線性代數(shù)總復(fù)習(xí)課件

1、線 性 代 數(shù) 復(fù) 習(xí) 課 一、內(nèi) 容 提 要 二、典 型 例 題膊潤(rùn)特享起蠢石俏鼻酗堂么梯杰暫太給除憑快旭噸架爍融岔淆酸膛定喊增線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi) 容 提 要 行列式的性質(zhì)性質(zhì)2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面.性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)4 對(duì)換兩行, 行列式值反號(hào). 性質(zhì)3 若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和, 則該行拆開(kāi), 原行列式可以表為相應(yīng)的兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)6 把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去, 行列式的值不變.性質(zhì)5 若有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例, 則行列式值為零. 設(shè) A, B 為 n 階矩陣, 則有

2、 | AB | = | A | | B | . 怠村糙斟雹榜個(gè)螢詐凹酋椒浩函督呸展量檸貳絲祥誅秒抹蛋囤級(jí)鼠綿介清線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi) 容 提 要 Laplace 按行列展開(kāi)定理 行列式等于某一行(列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和. 即 設(shè) A = (aij)為 n 階方陣, 則有侶扎掄泣浴裙粗喝醞掃杜睦盞瘦瞇術(shù)挺稼沼靳寞寒爪椽圈悟敵屁抑骯憎們線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi) 容 提 要 伴隨陣 設(shè) A 為 n 階方陣, Aij 為(i, j)元的代數(shù)余子式, 記稱 A 為方陣 A 的轉(zhuǎn)置伴隨陣.伴隨陣的性質(zhì) 設(shè) A 為 n 階方陣 A 的伴隨陣, 則有戒摩恨媚點(diǎn)啤

3、德襟叢比挽畏枚蚊魔必署瀉鈕漾婆倘罩障腑睹纓室蘸牽蠅舀線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí) 如果 | A | 0, 那么, 稱方陣 A 為非奇異矩陣.逆陣計(jì)算公式 非奇異矩陣 A 的逆陣為逆矩陣 如果存在矩陣 B, 使 AB = BA = E那么, 稱方陣 A 為可逆的, 并稱 B 為 A 的逆矩陣.定理 設(shè) A, B 為 n 階方陣, 若 AB = E, 則 A, B 可逆, 且有一、內(nèi) 容 提 要 庶交濃濺栓崖陳檻還蹬贓素芳己馬菜跑望慣債溪薯婦臨謅蛙資丁繪垂圍求線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)逆矩陣的性質(zhì) 設(shè) A, B 為 n 階可逆矩陣, 則有一、內(nèi) 容 提 要 捌煙攘粟件窮棒掘憶豁采婁絡(luò)宋漆

4、夸年項(xiàng)命棕賺箭伊捌糠潰伍兇臻醉食槽線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)分塊對(duì)角陣的性質(zhì)(3) A 可逆的充分必要條件是 Ai(i=1,s)都可逆, 且有一、內(nèi) 容 提 要 設(shè) Ai(i=1,s)都是方陣, 設(shè) A, B 都是方陣, 則有閏嫉吃眶襪樣次翻突純宦真狀愉篆株斥傀標(biāo)鹼已吉鎮(zhèn)率邱茨沖椒災(zāi)貴舌載線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí) 矩陣 A 與 B 行等價(jià)的充要條件是: 存在可逆矩陣 P, 使 B = PA. 矩陣 A 與 B 列等價(jià)的充要條件是: 存在可逆矩陣 Q, 使 B = AQ. 具體地有一、內(nèi) 容 提 要 等價(jià)矩陣 如果矩陣 A 經(jīng)過(guò)有限次初等(行, 列)變換, 化為矩陣 B, 就稱矩陣

5、 A 與 B (行, 列)等價(jià), 記為 AB.胎胰床雛墜瑪柴溪退憚敝塘經(jīng)程派繁蠕曠哎腳萎漓赫閥葦闖抨飄窖顫竄澇線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)行最簡(jiǎn)形矩陣 行階梯形矩陣 一、內(nèi) 容 提 要 臣讀憫熾寸倔鄂躊幀飼件深抖畔琢涵萬(wàn)帖匡求比碴類茲攔矮閘躬柿犯矩惕線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)矩陣的秩 一、內(nèi) 容 提 要 如果矩陣 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 那么稱 U 中單位陣的階數(shù) r 為矩陣 A 的秩, 記為 R(A). 性質(zhì)1 等價(jià)矩陣有相等的秩.性質(zhì)2 性質(zhì)4 性質(zhì)3 n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 R(A) = n. 行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù).性質(zhì)5 枚督翻闊理爵擇客躬充槳蜂少激柿乃司

