沙堆模型綜述

1、沙堆模型綜述Document number: WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GTSandpile模型綜述摘要:本文主要介紹了 Repast仿真工具、論述了基于Repast建立的 Sandpile仿真模型的原理以及對該模型在核裂變學(xué)科研究領(lǐng)域的典型應(yīng)用進行 了闡述。關(guān)建字:Sandpile ；repast ； 地震；電力系統(tǒng)；水華暴發(fā)水污染一、Repast仿真工具簡介Repast(RecurslvePorousAgentSimulationToolkit)是芝加哥大學(xué)社會科學(xué) 計算研究中心研制的多主體建模工具，它提供了一系列用以生成、運行、顯示 和收集數(shù)據(jù)的類庫，并能對運

2、行中的模型進行“快照”，記錄某一時刻模型的當 前狀態(tài)，還可以生成模型運行過程中狀態(tài)動態(tài)演化的視頻資料。Repast項目擬訂了三個設(shè)計目標：使用方便、容易學(xué)習(xí)和容易擴展。設(shè)計 者通過讓模擬軟件的底層結(jié)構(gòu)具備抽象性、可擴展性以及“良好”的表現(xiàn)來實現(xiàn) 這些目標。抽象性RePast的設(shè)計借鑒了很多別的主體建模軟件，汲取了各個軟件中最優(yōu)秀的 設(shè)計思想。類庫設(shè)計時充分應(yīng)用了面向?qū)ο蠛驮O(shè)計模式的思想，因此RePast的 整個類庫的結(jié)構(gòu)非常明晰優(yōu)美。類庫提供了普通常用的底層抽象庫(如安排時 序、顯示、數(shù)據(jù)收集等類庫)，類庫還提供了一些用以建立表層元素的常用 類。這些類可直接使用，也可以根據(jù)需要繼承和擴展。與S

3、warm 一樣，Repast 還設(shè)計了一些關(guān)鍵的抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其中一些結(jié)構(gòu)直接模仿了 Swarm，如時序 表等?？蓴U展性關(guān)鍵數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的抽象設(shè)計讓Repast具備了可擴展的能力。為了充分從Swarm的抽象結(jié)構(gòu)中獲得方便，Repast繼承了 Swarm時間測試 的設(shè)計方法，這對于提高其擴展性十分有利。此外，Repast還引人了設(shè)計模式 中的一些經(jīng)典抽象結(jié)構(gòu)，使得其擴展性得到進一步的提高。如用設(shè)計模式中的 綜合模式實現(xiàn)時序的安排機制（時序表對象和各種行為類），由于這種綜合模 式允許終端用戶在建模編程時，能夠?qū)为毿袨楹蛷?fù)合行為進行統(tǒng)一編碼處 理，因此模型中的時序安排機制便變得很清晰直觀，且易于擴展。

4、“良好”的表現(xiàn)能力表現(xiàn)能力是指應(yīng)用該平臺建立應(yīng)用研究模型時，該平臺能否有效地適用于實 際應(yīng)用領(lǐng)域；如能否有效地用平臺的開發(fā)接口把問題表述成計算機模型，模型 能否在可承受的效率開銷下運行，等等?！傲己玫谋憩F(xiàn)能力是指：在不影響別 的優(yōu)越特性前提下，可接受的表現(xiàn)能力。當表現(xiàn)能力的最優(yōu)化不是設(shè)計的主要 目標時，設(shè)計者的注意力應(yīng)集中在如何減少對象的生成開銷，以達到一種能夠 接受的運行速度。Repast可以算得上比較好地完成了這一目標，甚至有所超 越，相比其他模擬軟件平臺，Repast提供了更好的表現(xiàn)能力。此外，隨著Java 虛擬機性能的提高，Repast模型的速度也會得到改善。二、基于Repast的Sa

