高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考教學(xué)設(shè)計：中點弦與差點法微專題教學(xué)設(shè)計

1、微專題中點弦與點差法教學(xué)設(shè)計說明【考情分析】1、高考要求（1） 了解圓錐曲線的實際背景， 了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；（2）掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、 頂點、離心率）；（3） 了解雙曲線的定義、結(jié)合圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程、知道它的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、 頂點、離心率、漸近線）；（4） 了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（5）理解數(shù)形結(jié)合的思想；（6） 了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用。從全國卷考試說明，全國卷橢圓和拋物線要求比較高，都是“掌握”和“理解”，而對雙曲線要求大大降低，是“了解”；直線與圓錐曲線、曲線與方程的要求都是“了解”2、歷屆高考

2、文科數(shù)學(xué)（全國卷 1）調(diào)研（1）考察形式、難度、分值情況全國卷題型賦分2013201420152016小題5分5分4 （簡單）10 （中檔）4 （簡單）10 （簡單）5 （簡單）16 （中檔）5 （簡單）10 （簡單）大題12分20 （較難）20 （中檔）20 （簡單）20 （中檔）（2）文科數(shù)學(xué)（全國卷 1）命題趨向題 型20102011201220132014201520168雙曲11圓：圓4橢圓：4雙曲4雙曲5橢圓與5橢圓：線：雙曲與圓的橢圓離線：漸近線：離心拋物線：橢圓的小線方程位置關(guān)心率與線方程率與參求準(zhǔn)線離心率全與焦點系和圓焦點三數(shù)的取與弦長三角形心距角形值范圍16橢圓：16雙曲1

3、0等軸8拋物10拋物16雙曲15圓：題橢圓與線：焦點雙曲線線：焦點線：焦半線：焦點直線和國離心率三角形與拋物三角形徑的長三角形圓的位的角平線：雙曲的面積面積”系分線線實軸長卷22.拋物22橢圓：20.圓錐20圓與20圓錐20圓：20拋物人線：直線點在橢曲線：拋橢圓：圓曲線：橢直線與線：直線與拋物圓上與物線與與圓的圓方程，圓的位和拋物線的位四點共圓方程，位置關(guān)圓的弦置關(guān)系線的位置關(guān)系圓點線距系和直長與三及求弦”系必離線與橢角形面長-1 -圓的位 置關(guān)系積從以上近7年全國高考在解析幾何部分的命題分布看：都是兩小題一道大題(即兩小一大)的題型設(shè)置；圓錐曲線由 2010年，2011年的設(shè)置的第一題在

4、8題和11題位置，到2012 至2015年第一題基本穩(wěn)定在 4、5兩道題的位置。我們可以看到總體上全國卷在解析幾何部 分的命題，難度在降低，更注重比如定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、漸進線方程等基礎(chǔ)知識的考 察?；旧鲜菣E圓、雙曲線、拋物線、圓中四選三各一道題目，直線與圓很少單獨考察，而 是與圓錐曲線結(jié)合。在近7年的解析幾何大題部分，橢圓考查了3次、拋物線和圓各考查 2次，沒有考過雙曲線。實際上全國卷在近十年高考中也只有08年考過一次雙曲線的大題。這與考試說明對三者的要求是一致的。【復(fù)習(xí)本專題的意義】解析幾何是高考的重點，也是難點。一輪復(fù)習(xí)應(yīng)該在注重知識面廣的同時，要根據(jù)文科 數(shù)學(xué)的特點加強思想方法的

5、滲透，總結(jié)一些源于教材而高于教材的重要結(jié)論和解題規(guī)律，做 到基礎(chǔ)扎實、結(jié)論熟練、思路清晰、方法準(zhǔn)確、講練得體，并引導(dǎo)學(xué)生充分結(jié)合考試說明和 命題規(guī)律，學(xué)會整理知識要點、解題方法、解題技巧，分類收集典型考例，深入淺出，自然 實現(xiàn)重點突出，難點的突破，在能力提升同時也為二輪復(fù)習(xí)打下前站，為二輪復(fù)習(xí)的飛躍打 下堅實的基礎(chǔ)。與圓錐曲線的弦的中點有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。涉及到解決圓錐曲線中點弦的問題，常采用“點差法”來求解。“點差法”是利用直線和圓錐曲線的兩個交點，把交點代入圓錐曲線的方程，得到兩個等式，兩式相減，可以得到一個與弦的斜率及中點相關(guān)的式子(也稱中點和斜率結(jié)合公式)，再結(jié)

