【學(xué)習(xí)課件】第三節(jié)邏輯函數(shù)的圖解化簡法

1、 對于任何一個邏輯函數(shù)的功能描述都可以作出真值表，根據(jù)真值表可以寫出該函數(shù)的最小項之和及最大項之積的形式。ABF000011101110最小項之和：最大項之積：真值表和邏輯函數(shù)的最小項、最大項之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。 但是把真值表作為運算工具十分不便。用圖解化簡法，化簡邏輯函數(shù)方便簡單。第三節(jié) 邏輯函數(shù)的圖解化簡法F = 1 的輸入變量組合有 AB = 01、10 兩組。F = 0 的輸入變量組合有 AB = 00、11 兩組。從以上分析中可以看出：編輯ppt 如果把真值表按特定規(guī)律排列成方格圖的形式，這種方格圖稱為卡諾圖。利用卡諾圖可以方便地對邏輯函數(shù)進行化簡。通常稱為圖解法或卡諾圖法。3、

2、卡諾圖小方格相鄰數(shù) = 變量數(shù)。2、 每個相鄰小方格彼此只允許一個變量不同。通常采用格雷碼排列。保證邏輯相鄰，幾何位置相鄰。一、卡諾圖構(gòu)成二、卡諾圖構(gòu)圖思想：1、 n 變量函數(shù)就有 2n 個小方格。每個小方格相當(dāng)于真值表中的一個最小項。小方格的編號就是最小項的編號。邏輯函數(shù)的圖解化簡法編輯ppt1 變量卡諾圖 變量數(shù) n = 1 在卡諾圖上有 21 = 2 個小方格，對應(yīng)m0、m1兩個最小項。0 表示 A 的反變量。 1 表示 A 的原變量。2 變量卡諾圖 變量數(shù) n = 2 在卡諾圖上有 22 = 4 個小方格，對應(yīng)m0、m1、m2、m3四個最小項。每個小方格有二個相鄰格：m0和m1、m2相

3、鄰。 A B 0 0 0 1 1 1 1 0二變量格雷碼排列： 任何相鄰碼組之間只有一個碼元不同。邏輯相鄰，幾何位置相鄰。邏輯函數(shù)的圖解化簡法編輯pptABC0000010110101101111011003 變量卡諾圖 變量數(shù) n = 3 在卡諾圖上有 23 = 8 個小方格，對應(yīng)八個最。每個小方格有三個相鄰格。m0 和m1、m2、m4 相鄰。m1 和m0、m3、m5 相鄰。m2 和m0、m3、m6 相鄰。三變量格雷碼排列順序： 卡諾圖小方格相鄰數(shù) = 變量數(shù)。 小方格的編號就是最小項的編號。 邏輯相鄰，幾何位置也相鄰。要求掌握格雷碼排列規(guī)律。邏輯函數(shù)的圖解化簡法編輯ppt4 變量卡諾圖 變

4、量數(shù) n = 4 在卡諾圖上有 24 = 16 個小方格，對應(yīng)十六個最小項。每個小方格有四個相鄰格。m0 和m1、m2、m4 、m8 相鄰。m5 和m1、m4、m7 、m13 相鄰。m9 和m1、m8、m11 、m13 相鄰。四變量格雷碼排列：A0000000011111111B0000111111110000C0011110000111100D0110011001100110邏輯函數(shù)的圖解化簡法編輯ppt5 變量卡諾圖 變量數(shù) n = 5 在卡諾圖上有 25 = 32 個小方格，對應(yīng)32個最小項。每個小方格有5個相鄰格。m0和m1、m2、m4、m8 、及對稱相 m16。m5和m1、m4、m7

5、、m13 、及對稱相 m21。m23和m19、m21、m22、m31 、及對稱相 m7。m27和m25、m26、m19、m31 、及對稱相 m11。找相鄰格的方法： 先按四變找 再找對稱相 隨著輸入變量的增加，小方格數(shù)以 2n 倍增加。若 N=6 有 64個小方格，使卡諾圖變得十分復(fù)雜，相鄰關(guān)系難以尋找。所以卡諾圖一般多用于5變量以內(nèi)。邏輯函數(shù)的圖解化簡法編輯ppt 卡諾圖的目的是用來化簡邏輯函數(shù)，那么如何用卡諾圖來表示邏輯函數(shù)？方法有四種：1、 真值表法 已知一個真值表，可直接填出卡諾圖。方法是：把真值表中輸出為 1 的最小項，在的卡諾圖對應(yīng)小方格內(nèi)填 1 ，把真值表中輸出為 0 的最小項，