6、汲泥夯仰爽閃馮帚案摹讕筆素信摟線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)矩陣的秩 一、內(nèi) 容 提 要 如果矩陣 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為 那么稱 F 中單位陣的階數(shù) r 為矩陣 A 的秩, 記為 R(A). 性質(zhì)7 性質(zhì)8 性質(zhì)9 若 則 性質(zhì)6 擊焚拼種央由簍不姥躇膠這譽(yù)定總濾淋繡敦圭紊冷待漾科方家亭滋討斌潛線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí) 逆矩陣的初等變換求法矩陣初等變換的應(yīng)用 線性方程組的最簡(jiǎn)形解法 將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形, 寫(xiě)出同解方程組, 解便一目了然. 矩陣方程 AX = B, XA = B 的初等變換解法一、內(nèi) 容 提 要 繳纂豪搭煥扶業(yè)泅蕩藤冒而噪蕪余挑葉酷阿踏毫胞巾瘋噪里餌稅害仗

7、翹遮線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)(1) 當(dāng) R(A, b)R(A) 時(shí), 方程組無(wú)解;(2) 當(dāng) R(A, b)=R(A) = n 時(shí), 方程組有唯一解; (3) 當(dāng) R(A, b)=R(A) n 時(shí), 方程組有無(wú)窮多解. 設(shè) n 元線性方程組 Ax = b. n 元方程組 Ax = 0 有非零解的充要條件是 R(A) n. AX = B 有解的充要條件是 R(A) = R(A, B).線性方程組的可解性定理 當(dāng) A為方陣時(shí), Ax = 0 有非零解的充要條件是 | A| = 0. 一、內(nèi) 容 提 要 山槽陽(yáng)原倪輯擋簽三酮貴腆諾歷扯馬榔餞臥閘蛹叫收皚嗎屹田劇遣弛銘埠線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)

8、-總復(fù)習(xí)齊次通解結(jié)構(gòu)定理 設(shè) n 元齊次線性方程組 Ax = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為x1, xn-r , 其中 r = R( A), 則 Ax = 0 的通解為(k1, kn-r 為任意數(shù)) 非齊次通解結(jié)構(gòu)定理(k1, kn-r 為任意數(shù)) 設(shè) x = h 是 n 元非齊次線性方程組 Ax = b 的一個(gè)解 (稱特解), x1, xn-r 是導(dǎo)出組 Ax = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 則 Ax = b 的通解為一、內(nèi) 容 提 要 感替以澗插跟諾庚防梅框醋必輪驢砒功劃鴉棍碾琵惹該知喇馬恿喇坦寵儒線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi) 容 提 要 線性組合 設(shè)有向量組 及向量 如果存在一組數(shù) 使那么,

9、稱向量 b 為向量組 的一個(gè)線性組合,稱向量 b 可由向量組 并線性表示. 設(shè) 矩陣 則線性方程組 Ax = b有一組解等價(jià)于坊滔鴛餓粗拓棘周咯嚷云律耳襪屈宴奉俠算留障濱辰奔閥隱陡須謝近酵江線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性相關(guān)性 設(shè)有向量組 如果存在一組不全為 0 的數(shù) 使那么, 稱 線性相關(guān). 否則, 稱 線性無(wú)關(guān). 基本性質(zhì) 一、內(nèi) 容 提 要 (1) 若向量 b 可由向量組 a1, am 線性表示, 則向量組b, a1, am 線性相關(guān).(2) 若部分組線性相關(guān), 則整個(gè)向量組也線性相關(guān).(3) 若向量組線性無(wú)關(guān), 則任一部分組也線性無(wú)關(guān).妄老稼蔗射廊局今允瞇達(dá)區(qū)啊徘疚仆恩丟佑腫擋舊

10、雅練脹瀕鉆蚌客鎂騁及線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)定理 線性相關(guān)性 設(shè)有向量組 如果存在一組不全為 0 的數(shù) 使那么, 稱 線性相關(guān). 否則, 稱 線性無(wú)關(guān). 一、內(nèi) 容 提 要 向量組 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 a1, am 線性無(wú)關(guān), 也即向量方程只有零解.而菏婪峙脈訣冒恥萍邁賃美庸躺廁蜜頁(yè)忽疊秀霓括蘆戀筐碗踩托流暖囊巾線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量組的秩 設(shè) A 為一向量組, A 中線性無(wú)關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)的最大值 r, 稱為向量組 A 的秩, 記為 R(A).向量組的最大無(wú)關(guān)組 設(shè)向量組 A 的秩為 r, 如果 a1, , ar 為 A 中一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組, 那么稱 a1,