5、ndpile模型的構(gòu)建原理這個模型闡述了一個被稱為自組織臨界性的現(xiàn)象。在一個空間有一些現(xiàn)成 的沙堆，該空間的頂部有一個不斷向下漏沙的沙棧。通常情況下一堆沙如果堆 得太高他會“沙崩”，頂部的沙將平均的流向這堆沙的四周，而這些流下來的沙 又會影響其它本來穩(wěn)定的沙，局部會引起連鎖的反應(yīng)，這種現(xiàn)象可稱為“坍 塌”。我們可以根據(jù)某一個沙崩影響沙粒的多少來定義一個沙崩的大小。當你不 斷的向這個“沙堆”加入沙粒，取決于沙堆的狀態(tài)和沙粒添加的位置，會不斷的 會產(chǎn)生“沙崩”，大的，小的不停的演化，如下圖所示。圖1沙堆模擬仿真圖每一次沙崩的大小都不一樣，它的大小取決當前沙堆的穩(wěn)定情況，有時一些沙粒掉下該沙堆仍然穩(wěn)

6、定，并沒有發(fā)生沙崩現(xiàn)象。發(fā)生沙崩的大小規(guī)率如下圖所示。圖1雙對數(shù)坐標下沙堆崩塌分布曲線沙堆模型在模擬具有自組織臨界特征的系統(tǒng)時，可以產(chǎn)生一個長時間序列 的崩塌數(shù)據(jù)，這個序列的數(shù)據(jù)是長程時間內(nèi)的仿真結(jié)果。沙粒是由外部加入 的，因而沙堆是一個開放的動力系統(tǒng)。在沙堆形成的過程中，會從非臨界態(tài)轉(zhuǎn) 向臨界態(tài)。在非臨界態(tài)下遵守的是局部的動力學(xué)規(guī)則，在臨界態(tài)下遵守的是整 體動力學(xué)規(guī)則。進行沙堆模型的仿真，能夠觀察沙堆的整體特性，找到影響自 組織臨界性參數(shù)的因素和改變自組織臨界特征的方法，并且把這些方法應(yīng)用到 更廣泛的領(lǐng)域中去。提出過一個經(jīng)典的沙堆模型，把沙堆落在臺面上用一個2 維的格子來代表，每個方格都有一

7、個坐標（x，y），用Z（x，y）表示落在方格中 的沙粒數(shù)量，每一粒沙子都是理想的立方體。隨便選取一個格子，并把那個格 子的高度Z增加1，從而有1粒沙加到方格中，即Z（x，y）=Z（x，y）+1。一旦某 個格子中高度Z超過了 4,那么這個方格就會向附近的4個方格輸送1粒沙子。因而當Z達到4的時候，那個方格的高度就會減少4。每一次倒塌記為一 次崩塌，一個雪崩事故中可能有很多次崩塌，崩塌的次數(shù)記為故障規(guī)模。如果 崩塌發(fā)生在臺子邊緣，則沙子滾落到臺子外面，有Z（x，y）=Z（x，y）-4Z（x1， y）=Z（x1，y）+1Z（x， y1）=Z（x， y1）+1沙堆最理想的臨界態(tài)是所有格子中的高度都為3

8、,但是這種情況不可能出現(xiàn)， 因為在這之前的大雪崩就使沙堆倒塌了。本文建立了一個50 x50的沙堆，通過 仿真發(fā)現(xiàn)，沙堆穩(wěn)定在平均高度2110附近。此時沙堆達到一個高度組織化、高 度敏感的狀態(tài)。統(tǒng)計一段時間沙堆的崩塌次數(shù)發(fā)現(xiàn)，雪崩規(guī)模與頻率滿足冪率 規(guī)律。雙對數(shù)坐標下崩塌與次數(shù)的分布如圖1所示，統(tǒng)計的時間長度是 1500d，分段的統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。表中規(guī)模表示每次雪崩倒塌的沙粒數(shù)量， 對規(guī)模進行分段后統(tǒng)計了雪崩的次數(shù)。故障規(guī) 模/個故障次數(shù)故障規(guī) 模/個故障次數(shù)故障規(guī) 模/個故障次數(shù)11004547001320008200588009300053002990094000140022100096