6、在卡諾圖對應(yīng)小方格內(nèi)填 0 。例：已知真值表為ABCFm i0000m 00011m 10101m 20110m 31001m 41010m 51101m 61111m 7 填有1 的所有小方格的合成區(qū)域就是該函數(shù)的卡諾圖。二、卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法編輯ppt例：畫出四變量卡諾圖，并填圖： 將 F 中的所有最小項填在卡諾圖的對應(yīng)小方格內(nèi)。最小項填“1”，其余位置填“0”。2、配項法（四變量函數(shù)） 首先通過配項法將非標(biāo)準(zhǔn)與或式變換為標(biāo)準(zhǔn)與或式。即最小項之和的形式?？ㄖZ圖表示邏輯函數(shù)的方法編輯ppt是 m13 和 m12 的公因子所以只要在 A=B=1 ，C=0 所對應(yīng)的區(qū)域填1即可。同理：在

7、A=0， B=D=1 所對應(yīng)的區(qū)域填1。 在 A=1，C=1 所對應(yīng)的區(qū)域填1。3、直接觀察法：（填公因子法）卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法編輯ppt最大項和最小項互為反函數(shù)。 因此：在卡諾圖上最小項用“1”格表示，最大項用“0”格表示。4、 將最小項之和形式化簡為最大項之積形式： 任何一個邏輯函數(shù)不但可以表示成最小項之和的形式，也可以表示為最大項之積的形式?？ㄖZ圖表示邏輯函數(shù)的方法編輯ppt 本例說明：任何一個邏輯函數(shù)，根據(jù)需要可以用“1”格表示，也可以用“0”格表示。例：已知要求將F表示為最大項之積的形式。 在三變量卡諾圖中填“1”格表示最小項，其余填 “0”格表示最大項。10101111“0”

8、格表示最小項的非?？ㄖZ圖表示邏輯函數(shù)的方法編輯ppt以四變量為例說明卡諾圖的化簡方法: 若規(guī)定：代表一個最小項的小方格叫做“0”維塊。 “0”維塊： 表示四個變量一個也沒有被消去。“0”維塊相加“1”維塊“2”維塊“3”維塊從上述分析中可以看出：二個“0”維塊相加，可合并為一項，并消去一對有 0，1變化因子。四個“0”維塊相加，可合并為一項，并消去二對有 0，1變化因子。八個“0”維塊相加，可合并為一項，并消去三對有 0，1變化因子。m0+m1m3+m2m4+m5m7+m6 將相鄰“0”維塊相加，可以將兩項合并為一項，并消去一對因子。相鄰項三、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法：編輯ppt2、畫出表示該

9、函數(shù)的卡諾圖。3、畫合并圈。 將相鄰的“1”格按 2n 圈一組，直到所有“1”格全部被覆蓋為止。1、合并圈越大，與項中因子越少，與門的輸入端越少。2、合并圈個數(shù)越少，與項數(shù)目越少，與門個數(shù)越少。3、由于 A+A=A，所以同一個“1”格可以圈多次。4、每個合并圈中要有新的未被圈過的“1”格 ?？ㄖZ圖化簡原則：4、將每個合并圈所表示的與項邏輯相加。1、將函數(shù)化簡為最小項之和的形式?？ㄖZ圖化簡步驟：編輯ppt解：1、正確填入四變量卡諾圖ABCD=0000 處填 1ACD=010 處填 1ABC=011 處填 1ABD=011 處填 1ABC=111 處填 1ACD=110 處填 1ABCD=1001

10、 處填 1112、 按 2n 圈一原則畫合并圈，合并圈越大越好。 每個合并圈對應(yīng)一個與項。3、 將每個與項相加，得到化簡后的函數(shù)。 例1：化簡1 111111編輯ppt解：本例說明：同一邏輯函數(shù)，可能有兩種以上最簡化簡結(jié)果。例2：化簡 本題直接給出最小項之和地形式，因此，在卡諾圖對應(yīng)小方格處直接填“1”。編輯ppt作業(yè)8(2)、10（3）、11、12（3）（4）、13、14、15（2）（4）P113編輯ppt2、畫出表示該函數(shù)的卡諾圖。3、畫合并圈。 將相鄰的“1”格按 2n 圈一組，直到所有“1”格全部被覆蓋為止。1、合并圈越大，與項中因子越少，與門的輸入端越少。2、合并圈個數(shù)越少，與項數(shù)目