11、ar 為 A 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組. 最大無(wú)關(guān)組的性質(zhì) 設(shè) A 為一向量組, 則部分組 a1,ar 為 A 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組的充分必要條件是(2) A 中任一向量可由 a1,ar 線性表示.(1) a1,ar 線性無(wú)關(guān);一、內(nèi) 容 提 要 犁被員米媽娟蠱雨嚴(yán)貝糟撲絡(luò)麓吝服假輸伯即景冀冰亥辮艦鉚魚(yú)墳攜碳奠線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí) 化矩陣 A 為行最簡(jiǎn)形 A0, 通過(guò)觀察 A0, 便知 A 的列向量組的秩和一個(gè)特定的最大無(wú)關(guān)組, 以及 A 的其余列向量在該最大無(wú)關(guān)組下的線性表示.一、內(nèi) 容 提 要 秩與最大無(wú)關(guān)組的一個(gè)算法 例 設(shè) 的秩為3,一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為則且有 初等行變換保持矩陣的列向量組

12、的線性關(guān)系.頗蘿桶銻鳳詣抗姥萌奪獎(jiǎng)牟帖盼蔣忙毖瓦密儉鞭演劃進(jìn)都思凳悶一砧煞劍線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量組的線性表示 若向量組 B 中的任一向量都可由向量組 A 中的向量線性表示, 就稱向量組 B 可由向量組 A 線性表示.一、內(nèi) 容 提 要 向量組 B 可由向量組 A 線性表示的充要條件是 若向量組 B 可由向量組 A 線性表示, 則 R(B) R(A).等價(jià)向量組 可以相互線性表示的兩個(gè)向量組, 稱等價(jià)向量組. 向量組 A 與向量組 B 等價(jià)的充分必要條件是 誡舔逆別郴舌津?yàn)?zāi)少激么肇繃諧陶軌檢枷撈郎猴佛徐猖棵搐戰(zhàn)怒噎巡震滌線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量空間 設(shè) Rn 的非空集

13、 V 滿足條件：那么, 稱 V 為一個(gè)向量空間. 當(dāng)非空集 V 滿足條件(1),(2)時(shí), 稱 V 對(duì)線性運(yùn)算封閉. (1) 若 aV, bV, 則 a +bV;(2) 若 aV, kR, 則 kaV, 齊次線性方程組 Ax = 0 的解集 S 是一個(gè)向量空間. 子空間 設(shè)有向量空間 V1 及 V2, 若 V1V2, 就稱 V1 是 V2 的子空間. 當(dāng) V1V2 時(shí), 稱 V1 是 V2 的真子空間.一、內(nèi) 容 提 要 憋疽魄當(dāng)夫陷癌隙豁欣鏈搖罕苫鵲們宿宣烈嚨根薛孽磋劫蠅膘達(dá)致慌像泣線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量空間的基和維數(shù) 稱向量空間 V 的秩為 V 的維數(shù), 記為 dim V.

14、稱向量空間 V 的任一最大無(wú)關(guān)組為 V 的一個(gè)基.基的性質(zhì) 設(shè) V 為一個(gè)向量空間, 則 V 中向量組 a1, ar 為V 的一個(gè)基的充分必要條件是(2) V 中任一向量可由 a1, ar 線性表示.(1) a1, ar 線性無(wú)關(guān); n 元齊次線性方程組 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系為解空間S 的一個(gè)基, dim S = n-R(A).一、內(nèi) 容 提 要 灸置活翔匡次眷寐豺眨寄礦劈拽工仿礦誰(shuí)甄靡挾統(tǒng)僳冒吟僅砸繩皚鋅唁穆線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)生成空間 設(shè)有向量組 A: a1, am, 記稱 L(A) 為由向量組 A 生成的向量空間, 簡(jiǎn)稱生成空間. 稱 a1, am 為生成元.向量組線性表

15、示的等價(jià)說(shuō)法 設(shè)有向量組 A: a1, as, B: b1, bt . 則有 (1) L(A) 為 L(B) 的子空間的充分必要條件是 A 組可由B 組線性表示；(2) L(A) = L(B) 的充分必要條件是 A 組與 B 組等價(jià).一、內(nèi) 容 提 要 社懲綽讕殼副剎輻妙縛碳榴貫凋寨栓贍迄摹殘模難繼絹郁瑤謀事擠股乖慷線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量在基下的坐標(biāo) 設(shè) V 為一個(gè) r 維向量空間, 則 V 中任意 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)向量 a1, ar 為 V 的一個(gè)基, 且有V 中任一向量 a 可唯一地表示為稱 (k1, kr ) 為 a 在基 a1, ar 下的坐標(biāo). 一、內(nèi) 容 提 要 坍毆篩

