高三數(shù)學(xué)高考考點解析平二面角與距離的題型與解法全國通用

1、二面角與距離高考考綱透析：熟練掌握求二面角的大小，空間距離的求法 局考熱點：求二面角每年必考，作為解答題可能性最大，空間距離則主要是求點到面的距離 知識整合：.二面角的平面角的作法：定義三垂線定義垂面法.點到平面的距離求法有：體積法直接法，找出點在平面內(nèi)的射影，可轉(zhuǎn)化為平行.轉(zhuǎn)化思想：例如求一個平面的一條平行線上一點到這個平面的距離較難時 線上其他的點到這個平面的距離熱點題型1求點到平面的距離如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面 AECiF所截面而得到的，其中AB=4 ,BC=2, CCi=3 , BE=1.(I )求BF的長；(n )求點C到平面AECiF的距離.C1解法 1:

2、(I)過 E 作 EH/BC 交 CCi 于 H,貝 U CH=BE=1 , EH/AD ,且 EH=AD.又. AF/EC1,FAD= ZC1EH. RtAADFRtAEHC1.DF=C1H=2.BF = BD2 DF2 =2 6.(n )延長 C1E與CB交于G,連AG ,則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.過C作CM AG ,垂足為M ,連CM , 由三垂線定理可知 AGgM.由于AG,面CMC,且AGU 面 AEC1F,所以平面 AEC1FXW C1MC.在 RtAC1CM 中， 作CQ，MC1，垂足為Q,則CQ的長即為C到平面 人55的 距離.FAA“ 一-一QD E5M GC

3、1HC由里=BG 可得,BG =1,從而 AG =$AB2 +BG2 =,17. CC1 CG412由/GAB =/MCG 知,CM =3cosMCG = 3cosGAB = 3 x, 17,1712CM CC1CQ 二MC132 . 1221117解法2: (I)建立如圖所示的空間直角坐標系，則 D (0, 0, 0), B (2, 4, 0), A (2, 0, 0) , C (0, 4, 0), E (2, 4, 1), C1 (0, 4, 3).設(shè) F (0, 0, z).AEC1F為平行四邊形，二由AEC1F為平行四邊形z：C1二由 AF =EC得,(2,0,z) =(2,0,2),

4、.z =2.F (0,0,2).EF =(一2,4,2).于是| BF |= 2而,即BF的長為2、,6.e/cy/B(II)設(shè)n1為平面AEC1F的法向量,顯然n1不垂直于平面ADF ,故可設(shè)n1 =(x, y,1).ni AE=0#ni AF =0, ,bxx+4My+1=012Mx+0 xy+2 =0即,4y +1 = 0,-2x +2=0,x f1 y-4又CC1 =(0,0,3)，設(shè)CC1與n1的夾角為a,則 TOC o 1-5 h z CC1 n134 .33cos-=ICC1| mi 31. 1133164.334,33. C 到平面 AEC 1F 的距離為 d =| CC1 I

5、 cosa = 3 父=3311熱點題型2定義法作二面角的平面角已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形， AB/DC, / DAB = 90：PA _L底面ABCD ,且PA=AD=DC= -AB=1 , M 是 PB 的中點.(I )證明：面 PAD，面PCD;(n)求AC與PB所成的角；(m)求面 AMC與面BMC所成二面角的大小18.本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.滿分12分.方案一：(I)證明： PAXW ABCD , CDXAD ,由三垂線定理得： CD PD.因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線 A

6、D , PD都垂直,.CD,面 PAD.又 CD U面 PCD, ,面 PADXW PCD.(II)解：過點 B 作 BE/CA ,且 BE=CA , 則/ PBE是AC與PB所成的角.連結(jié) AE,可知 AC=CB=BE=AE= 41 ,又 AB=2 ,所以四邊形 ACBE為正方形.由PAX面ABCD得/ PEB=90BE cos - PBE =PBJ. AC與PB所成的角為10 arccos.5在 RtA PEB 中 BE= V2 , PB= 5 ,垂足為N,連結(jié)BN.,又 AC=CB,(m)解：作 AN CM , 在 RtPAB 中，AM=MB .AMC BMC, .BN CM ,故/ A

7、NB為所求二面角的平面角. CBXAC ,由三垂線定理，得 CBXPC, 在 RtAPCB 中，CM=MB ,所以 CM=AM.在等腰三角形 AMC中，AN MC= JCM 2 (2C)2 AC ,2V 2 6AN -,52_2_ 2c AN BN - ABAB=2 , . COSZANB =故所求的二面角為,2、 arccos(- ).AN BN方法二：因為 PAXPD, PAXAB , AD XAB ,以A為坐標原點 AD長為單位長度，如圖建 立空間直角坐標系，則各點坐標為A (0, 0, 0) B (0, 2, 0), C (1, 1, 0), D (1, 0, 0), P (0, 0,

