材料力學(xué)-理論課專題3-2：彎曲應(yīng)力

1、13-2 彎曲應(yīng)力材料力學(xué)(ci lio l xu)共四十二頁(yè)21 引言 2 平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力3 梁橫截面上的剪應(yīng)力4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理截面5 非對(duì)稱截面梁的平面彎曲開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心6 考慮材料塑性(sxng)時(shí)的極限彎矩3-2 彎曲應(yīng)力 共四十二頁(yè) 引言(ynyn)彎曲應(yīng)力1、彎曲構(gòu)件(gujin)橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力Q 剪應(yīng)力t彎矩M 正應(yīng)力s共四十二頁(yè)平面(pngmin)彎曲時(shí)橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有M而無(wú)Q的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t 剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)彎曲應(yīng)力2、研究(ynji)方法縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：共四

2、十二頁(yè) 某段梁的內(nèi)力(nil)只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。彎曲應(yīng)力PPaaABQMxx純彎曲(wnq)(Pure Bending):共四十二頁(yè)2 平面彎曲(wnq)時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲(wnq)實(shí)驗(yàn) 橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲應(yīng)力中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM共四十二頁(yè)橫截面上只有(zhyu)正應(yīng)力。平面假設(shè)：橫截面變形(bin xng)后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形(bin xng)

3、相等。（可由對(duì)稱性及無(wú)限分割法證明）3.推論彎曲應(yīng)力2.兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。共四十二頁(yè)A1B1O1O4. 幾何(j h)方程： 彎曲應(yīng)力abcdABdqrxy)OO1)共四十二頁(yè) （二）物理(wl)關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是(ysh)，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng) 力狀態(tài)。彎曲應(yīng)力sxsx（三）靜力學(xué)關(guān)系：共四十二頁(yè)彎曲應(yīng)力（對(duì)稱面） (3)EIz 桿的抗彎剛度。共四十二頁(yè)（四）最大正應(yīng)力(yngl)：彎曲應(yīng)力 (5)DdDd=abBhH共四十二頁(yè)例1 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：（

4、1）11截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率(ql)半徑。彎曲應(yīng)力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫(huà)M圖求截面(jimin)彎矩30共四十二頁(yè)彎曲應(yīng)力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求應(yīng)力(yngl)18030共四十二頁(yè)求曲率(ql)半徑彎曲應(yīng)力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030共四十二頁(yè)3 梁橫截面上的剪應(yīng)力一、 矩形(jxng)截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)： 剪應(yīng)力與剪力平行；距中性(zhn

5、gxng)軸等距離處，剪應(yīng)力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖b； 在微段上取一塊如圖c，平衡彎曲應(yīng)力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c共四十二頁(yè)彎曲應(yīng)力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應(yīng)力互等共四十二頁(yè)彎曲應(yīng)力Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布(fnb)為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它(qt)截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：其中Q為截

6、面剪力；Sz 為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩；共四十二頁(yè)2、幾種常見(jiàn)截面(jimin)的最大彎曲剪應(yīng)力 彎曲應(yīng)力Iz為整個(gè)截面(jimin)對(duì)z軸之慣性矩；b 為y點(diǎn)處截面寬度。工字鋼截面：;maxA Qtf結(jié)論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。 鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字鋼最大剪應(yīng)力Af 腹板的面積。;maxA Qtf共四十二頁(yè) 圓截面：薄壁圓環(huán)：槽鋼(co n)：彎曲應(yīng)力exyzPQeQeh共四十二頁(yè)4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理(hl)截面1、危險(xiǎn)(wixin)面與危險(xiǎn)(wixin)點(diǎn)分析：一般截面，最大正應(yīng)力

7、發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。彎曲應(yīng)力QtsssMt一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件共四十二頁(yè)2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度(qingd)條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個(gè)(y )可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）彎曲應(yīng)力3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：sMQtts共四十二頁(yè)4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊(tsh)情況：鉚接或焊接的組合(zh)截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核剪應(yīng)力。梁的跨度較短，M 較小，而Q較大時(shí)，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（