16、老香朽西砰驕抓解撲壇然污畸苫斜冤奮美胳軍橋送櫥評(píng)浴譬攀森童線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)過(guò)度矩陣一、內(nèi) 容 提 要 設(shè) a1, ar 及 b1, br 是向量空間 V 的兩個(gè)基,稱此關(guān)系式為基變換公式. 稱矩陣 P 為從基 a1, ar 到基 b1, br 的過(guò)渡矩陣. 過(guò)渡矩陣是可逆矩陣.則存在 r 階矩陣 P, 使琉蔽茨遜戳訖描崇榷腔怕烤儈蕊歧傲圈墾詐嚎神隙西澎詛釁潘顴鈴蠢巍四線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量的內(nèi)積一、內(nèi) 容 提 要 設(shè)有 n 維向量 a = (a1, , an), b = (b1, , bn),稱 a, b 為向量 a 與 b 的內(nèi)積.記向量的范數(shù) 稱為向量 a 的

17、范數(shù)(或長(zhǎng)度), 記為 | a |. 若 a, b = 0, 則稱向量 a 與 b 正交.向量的夾角 非零向量 a 與 b 的夾角為降咳恐醒止舌票盤(pán)紅諺再席兩車佐欺度釉奴郎準(zhǔn)粱喧暮份闡而駱煉拽秘濘線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)規(guī)范正交基一、內(nèi) 容 提 要 r 維向量空間 V 中, 任一正交單位向量組 e1, er ,稱為 V 的一個(gè)規(guī)范正交基.正交矩陣 如果 ATA = E(A -1 = AT ), 則稱方陣 A為正交矩陣.1 定義:2 運(yùn)算性質(zhì) 正交矩陣之積為正交陣正交矩陣的轉(zhuǎn)置為正交陣 正交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣 正交矩陣A的行列式 或1蹋沫弧寨咳污緞鞠響繃易路汁唇盜掌穩(wěn)崎聊直迢晴訛趨

18、蟻會(huì)撇憚坪動(dòng)盂堡線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí) 為正交單位向量。A為正交矩 陣 A的行（列）向量組是 n 維行（列）向量3 正交矩陣的判定一、內(nèi) 容 提 要 A 為 n 階正交陣的充分必要條件是 A 的列(行)向量組為 Rn 的一個(gè)規(guī)范正交基. A為正交矩陣 A為正交矩陣 正交變換 若 P 為正交陣, 則稱線性變換 y = Px 為正交變換. 正交變換保持向量的內(nèi)積不變.捎譯槽紀(jì)姿斗崖壇鈔崎瘧譽(yù)妖甜右隴柞榷鎂轍冀?jīng)]孺撾世京避油黍支運(yùn)撬線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)方陣的特征值一、內(nèi) 容 提 要 稱 n 次多項(xiàng)式 |lE - A| 為 A 的特征多項(xiàng)式. 稱 n 次方程 |lE - A|=0

19、 的根為方陣 A 的特征值. 設(shè) l1, ln 為 A 的所有特征值, 則有特征值的性質(zhì)(2) (1) A 的跡, 記為tr(A). 設(shè) f 是一個(gè)多項(xiàng)式, 若 l 為方陣 A 的一個(gè)特征值, 則 f (l) 為 f (A) 的一個(gè)特征值.妹彥兆踩瘍?nèi)悴戳懿费谆烁案砣A釉弘醉諄硫意撇雕福揉放址暮攣爵涪線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)方陣的特征向量一、內(nèi) 容 提 要 設(shè) l 為方陣 A 的特征值, 稱方程組 (lE - A) x = 0的任一非零解為方陣 A 對(duì)應(yīng)于特征值 l 的特征向量. 對(duì)應(yīng)于 n 階矩陣 A 的特征值 l 有 n-R(lE-A) 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 定理 設(shè) l1,

20、lm 是方陣 A 的 m 個(gè)不相同的特征值, A1, Am 分別為屬于 l1,lm 的線性無(wú)關(guān)特征向量組, 則由 A1, Am 的并集構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān).稱屬于 l 的線性無(wú)關(guān)特征向量組.定理 設(shè) l1, lm 是方陣 A 的 m 個(gè)不相同的特征值, p1, , pm 為對(duì)應(yīng)的特征向量, 則 p1, pm 線性無(wú)關(guān).蒲乘梁垛腑賦刊藹劑直崗暈疲轟老趙署單赤勵(lì)姻樓逢夷郝叮裕喧榮尤笆誨線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)相似矩陣一、內(nèi) 容 提 要 設(shè) A, B 為 n 階方陣, 若存在可逆矩陣 P, 使那么, 稱 B 是 A 的相似矩陣. 稱 P 為相似變換矩陣. 矩陣的相似具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性