8、 1), M (0, 1,-).2(I)證明：因 Ap =(0,0,1),dC =(0,1,0)，故Ap DC =0,所以AP_LDC.又由題設(shè)知 AD，DC,且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線， 由此得DC，面PAD.又DC在面PCD上，故面 PADXW PCD.(n)解：因 AC =(1,1,0),PB =(0,2,-1), 故 | AC|=、2| 而|=V5,AC 而=2,所以 TOC o 1-5 h z AC PB .10 cos : AC, PB =.由此得AC與PB所成的角為arccos.5| AC | | PB |5(出)解：在 MC上取一點N (x, y, z),則存在

9、九w R,使NC =九MC,.11NC -(1 -x,1 -y,-z), MC -(1,0,1.x=1 ，y=1,z22一一一一_14要使AN _LMC,只需AN MC = 0即x z = 0,解得九=.25412可知當(dāng)九=4時，N點坐標為(1,1,2)，能使AN WC=0.55 51 2-12此時，AN =( ,1, ),BN=( ,-1,)，有 BN MC =05 555由AN MC =0,BN MC =0得AN，MC, BN，MC.所以/ANB為所求二面角的平面 角.一一 .30 T .30 - T 4|AN| =，|BN|=,AN BN .555cos(AN,BN)= 倒 BN =-.

10、|AN | | BN |32 故所求的一面角為arccos(- ).熱點題型3三垂線定理或逆定理作二面角的平面角 如圖1,已知ABCD是上.下底邊長分別為2和6,高為J3的等腰梯形，將它沿對稱軸 OOi 折成直二面角，如圖 2.(I )證明：ACXBOi；(n)求二面角 O AC 01的大小.D0A O 圖1解法一(I)證明 由題設(shè)知 OAOOi, OB OO1.所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OALOB.故可以O(shè)為原點，OA、OB、OOi 所在直線分別為 X軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系， 如圖3,則相關(guān)各點的坐標是 A (3, 0, 0), B (0, 3, 0), C (

11、0, 1, ,I n | | BOi |4所以 cos - =cos : n , BO1 =3即二面角 OACOi的大小arccos.4熱點題型4二面角與探索問題如圖，在長方體 ABCD ABiCiDi,中，AD=AA 1=1, AB=2，點E在AB上移動.(1)證明：DiEAiD;(2)當(dāng)E為AB的中點時，求點 E到面ACDi的距離；(3) AE等于何值時，二面角 Di-EC-D的大小為:.AiBCDBEDiCi解法(一)(i)證明：: AEL平面 AAiDDi, AiDXADi, 1- AiDXDiE(2)設(shè)點 E 到面 ACDi 的距離為 h,在 ACDi 中，AC=CDi=J5, AD

12、i=J2,-=,而S&ce AE BC =2222- V D1 -AEC1c cc 1c-=一 S aec DDi = S ad1c h,3313,11 二一 h,. h =223(3)過 D 作 DHCE 于 H,連 DiH、DE,則 DiHXCE, 丁./DHDi為二面角 D1一 EC D的平面角.設(shè) AE=x,貝U BE=2 -x在RtDQH 中” /DHD1JI-,.DH =1.4丁在RtAADE 中，DE = di+x2，,在RtDHE 中，EH = x,在 RtDHC 中 CH =瓜在 RMCBE 中 CE = Jx2 4x + 5. x13 = . x2 -4x 5 = x =

13、2 - . 3.B1AilDCBCiHE- AE =2 -1 二面角 D1 - EC解法(二)：以D為坐標原點，直線 標系，設(shè) AE=x，則 Ai (1, 0, 1), 2, 0)-D的大小為.4DA, DC, DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐Di (0, 0, 1), E (1, x, 0), A (1 , 0, 0) C (0,(i)因為DAi，DiE = (1,0,1),(1,x,1)=0,所以 DAi 1 DiE.(2)因為E為AB的中點，則E (1, 1, 0),從而 DE =(1,1,-1), AC =(-1,2,0),AD1 =(1,0,1),設(shè)平面acd1的法向量為n = (a,b,c),nt n AC =0,n AD1 =0,a+2b =0 a = 2b -也即，得 ，從而n = (2,1,2),所以點E到平面AD 1C的距離為a+c=0 a=c TOC o 1-5 h z 一 | D1E n |2 1-21h =：=一|n|33(3)設(shè)平面 D1EC 的法向量 n =(a,b,c) , CE =(1,x2,0), D1C