 ABC 中，a、b、c 分別為角 A、B、C 的對邊，4sin cos 2A =-.求A的度數(shù)；若 a = , 3, b+ c= 3，求 b、c 的值.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題（每小題5分，共15分） （2012 上海）在厶 ABC 中，若 sin2A+ sin2BBC,3b = 20acos A,貝Usin A :sin B :sinC為 （）A. 4 : 3 : 2B. 5 :6 :7C. 5 : 4 : 3D. 6 :5 :4二、填空題（每小題5分，共15分） 在厶ABC中，a、b、c分別為/ A、/ B、/ C的對邊長，已知 a, b, c成等比數(shù)列，且 a2- c2= ac- bc,則/ A=, ABC的形狀為 .5.在厶ABC中，若/ A = 60 b= 1,SABC = 3,則a + b + csin A+ sin B+ sin C的值為在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若 = 6cos