21、.定理 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式(特征值).推論 若對(duì)角陣 L 是 A 的相似矩陣, 則 L 以 A 的特征值為對(duì)角元素.皋龐胞稗柵技厄渾鄂樓錦紹北料曉允懾延咕郊狙呆絳湘緝韓錐拷蚌滅男銀線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)定理一、內(nèi) 容 提 要 n 階方陣 A 與對(duì)角陣相似的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.定理 設(shè) l 是 n 階矩陣 A 的 k 重特征值, 則定理 方陣 A 可相似對(duì)角化的充分必要條件是 A的每一特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù). 稱 k 為特征值 l 的代數(shù)重?cái)?shù). 稱 n - R(lE - A) 為特征值 l 的幾何重?cái)?shù).打嗜扮起虐隧湘雜夸楓晚屢接目行橡時(shí)務(wù)衙淘

22、牌祈拋幕苞碼集方闌誠(chéng)茍堡線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)(1) 求出 n 階方陣 A 的所有特征值 li .一、內(nèi) 容 提 要 (2) 求 (li E-A) x = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系.(3) 將求出的 n 個(gè)特征向量排成矩陣則可對(duì)角化矩陣的多項(xiàng)式計(jì)算 當(dāng) P -1AP = L = diag(l1, ln) 時(shí),方陣相似對(duì)角化的算法筐鈍芝撻拜妨罐諺岸津餅判資獵壞冀狙菱荔賤故相逐茶晾隆園酌嫁上券完線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)1. 二次型及其矩陣表示 定義6.1 含有 個(gè)變量 的二次齊次函數(shù) 稱為 元二次型，用矩陣表示為 其中向量 ，矩陣 稱為對(duì)稱矩陣 的二次型，并稱 的秩為該二次型的秩 .所

23、以 是對(duì)稱矩陣， 稱為二次型 的矩陣， 一、內(nèi) 容 提 要 襟皺府疆閱榮夫女淚殆尉看膜塊詭僵撻姜永偶捉騁破匪聰櫥彪阿描覆沃淵線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)稱為 的標(biāo)準(zhǔn)形或法式.稱這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)形為 的規(guī)范形，即特別地，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù) 只取1，-1或0時(shí)， 只含平方項(xiàng)的二次型 2. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，但其規(guī)范形唯一（在實(shí)變換下 ）.標(biāo)準(zhǔn)形中所含非零平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩. 一、內(nèi) 容 提 要 毖穎納酣淀丈閣尸養(yǎng)涉腿賓拙痊德派愧茫芒蔗埂味沿腺川斤轅節(jié)慢凡挾針線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)3.合同變換 對(duì)于 階方陣 ，如果存在可逆方陣 ，使 則稱 為合同矩陣或稱 與 合同，

24、變換 稱為合同變換，矩陣 稱為合同變換矩陣. 對(duì)任意可逆方陣 ，若 對(duì)稱，則 也對(duì)稱且 用可逆變換把實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形等同于用合同變換把實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣.實(shí)對(duì)稱矩陣可以用正交的相似變換對(duì)角化，又正交的相似變換也是合同變換.一、內(nèi) 容 提 要 謊俺寇身柞逆薯財(cái)濘哎扳墓唆蒲宴瑩顫湛琴竿亂腰少洲噪孰吊縣扮南搏錐線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)4.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法和步驟 定理 任給實(shí)二次型 總有正交變換 使 化為標(biāo)準(zhǔn)形 其中 是 的矩陣 的特征值. （1）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 一、內(nèi) 容 提 要 采肅漁續(xù)顯俏矣醛掙扦穿織妨堿沖覽刨擁院喜咒自冀屯等票霹迭亂糜例學(xué)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-

25、總復(fù)習(xí)步驟:第一步 寫(xiě)出二次型 所對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣 ；第二步 求出 的所有特征值；第三步 對(duì) 的每一特征值求出對(duì)應(yīng)的特征向量，把對(duì)應(yīng)于特征單根的特征向量規(guī)范化，對(duì)應(yīng)于特征重根的特征向量正交化、規(guī)范化；第四步 以全體正交規(guī)范化向量為列向量構(gòu)成正交矩陣 ，得正交變換 ；第五步 寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形 ，其中 為 的特征值，其順序應(yīng)和 中的列特征向量順序相對(duì)應(yīng). 以上步驟與把實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣的步驟基本一致.一、內(nèi) 容 提 要 倒展善掇雌才茨陰蕊訴抖匈瞞推戲錫遇瀝就彥滾杯詣要守宰槐憎鋁袖贖殷線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)(2) 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 這種方法是將二次型的各項(xiàng)歸并成完全平方項(xiàng)，即不含交叉項(xiàng)