8、如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。、校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度：設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)載荷：彎曲應(yīng)力共四十二頁(yè)解：畫(huà)內(nèi)力圖(lt)求危面內(nèi)力例2 矩形(jxng)(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7MPa，=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。彎曲應(yīng)力q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ+x共四十二頁(yè)求最大應(yīng)力(yngl)并校核強(qiáng)度應(yīng)力(yngl)之比彎曲應(yīng)力q=3.6kN/mxM+Q+x共四十二頁(yè)y1y2GA1A2A3A4解：畫(huà)彎矩圖并求危面內(nèi)力(nil)例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于(wiy)

9、C點(diǎn)，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理？4彎曲應(yīng)力畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM共四十二頁(yè)校核(xio h)強(qiáng)度T字頭在上面(shng min)合理。彎曲應(yīng)力y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4共四十二頁(yè)二、梁的合理(hl)截面（一）矩形(jxng)木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著營(yíng)造法式 一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義 一書(shū)中指出:矩

10、形木梁的合理高寬比 為彎曲應(yīng)力bh共四十二頁(yè)強(qiáng)度(qingd)：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：1、在面積(min j)相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面其它材料與其它截面形狀梁的合理截面彎曲應(yīng)力zDzaa共四十二頁(yè)彎曲應(yīng)力zD0.8Da12a1z共四十二頁(yè)工字形截面(jimin)與框形截面(jimin)類似。彎曲應(yīng)力0.8a2a21.6a22a2z共四十二頁(yè) 對(duì)于鑄鐵類抗拉、壓能力(nngl)不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險(xiǎn)截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：彎曲應(yīng)力2、根據(jù)材料特性選擇(xunz)截面形狀sGz共四十二頁(yè)彎曲應(yīng)力（

11、二）采用變截面(jimin)梁 ，如下圖：最好(zu ho)是等強(qiáng)度梁，即若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為同時(shí)Px共四十二頁(yè)5 非對(duì)稱截面梁的平面(pngmin)彎曲 開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心幾何方程(fngchng)與物理方程(fngchng)不變。彎曲應(yīng)力PxyzO共四十二頁(yè)依此確定(qudng)正應(yīng)力計(jì)算公式。剪應(yīng)力研究方法(fngf)與公式形式不變。彎曲應(yīng)力彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點(diǎn)。 （如前述坐標(biāo)原點(diǎn)O）PxyzO共四十二頁(yè)槽鋼(co n)：彎曲應(yīng)力非對(duì)稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用(zuyng)在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，,若是橫向力，還必須過(guò)彎曲中心

12、。exyzPPsMQe共四十二頁(yè)彎曲(wnq)中心的確定:(1)雙對(duì)稱軸截面(jimin)，彎心與形心重合。(2)反對(duì)稱截面，彎心與反對(duì)稱中心重合。(3)若截面由兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形組成，彎心與兩矩形長(zhǎng)中線交點(diǎn)重合。(4)求彎心的普遍方法：彎曲應(yīng)力CCCQyeC共四十二頁(yè)ssss6 考慮材料塑性(sxng)時(shí)的極限彎矩（一）物理(wl)關(guān)系為：全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設(shè)。彎曲應(yīng)力sessss理想彈塑性材料的s-e圖ssss彈性極限分布圖塑性極限分布圖共四十二頁(yè)（二）靜力學(xué)關(guān)系(gun x)：（一）物理(wl)關(guān)系為：彎曲應(yīng)力yzxssMjx橫截面圖正應(yīng)力分布圖共四十二頁(yè)彎曲應(yīng)力yzxssMjx橫截面圖正應(yīng)力分布圖共四十二頁(yè)例4 試求矩形截面梁的彈性極限(jxin)彎矩M max與塑性極限彎矩 Mjx之 比。解：彎曲應(yīng)力共四十二頁(yè)41本章(bn zhn)結(jié)束共四十二頁(yè)內(nèi)容摘要1。某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。橫向線(a b、c d）變形后仍為直線(zhxin)，但有轉(zhuǎn)動(dòng)。橫向線與縱向線變形后仍正交。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。中