11、越少，與門個數(shù)越少。3、由于 A+A=A，所以同一個“1”格可以圈多次。4、每個合并圈中要有新的未被圈過的“1”格 ?？ㄖZ圖化簡原則：4、將每個合并圈所表示的與項邏輯相加。1、將函數(shù)化簡為最小項之和的形式?？ㄖZ圖化簡步驟：編輯ppt解：1、正確填入四變量卡諾圖ABCD=0000 處填 1ACD=010 處填 1ABC=011 處填 1ABD=011 處填 1ABC=111 處填 1ACD=110 處填 1ABCD=1001 處填 1112、 按 2n 圈一原則畫合并圈，合并圈越大越好。 每個合并圈對應(yīng)一個與項。3、 將每個與項相加，得到化簡后的函數(shù)。 例1：化簡1 111111編輯ppt解：本

12、例說明：同一邏輯函數(shù)，可能有兩種以上最簡化簡結(jié)果。例2：化簡 本題直接給出最小項之和地形式，因此，在卡諾圖對應(yīng)小方格處直接填“1”。編輯ppt本例說明： 每一個合并圈要有新未被圈過的“1”格。二維塊BD中所有的”1”格均被其余合并圈所包圍。所以BD是冗余項，應(yīng)取掉。卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法：編輯ppt 解：題意要求將最小項之和化簡為最大項之積的形式。即由與或式求出或與式。填“1”格，圈“0”格，例4：化簡 F = m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)為最簡或與式?？ㄖZ圖化簡邏輯函數(shù)的方法：編輯ppt 題意要求：將最大項之積化簡為或與式。最大項和最小項互為反函數(shù)。最小項填“1”格，最大

13、項填“0”格。ABADACCDBD即：填“0”格，圈“0”格，例5：化簡 F = M(3,5,7,9,1015) 為最簡或與式。卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法：編輯ppt為最簡或與式及最簡與或式。解：1、將已知為或-與式的函數(shù) F 填入卡諾圖的簡便辦法是：等式兩邊求反，然后在卡諾圖上填“0” 格，其余填“1”格。 2、利用觀察法，填“0”格，圈“0”格0000000011111111 3、最簡與或式是填“1”格，圈“1”格,直接寫出 F 的與-或式。例6：化簡編輯ppt編輯ppt（一）、與非邏輯形式（用與非門實現(xiàn)）1、填“1”格，圈“1”格，得出 F 與或式。ABBCAC2、兩次求反，一次反演得出與

14、非與非式。3、根據(jù)與非式，畫出用與非門組成的 邏輯電路圖。 邏輯函數(shù)的形式是多種多樣的，前面我們已經(jīng)學(xué)過與或式、或與式，還有與非式、或非式、與或非三種表示形式?，F(xiàn)在討論如何在卡諾圖上實現(xiàn)這三種形式的化簡。例：已知根據(jù)電路要求，選擇不同化簡方式。要求用與非門、或非門、與或非門實現(xiàn)。四、邏輯函數(shù)按要求形式化簡&ABCF編輯ppt（二）、或非邏輯形式（用或非門實現(xiàn)）1、填“1”格，圈“0”格2、等式兩邊求反，得出 F 或與式。3、對 F 兩次求反，一次反演得出或非或非式。4、根據(jù)或非或非式，畫出用或非門組成的邏輯電路圖。邏輯函數(shù)按要求形式化簡1111ABCF編輯ppt（三）、與或非邏輯形式（用與或非

15、門實現(xiàn)）。1、圈“0”格，2、等式兩邊求反，得出 F 與或非式。3、根據(jù)與或非式，畫出用與或非門 組成的 邏輯電路圖。邏輯函數(shù)按要求形式化簡&1編輯ppt邏輯問題分為完全描述和非完全描述兩種。 在每一組輸入變量的取值下，函數(shù) F 都有確定得值，不是 0 就是 1 。 1、在輸入變量的某些取值下，函數(shù) F 取值是 0 是 1 都可以。不影響電路的邏輯功能。 2、輸入變量受外界條件約束，某些輸入組合不可能在輸入端出現(xiàn),不必考慮輸出。這些輸入取值組合稱為無效組合。同無效輸入組合相對應(yīng)的最小項稱為：無關(guān)項、任意項、約束項。完全描述：非完全描述：五、包含無關(guān)最小項的邏輯函數(shù)的化簡編輯pptA B C F

16、0 0 0 00 0 1 10 1 0 11 0 0 1沒操作乘法減法加法0 1 1 X1 0 1 X1 1 0 X1 1 1 X不允許 BC同時為 1，記作 BC=0不允許 AC同時為 1，記作 AC=0不允許 AB同時為 1，記作 AB=0不允許 ABC同時為 1，記作 ABC=0約束條件：BC+AC+AB+ABC=0通過配項展開為最小項之和形式： 從本例可以看出：將恒為 0 的最小項加入或不加入到 F 表達式，都不影響函數(shù)值。因此：將無關(guān)最小項記做 x ,對函數(shù)化簡有利當(dāng)作 1 ，對化簡沒利當(dāng)作 0 。真值表：恒為 0 的最小項就是無關(guān)項 例：假設(shè)用 A、B、C、三個邏輯變量，分別代表計