6、合已知條件，運用學(xué)過的知識使問題得到解決。當(dāng)題目涉及弦的中點、斜率時，一般都可以用點差法來解。與韋達定理法復(fù)雜繁瑣的 計算相比，點差法可以大大減少運算量，優(yōu)化解題過程，達到“設(shè)而不求”的目的。本微專題將從求弦的斜率與弦的中點問題、求弦中點軌跡、求弦的中點坐標(biāo)、弦的垂直 平分線問題和求曲線的方程等方面引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究，使一輪復(fù)習(xí)備考落實到實 處，為2017年高考取勝作充分準(zhǔn)備。【教學(xué)內(nèi)容】直線與二次曲線相交，特別是直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：(1)求中點弦所在直線方程問題；(2)求弦中點的軌跡方程問題

7、；(3)求弦中點的坐標(biāo)問題。其解法有代點相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點弦所在直線方程問題 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark5 o Current Document 22例1、過橢圓 上+匕=1內(nèi)一點M(2, 1)引一條弦，使弦被點 M平分，求這條弦所在164的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：2222(4k2 1)x2 -8(2k2 -k)x 4(2k -1)2 -16 =0又設(shè)直線與橢圓的交點為 A(x1, y1)，B ( x2,y2)，則x1,x2是方程的兩個根，于是XiX

8、28(2k2 -k)4k2 1又M為AB的中點，所以X1x2_ 24(2k -k)4k2 1二21解得k=-, 故所求直線方程為 x+2y-4=0。 2解法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A( x1, yi) , B(x2,y2), M (2, 1)為AB的中點， TOC o 1-5 h z 2.22.2所以 x1+x2=4 ,yI+ y2=2 ,又 A、B兩點在橢圓上，則 x1+4yl=16, x2 +4y2=16,兩式相減得(x： -x22) 4( y12 -y22) = 0,y1- y2 x1x211,所以62=1 =,即kAB =,故所求直線方程為 x + 2y 4 = 0。x1- X24(y

9、1 y2 )22解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A( x , y ),由于中點為 M (2, 1),則另一個交點為 B(4- x ,2 -y ),因為A、B兩點在橢圓上，所以有122_x2 +4y2 =16 = 22J4-x)2 +4(2-y)2 =16兩式相減得x+2y-4 = 0,由于過A、B的直線只有一條,故所求直線方程為 x+2y-4=0。二、求弦中點的軌跡方程問題 TOC o 1-5 h z 22例2、過橢圓個+匕=1上一點P (-8, 0)作直線交橢圓于 Q點，求PQ中點的軌跡方 6436程。解法一：設(shè)弦 PQ中點 M ( x,y),弦端點 P( x1, y1), q (x2,

10、y2), 22則有 J9、16y12 =576,兩式相減得 9(x： x22)+16(y12 y22)=0, 9x2 +16 y2 =576又因為 x1 +x2 =2x , y +y2 =2y ,所以 9 2x(x1 x2) +16 2y(y1 一 y2) =0 ,y1 - y29x = y -0, 9x y所以小一必=，而kPQ =-,故=x -x2 16yx -(-8)16y x 8化簡可得 9x2 +72x +16y2 =0 ( x#8)。解法二：設(shè)弦中點 M( x, y) , Q ( x1, y1), TOC o 1-5 h z , x1 一 8y1由*=, y=一可得 x=2x+8,

11、 y1 = 2y ,2222又因為Q在橢圓上，所以遼+江=1,6436即嫗工上1, TOC o 1-5 h z 6436/22所以PQ中點M的軌跡方程為(X 4) +2一=1 ( x0-8)。169三、弦中點的坐標(biāo)問題例3、求直線y=x1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標(biāo)。2解：解法一：設(shè)直線 y=x1與拋物線y2 =4x交于A(x1, y1) , B(x2,y2),其中點y = X -1P(x0, y0),由題意得3 2,y = 4x消去 y 得(x -1)2 =4x,即 x2 6x+1 = 0 ,所以x0=土也=3, y =x0 1 =2,即中點坐標(biāo)為(3,2)。 2解法二：設(shè)直線y=x

12、1與拋物線y2 =4x交于AJyJ , B(x2,y2)，其中點r 2P(x, y),由題意得,y12 -4”,兩式相減得y22 - y： =4儀2 xj , y2= 4x2所以 (y二匕Xyj1 =4, x2 x1所以 y1+y2 =4,即 yO = 2, x = y0 +1=3,即中點坐標(biāo)為(3,2) o【課后練習(xí)】門.截得線段的中點坐標(biāo)為1、求直線燈_ V -1被拋物線Jv-j-z r=2、已知直線i與橢圓必+4V二16相交Pi, P2兩點，線段P1P2的中點是點p,設(shè)直線的斜率為 k (kw0), OP的斜率為k ,求證：kk是一個定值。3、已知橢圓- + 4/ = 16求斜率為2的平