9、00015002812007600915006注:故障規(guī)模指故障崩塌的沙粒數(shù)量。上述的統(tǒng)計結(jié)果曲線擬合可得：y=*x-112058式中:y為故障發(fā)生次數(shù);x為故障規(guī)模。該模型的應(yīng)用：在地震研究上的應(yīng)用在地震研究領(lǐng)域內(nèi)，有一個很有名的實驗現(xiàn)象規(guī)律叫做Gutenberg-Richter 定律。這個定律描述了在某一個地區(qū)一個較長的時間段內(nèi)不同大小的地震所發(fā) 生的頻率的規(guī)律。隨著觀察水平的提高，這個規(guī)律也一再被后來的科學(xué)家用更 多、更新的數(shù)據(jù)重新發(fā)現(xiàn)。在2002年，Bak統(tǒng)計了在美國加州地區(qū)1984年到 2000年間所發(fā)生地震大小的頻率的規(guī)律。與我們經(jīng)驗相符的是，數(shù)據(jù)表明大地 震很少，小地震很多。但超

10、乎直覺的是，各種大小的地震，從震級為2的小地 震到震級為7的大地震，發(fā)生的次數(shù)與震級大小符合數(shù)學(xué)上的冪律關(guān)系，專業(yè) 描述是地震的發(fā)生次數(shù)隨著其大小按照冪律下降。如果將這些地震的數(shù)據(jù)點畫 在橫軸是震級大小，縱軸是次數(shù)的雙對數(shù)圖上，是一條直線。這是一個很驚人 的發(fā)現(xiàn)，因為地震大小每提高一個里氏級，其釋放的能量增大約30倍。震級為 2的地震與震級為7的地震釋放的能量相差2千5百萬倍，但能量相差如此之 大的地震，其統(tǒng)計數(shù)據(jù)點都奇跡般的落在了 Gutenberg-Richter定律所描述的 直線上，而不是別處。在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用電力系統(tǒng)中發(fā)生的大停電事故往往是由于系統(tǒng)中某一元件的故障導(dǎo)致一 系列其他元件

11、停運，這種連鎖故障蔓延的速度很快，最終導(dǎo)致電力系統(tǒng)大范圍 停電。其原因可能是多方面的，例如:控制措施不當或不及時、電網(wǎng)結(jié)構(gòu)不合 理、繼電保護裝置誤動作等。這類事故的危害引起了廣泛關(guān)注，國內(nèi)外學(xué)者對 這類連鎖故障的機理也進行了深入的研究。電力系統(tǒng)中分析連鎖故障以往采用 還原論，首先建立系統(tǒng)中各個元件的詳細數(shù)學(xué)模型，然后將其組合起來，將系 統(tǒng)描述成巨維的微分代數(shù)方程，通過計算機仿真得到系統(tǒng)的解。隨著電力系統(tǒng) 規(guī)模的擴大，這套方法在計算精度和速度方面的局限性也越來越明顯。因此， 必須有新的系統(tǒng)分析方法來研究電力系統(tǒng)復(fù)雜的動態(tài)行為，特別是在分析系統(tǒng) 連鎖反應(yīng)事故和大停電機理等方面。大規(guī)模停電事故存在復(fù)

12、雜的起因和擴散機 理且具有一定的偶然性，但是電力系統(tǒng)連鎖故障的整體規(guī)律仍然是可以觀測并 利用的。國內(nèi)外學(xué)者應(yīng)用復(fù)雜性理論對電力系統(tǒng)進行分析取得了一些進展，通 過對中國和美國電力系統(tǒng)大停電事故進行統(tǒng)計，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)大停電的規(guī)模與頻 率之間滿足冪率關(guān)系，這種關(guān)系被認為是自組織臨界特性的數(shù)學(xué)表征。國內(nèi)外 學(xué)者提出了一些能描述電力系統(tǒng)自組織臨界性的模型，例如:沙堆模型、直流潮 流模型、最優(yōu)潮流方法(OPA)模型、Cascade模型。在這些模型的仿真中發(fā)現(xiàn)， 連鎖故障發(fā)生的概率與負載率、故障轉(zhuǎn)移量及負載的均勻程度有關(guān)。對連鎖故 障的模擬主要目的是把握其整體規(guī)律，研究并找到控制手段。沙堆模型是連鎖 故障的簡