17、算器的加、減、乘三種運算。假定：有操作為 1 ，無操作為 0。編輯ppt解：依題意列真值表。A B C D F0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 10 1 1 1 11 0 0 0 11 0 0 1 11 0 1 0 X1 0 1 1 X1 1 0 0 X1 1 0 1 X1 1 1 0 X1 1 1 1 X由真值表寫出 F 表達式： 例1：用 8421BCD碼表示一位十進制數(shù)X,當(dāng)x5時，輸出 F = 1，否則輸出 F = 0 ，求 F 的最簡與或式。不考慮無關(guān)項的化簡考慮無關(guān)項的化簡包含無關(guān)最小項的邏輯

18、函數(shù)的化簡編輯ppt約束條件 解：AB = 0 表示 A 與 B 不能同時為 1, AB = 11（即 AB同時為1)所對應(yīng)的最小項，就是無關(guān)項。 例2:化簡無關(guān)項 X 對化簡有利當(dāng)作 1 ，對化簡無利當(dāng)作0 。 包含無關(guān)最小項的邏輯函數(shù)的化簡編輯ppt 前面所學(xué)的函數(shù)化簡，均假定輸入信號既提供原變量，又提供反變量。在實際邏輯電路設(shè)計中，只有原變量輸入，沒有反變量輸入。因此在函數(shù)化簡時采取適當(dāng)方法就能得到只有原變量輸入。1、公式法：先介紹幾個概念頭部因子和尾部因子：一個乘積項可以寫作：乘積項不帶反號的部分稱為頭部。每個乘積因子 a b c - - -稱為頭部因子。乘積項帶反號的部分稱為尾部。每

19、個乘積因子，x y z, u v w 稱為尾部因子。例：頭部因子尾部因子六、輸入只有原變量沒有反變量的邏輯函數(shù)化簡編輯ppt尾部代替因子例： 頭部因子可以隨意放入尾部因子，也可以從尾部因子中取走。證明： 一個乘積項的尾部因子，可根據(jù)需要加以擴展，如果擴展變量是屬于頭部內(nèi)的變量，則該乘積項的值不變。擴展后的因子，稱為原乘積項尾部因子的代替因子。 即：尾部因子的反號可以任意伸長和縮短，伸長將頭部因子 放進去，縮短將頭部因子取出來。輸入只有原變量沒有反變量的邏輯函數(shù)化簡編輯ppt 如果兩個或兩個以上乘積項的頭部完全相同，則這幾個乘機項可以合并為一個乘積項。例：已知在輸入沒有反變量的條件下化簡為與非與

20、非表達式。解：a、用卡諾圖常規(guī)化簡乘積項合并 共用：7個門，其中，3 個非門，4 個與非門。輸入只有原變量沒有反變量的邏輯函數(shù)化簡編輯ppt 公式法化簡的目的：尋找公共項 減少與非門數(shù)量。只用4個與非門。b、用公式法化簡輸入只有原變量沒有反變量的邏輯函數(shù)化簡&ABCF編輯ppt2、禁止邏輯法先介紹一個名詞：1重心：如：AB=11 ABC=111 ABCD=11111重心的特點： 凡合并圈包含 1 重心的與項不會含有反變量。CABACBD禁止邏輯法的基本思想： 但這樣的合并圈有可能把不屬于原函數(shù)的某些最小項也圈進去了，要保證原函數(shù)功能不變，必須扣除這些不屬于原函數(shù)的最小項。在卡諾圖上所有變量取值為1 的小方格稱為 1 重心。 保證輸入端不會出現(xiàn)反變量，化簡函數(shù)時必須包含 1 重心。輸入只有原變量沒有反變量的邏輯函數(shù)化簡編輯ppt例：a、常規(guī)化簡b、含1重心化簡 假定：m7 = 1畫入合并圈，化簡結(jié)果 C 與原函數(shù)不一致，因為把m7看作 1 圈入，實際 m7 = 0 因此要把m7禁止掉。證明： 推論：任一邏輯函數(shù)，如果用不屬于它的最小項之和的非乘之，其邏輯功能不變。輸入只有原變量沒有反變量的邏輯函數(shù)化簡編輯pptC、擴大禁止范圍，減少輸入因子輸入只有原變量沒有反變量的邏輯函數(shù)化簡編輯ppt一、將函數(shù)化簡