13、行弦中點的軌跡方程。(平行弦中點軌跡方程)4、請收集高考題、平時考試題、訓(xùn)練題中能用點差法解答的中點弦試題。5、閱讀思考題前面面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些基本解法。下面我們看一個結(jié)論：引理 設(shè)A、B是二次曲線 C： Ax2+Cy2+Dx + Ey+F =0上的兩點，P(x0,y0)為弦AB的中點，則2 AX0 D kAB = -0(2Cyo E = 0) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 2Cyo + E Jo如/、一_2_2_ _設(shè) A(x1, y1)、B(x2 ,丫2)則 Ax1 +Cy

14、1 + Dx1 + Ey1 + F =0 (1)一 22 HYPERLINK l bookmark74 o Current Document Ax2 + Cy2 + Dx2 + Ey2 + F = 0 (2)-(2)得 A(x +x2)(x1 -x2)+C(yi + y2)(y1 一y?) + D(x1 一x?) + E(y1 一 y?) =0。2Ax0(x1 x2) + 2CyO(y1 - y2)+D(x1 -x2)+ E(y1 - y2)=0。(2Ax0 D)(x1 -x2) (2Cy0 E)(y y2)=0。 2Cy0 +E #0. x1 # x2。y1 -y2 = _2Ax0 +D 即

15、 kAB = _2Ax +D。(說明：當(dāng) AB 時，上面的結(jié)x1 -x22Cy0 +E 2Cy0 +E,、2 Axe D論就是過二次曲線 C上的點P(x, y)的切線斜率公式，即 k = 一上色一匕)。2Cy0 E推論1設(shè)圓x2 + y2 +Dx + Ey + F =0的弦AB的中點為 P(x, y) ( yO # 0),則心甘=一耙?)。(假設(shè)點P在圓上時，則過點P的切線斜率為肥=一黑2) TOC o 1-5 h z .、,2、,2 _、h x HYPERLINK l bookmark90 o Current Document 推論2設(shè)橢圓 工+上=1的弦AB的中點為P(x0,y0)( y0

16、 0),則kAB =_與上 a2 b2a V。(注：對aw b也成立。假設(shè)點 P在橢圓上，則過點 P的切線斜率為k =-a V。222推論3設(shè)雙曲線工_L_1的弦AB的中點為P(x0,y0)( y0 #0)則kAB =乂 &AB 2a2b2a V。(假設(shè)點P在雙曲線上,則過 P點的切線斜率為k = I 0 ) HYPERLINK l bookmark108 o Current Document ay0推論4設(shè)拋物線y2 =2px的弦ab的中點為P(x0,y0) ( y0 #0)則kAB =衛(wèi)。(假設(shè) y0點P在拋物線上，則過點 P的切線斜率為k=-p)Vo TOC o 1-5 h z 我們可以

17、直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題，并用數(shù)學(xué)語言小結(jié)你的收獲。 22【問題1】求橢圓 巳+匕=1斜率為3的弦的中點軌跡方程為 2516【問題2】已知拋物線 C: y2 = x，直線l : y = k(x -1)+1,要使拋物線C上存在關(guān)于對 稱的兩點，的取值范圍是 。22【問題3】已知橢圓5+4 =1(a b 0),A、B是橢圓上兩點，線段 AB的垂直平分線 a2 b22222l與x軸相交于P(x0,0),求證： a _b u a b。x0aa【參考答案】1、設(shè)P (x, y)是所求軌跡上的任一點，則有 3=_竺.個，故所示的軌跡方程為16x+75y=0一 25 y(-75 x :二 75 )

18、2412412、設(shè)C上兩點A、B兩點關(guān)于對稱，AB的中點為P(Xo，yo) ( yo =0)1. k P 2一 kAB -yo yo1 . pe /. y0 = k(xo - 1) + 1, . yo = k 廠2)1p在拋物線內(nèi)，3k2 142 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 一 2 一一,(k 2)(k -2k 2)04 k- ,1. k3 2k 十4 八- 一：二 0,k4k.-2 ： k :二 0.3、證明：設(shè)AB的中點為T(x1, y1),由題設(shè)可知 AB與x軸不垂直,必。0,b2 aVi2l AB . . K =馬_ b2 x1.l的方程為:y - V122- 1(x -x1)。令 y=0bx12得 0 - y1 二 (x0 - x1)bx12 a x1 二-2 2 a -bx。 I2a,0-2 x0 卜：a a -b2-2a -b o2；a - b-a【教學(xué)反思】本專題約一課時，用“引入一一探究一一實踐一一體會一一自主學(xué)習(xí)一一合作歸納一一 課后筆記與反思一一強化訓(xùn)