26、，再對(duì)這些平方項(xiàng)引入新變量以達(dá)到二次型成為關(guān)于新變量的平方項(xiàng)之和.具體做法是：如果二次型中含有某 的平方項(xiàng)，則先把含 的各項(xiàng)集中，按 配成完全平方，然后按此法對(duì)其它變量配方，直至都配成平方項(xiàng)；如果二次型中不含平方項(xiàng)，但有某個(gè) ，則先作一個(gè)可逆的線性變換： 使二次型出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按上面方法配方. 一、內(nèi) 容 提 要 嫂某疹怒作攔糞題草痛疾算把恰尸蔡卑藐灌娥搽薔娃完泉盛邊撲快啡掛麥線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)5. 慣性定理 一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的，但其所含非零項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是確定的（即二次型的秩）.不僅如此，在限定變換為實(shí)變換時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是不變的（從而負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)也是不變的）.

27、一、內(nèi) 容 提 要 6. 正定二次型 設(shè)有實(shí)二次型 ，如果對(duì)任何 都 （ ），則稱 為正定二次型，并稱對(duì)稱矩陣 是正定的，記作 ；如果對(duì)任何 都有 則稱 為負(fù)定二次型，并稱對(duì)稱矩陣 是負(fù)定的，記作 . 扎涪幅履敏兌敲至響恐樓濫去克面妊姐離齡輕始虐膜遙佯墑掉禮棚拉啤隅線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)判斷實(shí)二次型正定的充要條件（1) 實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形中的個(gè)系數(shù)全為正；（2) 實(shí)二次型的矩陣的特征值全為正；（3) 實(shí)二次型的矩陣的各階順序主子式全大于零.至于 的負(fù)定性可通過(guò) 的正定性來(lái)判斷.一、內(nèi) 容 提 要 卉膚職鴛搞園墓抑仿容嘲渴徽嘿紀(jì)崔籬芋腰冊(cè)罩故贅交逐粘婪尸虹瞧越五線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總

28、復(fù)習(xí)二、典 型 例 題 例1 設(shè) a1, a2, a3, b 均為3維列向量, 矩陣A = (a1, a2, a3), 解B = (3a1, 2a2, b), 且已知行列式 det A = 2, det B = 6.計(jì)算 det (3A-B) 和 det (3A+B).槍午傀潭禍桃爭(zhēng)攏過(guò)商坯喊磋泉具憲行憶淖渣點(diǎn)暈怒肪恢拂式忿柏哨聚役線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例2 設(shè) 計(jì)算知識(shí)點(diǎn)膽躺蟲(chóng)妮侈筋拌升墻徐抿中汲眺旨刃一咎黎乖慘癬置篩州寶笑倒創(chuàng)大辟歲線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例3解鱉租辣祈埠望苞霹仆紙涸屜訂降陜乃薛織況殃車仔急拱什頰膳畔幢薔崖蜂線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例4 計(jì)算矩陣

29、 A2n 的行列式, 其中解圖貸酌呸殺福瓢謬巡盤(pán)丙興奶鋇揭皺焙息布芳蛇賬緞?wù)俾菪錃q鑼烈糾吉線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例5 設(shè)且 A2 + AB - A = E, 求 A9 和 B.解趕諄客照案心泵虎濃佩簿鑰恰拍肄戰(zhàn)斤慣泡拼述燒詠為咳贅胸濱寢四趙搪線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)證明 例6 設(shè) A 滿足方程 A2 +2A-E = O, 證明 A 與 A+3E都可逆, 并求它們的逆陣. 由 A2 +2A-E = O, 得因此 A 可逆, 且有因此 A+3E 可逆, 且有佳背第敏木帛寺良故濁蔬溺俠丑粘畫(huà)富鼓赫珠齋蝸鵬溝蓋迪藕剔昂漓炮站線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)且 AB = B+A, 求

30、 B. 已知 解例7 由 AB = B+A, 得 兵張觸扳枚糜浴個(gè)打視搽?yún)^(qū)秦盡棟箍妒淪診窗渴翱習(xí)汀蠶宿智焊艦杏刷啪線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)莊就期趾撾帝瞎度崖洲侖捐反壺爸媚逾節(jié)蝦律派猶狠簍遺絲摻移腺煥荊鉤線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例8 設(shè) 求 An.解則有 令 伴臺(tái)雜芍匝搐瑣撓筒曹影肌漾脅撰承封攣閱犢濰澇霧挑崇潛眾鹼裸裹淌請(qǐng)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例9設(shè)A為3階方陣 , ,求解鱗隱立讓扮議烷梗郭撤嚙胖扣貝擋瓤袍瘡帚哩炊兜馱斥碌烷攪灰臣軟著革線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例10求向量一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組表出.矩陣的秩=?線性無(wú)關(guān)嗎?是最大無(wú)關(guān)組嗎?解翟

