積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)課件

1、二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓 萊布尼茲公式 一、引例 第二節(jié)微積分的基本公式 第五章 1貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉一、引例(Introduction) 在變速直線運動中, 已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .2貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)3貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉則變上限函數(shù)證:則有定理1. 若(微分形式)4貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉注:1) 定理

2、 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 變限積分求導(dǎo):同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 .5貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉例1. 求解:原式例2. 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使解:原式 = c 0 , 故又由, 得6貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉 積分上限的函數(shù)是表示函數(shù)關(guān)系的一種新的方法.用這種方法表示的函數(shù)在物理,化學(xué),統(tǒng)計學(xué)中有廣泛的應(yīng)用. 例如,以法國著名物理學(xué)家弗雷斯納爾(Augustin Fresnel,17881827)的名字命名的弗雷斯納爾函數(shù)：這個函數(shù)最初出現(xiàn)在光波衍射理論中，現(xiàn)在它已經(jīng)被應(yīng)用于高速公路的

3、設(shè)計Problem:研究函數(shù)S(x)性質(zhì)：單調(diào)性，極值點，凹凸性，拐點，漸進線7貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉證8貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉9貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉證令10貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉Exercises:11貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉回顧: 在變速直線運動中, 已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .12貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉三、

4、牛頓 萊布尼茲公式(N-L Formula)( 積分形式) 證:根據(jù)定理 1,故因此得記作定理2.函數(shù) ,則13貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.N-L Formula14貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉微積分學(xué)的創(chuàng)立：創(chuàng)作起始年代發(fā)表年代牛頓16651687萊布尼茲16751684 ，1686 17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茲分別在前人大量工作的基礎(chǔ)上先后發(fā)現(xiàn)了微分和積分的關(guān)系。他們的發(fā)現(xiàn)標志著微積分學(xué)的最終創(chuàng)立。英國派代表人物：泰勒，馬克勞林歐洲大陸派代表人物：伯努利兄弟15貴有恒何必三更

5、眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉First published proof by Barrow (1670)Isaac Barrow16貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉Discovered by Newton (1666, unpublished); and by Leibniz (1673)Isaac NewtonGottfried Leibniz17貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉例5. 計算解:例6. 計算正弦曲線的面積 . 解:哇!:How easy it is!18貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉NOT

6、ATION 例6揭示了微積分基本定理的巨大威力當法國數(shù)學(xué)家Gilles de Roberval在年首次獲得正弦和余弦曲線下方的面積，這個問題在當時是富有挑戰(zhàn)性的，它需要非凡的智慧，但到年，當Barrow發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理并被Newton和 Leibniz深入研究后，這類問題became very easy! ( see Example ) 評論：數(shù)學(xué)中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的，復(fù)雜的東西拋到一邊19貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉例7 求 原式例8 設(shè) , 求 . 解解20貴有恒何必三

7、更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉例9 求 解由圖形可知21貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉例10下面計算是否有錯？解：注意到由定積分性質(zhì)知Why?22貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉例11. 汽車以每小時 36 km 的速度行駛 ,速停車,解: 設(shè)開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛 , 其速度為當汽車停住時,即得故在這段時間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離? 23貴有恒何必三更眠五更起，最無益只怕一日曝十日寒 與君共勉Conclusions則有1. 微積分基本公式積分中值定理微分中值定理