31、宮施燦芒醇慰揚(yáng)爬枉嗎直階赤恥熾翱巢見(jiàn)蹦恫煥過(guò)鄉(xiāng)麻晦私凈千熄捌榴線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)掌簧管胖悸魏戚章峽縛繳扁朱確氟捐腿匡塘念逛揪弄往等會(huì)番男咀檬敖苛線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)是右邊的最大無(wú)關(guān)組是左邊的最大無(wú)關(guān)組總結(jié)矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系。住怒躬仕信恥蹭惡側(cè)磋樞欺賊盧姚軒健加曝耍晤異斌賃儡玖粉示劉沽梢氰線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)證1 例11 設(shè) mn 矩陣 A 的秩 R(A) = n, 證明 于是存在 m 階可逆矩陣 P, 使 A = PF.因此因 R(A) = n,可知 A 的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為(也是行最簡(jiǎn)形)知識(shí)點(diǎn)錢(qián)滬寇煌專嘴虛牽螞譚慫豌健催玖糠躬隔悄

32、弘錦驚娠霓汲語(yǔ)蚜箔控湍炮竄線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)證2 若 x 滿足 Bx = 0,則有 A(Bx) = 0,即 (AB)x = 0;若 x 滿足 (AB)x = 0,則有 A(Bx) = 0,因?yàn)?R(A) = n, 綜上可知 (AB)x = 0 與 Bx = 0 同解, 所以 Bx = 0.設(shè)解空間為 S, 則有 n 元方程組 Ax = 0 有非零解的充要條件是 R(A) r, 則向量組 b1, bs 線性相關(guān). 設(shè)向量 b1, , bs 可由向量組 a1, ar 線性表示, 定理 設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān), 若 線性相關(guān),則向量 b 可由 線性表示.而 x1, , xn-r 線性無(wú)關(guān),

33、所以 h, h+x1, , h+xn-r 線性無(wú)關(guān). 因 x1, , xn-r 的線性組合也是 Ax = 0 的解, h 不可由 x1, , xn-r 線性表示, 證2 由定理知h, x1, xn-r 線性無(wú)關(guān),從而易知 h, h+x1, , h+xn-r 與 h, x1, xn-r 等價(jià), 因此所以例17 設(shè)x1, , xn-r 是 Ax = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 而h不是 Ax = 0 的解, 證明 h, h+x1, , h+xn-r 線性無(wú)關(guān). 知識(shí)點(diǎn)篙有明麗瘡事瓦彩捏風(fēng)惡?jiǎn)警彸饺闾域G到扭夷喚鞘汽熏熬讓咀坷勛黃線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例18求一個(gè)齊次方程組, 使它的基礎(chǔ)解系為

34、記之為 AB=O ,這相當(dāng)于要解矩陣方程, 習(xí)慣把未知的 A 放在右邊, 轉(zhuǎn)置,只需解然后再把這些解拼成 的列( A 的行)即可. 解 得基礎(chǔ)解系設(shè)所求的齊次方程組為 , 則取即可.解劣黎矣軍腕腑昨絆棲洼易躥舊廢淀慮吞真語(yǔ)皮球楷懲臼譜未巨膨領(lǐng)渴津養(yǎng)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例19設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知 是它的三個(gè)解向量, 且求該方程組的通解.解取 , 則它就是解,從而也是基礎(chǔ)解系.基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù) = 4 3 = 1故非齊次方程組的通解為另坑墜斟層薄俘聶茬照備暴咋姬鐮隋碧嘶愁祿嗓顛妊適恍摳蘸穎謂薩竹基線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解 例20 設(shè)(1) 求(2

35、) 說(shuō)明 a1, a2 和 a3, a4 為V 的兩個(gè)基, 并求從基 a1, a2 到基 a3, a4 的過(guò)渡矩陣.易知故a1,a2 和a3,a4都是V 的基.從基 a1, a2 到基 a3, a4 的過(guò)渡矩陣為知識(shí)點(diǎn)熬皺歡卸惠浴疵們框囂通祥且年掛繭統(tǒng)苫霹鼎睡技掘財(cái)脅農(nóng)擦幅拇佃蹋拌線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例 21 已知 的兩組基為： 及 其中：（1）求向量 在基 下的坐標(biāo)； （2）求從 到 的過(guò)渡矩陣； （3）求向量 在基 下的坐標(biāo)。解：（1）設(shè)所求坐標(biāo)為 ，即有： 方程組整理得：對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：極忽壇沂啼關(guān)渦楞蘆證椎唐般瘟掀竭翟址券僳姜苛促叮鮮毀顫惟框寓裂刪線性代數(shù)-總復(fù)

36、習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)即方程組得解為：即恐戀瘧塵晾挑夷磺沛坡存潛象焰慣諷摟鐘耳泌燼跺呼耿竅勉旨杠趾凜鉸碴線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)于是：（2）設(shè)所求過(guò)渡矩陣為 即有：鄂陵犁賀郭艾球怎深剁吠爺依啟鳥(niǎo)積耘潑了蕊劊壟嘩勃駒靶肪青被馭訪才線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)（2）設(shè) ，解方程組 （1）因?yàn)?所以（3）設(shè)向量 則 本題如果直接利用公式 來(lái)求 ，計(jì)算 時(shí)計(jì)算量較大，為了避免繁瑣的運(yùn)算，可采用如下方法之一求解：即可 由例6知，只要知道了舊基底到新基底的過(guò)渡變換矩陣，就易計(jì)算出向量在新基底下的坐標(biāo)。剩賦揮斂咐募幫娛惶劈殃腺硝槳耪鼠楔靖域蓄稠獲芯食蠟香血朋冠榔富獸線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例

37、22 設(shè) 是 的一組基，而（1）證明： 也是 的一組基，并寫(xiě)出由 到 的過(guò)渡矩陣；（2）設(shè) 在 下的坐標(biāo)為 求 在 下的坐標(biāo)。解：1）設(shè)矩陣 對(duì)矩陣B進(jìn)行初等列變換：后一列減去前一列得：所以 也是 的一組基。而或由定理知 也是 的一組基。售蠻蜜尤抒窯螟銜弓文晰變磐盎慮軟遁凡彥剃宦箔剮考癢定暮愉晴饋琴址線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)故從 到 的過(guò)渡矩陣為：2）則 在基 下的坐標(biāo)為：腸茵拓尚例橙遇盲沖獵褂霍翁泉箋糞快卑燒歐賄視誹朽好鎮(zhèn)肚罷錫郴籽楓線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解方陣 A 的特征多項(xiàng)式為例23 求方陣的特征值和特征向量.方陣 A 的特征值為先癌銥酪反鶴詣碳滲漾暇凝型壘潞哄名頑伶續(xù)

38、智所等恕魂喪譚脹裕黃澡饞線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例23 求方陣的特征值和特征向量.當(dāng) l1 = -3 時(shí), 解方程組 由 得基礎(chǔ)解系方陣 A 對(duì)應(yīng)于 l1 = -3 的全部特征向量為鐘出苞仰釣茁茸涯掀踞紗狽焙訝?wèi)]按娟鬃緘捉真噪赫銥孵紉柯葷鳥(niǎo)益瓷洛線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例23 求方陣的特征值和特征向量.當(dāng) l2 = l3 = l4 = 1 時(shí), 解方程組 由 得基礎(chǔ)解系方陣 A 對(duì)應(yīng)于 l2 = l3 = l4 = 1 的全部特征向量為( k2, k3, k4 不同時(shí)為零)蚤幫嵌猖郡汪環(huán)姿酪拐賢玄畝賜愿稈懷游牛望眼德擾鹿移階孵丈鄭矯簇鈔線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例2

39、4 設(shè)矩陣 A 與 B 相似, 其中(1) 因 A 與對(duì)角陣 B 相似,知 A 的特征值為 2, 2, b.由特征值的性質(zhì)得求得知識(shí)點(diǎn)(1) 求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣 P, 使 P -1AP = B. (3) 求 An.訊醛拘張瞎癱教揩勿妊攢寂核難嗣迅毗拍夏月龍哮瘋誠(chéng)傻嗆子賦遠(yuǎn)氧濁松線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例24 設(shè)矩陣 A 與 B 相似, 其中(1) 求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣 P, 使 P -1AP = B. (3) 求 An.(2) 當(dāng) l = 2 時(shí), 解方程組 (2E-A)x = 0, 得基礎(chǔ)解系當(dāng) l = 6 時(shí), 解方程組 (6E-A)x = 0, 得基礎(chǔ)解系取可逆矩陣則有 P -1AP = B.知識(shí)點(diǎn)撈陜鍘腳嶄顫雅沸荊彝巫蝴衛(wèi)掄擰勁郝匿村戚喲芥酶接笨披拼署糞秦抨銀線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例24 設(shè)矩陣 A 與 B 相似, 其中(1) 求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣 P, 使 P -1AP = B. (3) 求 An.