13、化模型，能反映連鎖故障的規(guī)律及控制措施對系統(tǒng)的影響。抑制連鎖 故障的主要手段有減少危險結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生、阻斷故障傳播路徑和減少故障傳遞 量。在沙堆模型上加入這些控制思想進行仿真，能為找到正確的控制手段提供 支持。沙堆發(fā)生崩塌的規(guī)模與頻率之間滿足冪率關(guān)系，電力系統(tǒng)中故障時負荷損 失量與頻率之間也滿足冪率關(guān)系，這2個參數(shù)在雙對數(shù)坐標下呈現(xiàn)一條直線：lgy=a-blgx式中:y為事故發(fā)生頻率;x為事故發(fā)生規(guī)模;a和b為系數(shù)，且為常數(shù)。電力系統(tǒng)中的連鎖故障與沙堆崩塌相似，一個元件的故障能引發(fā)一系列元 件的故障。從自組織臨界性的角度來看，電力系統(tǒng)中的元件負載總是隨著用戶 負荷的增加而增加，增多的負載增加了系統(tǒng)

14、發(fā)生大型事故的可能性。另一方 面，對停電事故電網(wǎng)的改進減少了系統(tǒng)發(fā)生大型事故的可能，例如電網(wǎng)調(diào)度運 行時增加備用、電網(wǎng)設(shè)計中增加輸電線路和電廠。這2方面驅(qū)使電力系統(tǒng)在經(jīng)濟 性與安全性之間達到一個動態(tài)的平衡，這就使電力系統(tǒng)長期運行在臨界態(tài)下或 者接近臨界態(tài)。因此，電力系統(tǒng)的故障規(guī)模與頻率在長程時間下表現(xiàn)出冪率規(guī) 律。在水華暴發(fā)水污染中的應(yīng)用水華暴發(fā)，即所謂“藻類瘋長反映出藻類生長/消亡行為與營養(yǎng)物濃度、水 文情勢和氣候條件等因素相互促進、相互約束和相互反饋的復(fù)雜過程，其動力 學(xué)行為通常采用非線性方程描述。當污染水域處于臨界狀態(tài)時，外界的細微擾 動，諸如營養(yǎng)鹽濃度、流速、溫度和氣候等因素的輕微波動

15、都可能放大而導(dǎo)致 不同規(guī)模的水華暴發(fā)，其表現(xiàn)為藻類突然大量攝人氮磷等營養(yǎng)物而引發(fā)藻類大 面積增殖。水華暴發(fā)在表觀上是一種典型的水體富營養(yǎng)化污染現(xiàn)象，實質(zhì)上是 一種非線性耗散動力學(xué)行為.目前有關(guān)水華暴發(fā)的研究大多以微分方程為主要 分析工具，以水動力學(xué)三維數(shù)值計算結(jié)合水體生物動力學(xué)模型來模擬和解釋水 華現(xiàn)象。這種方法有一定適用性，但參數(shù)值較多、求解較為繁瑣且通常難以揭 示水華暴發(fā)的內(nèi)在本質(zhì)和復(fù)雜性規(guī)律.自組織臨界性（self . Organizedcriticality，簡稱SOC）理論是非線性系統(tǒng) 科學(xué)的分支，為解釋表觀無序的非線復(fù)雜系統(tǒng)行為和特征提供了新思路.SOC 系統(tǒng)中包含著眾多發(fā)生短程相

16、互作用的組元，并自發(fā)地朝著某種臨界狀態(tài)演 化，然后在臨界態(tài)附近自行漲落.在該臨界狀態(tài)下小事件引起的連鎖反應(yīng)能對 系統(tǒng)中大量的組元產(chǎn)生影響，從而導(dǎo)致大規(guī)模事件發(fā)生.描述系統(tǒng)SOC性質(zhì)的 典型范例是著名的沙堆模型（sandpileModel，簡稱sM） . sM可看成是一個具有 局部相互作用和廣延自由度的耗散動力系統(tǒng).沙堆在生長/崩塌過程中以統(tǒng)計 方式表現(xiàn)系統(tǒng)自組織臨界性的基本特征，但重要的是它與自然界中諸多具有自 組織臨界性行為的現(xiàn)象存在明顯的對映、相似甚至一致的關(guān)聯(lián)性.SM具有廣泛 的普適性，能夠應(yīng)用并推廣到復(fù)雜的SOC系統(tǒng)，這就為從宏觀上研究富營養(yǎng)污 染流域的水華演變（沙堆形成）、持續(xù)（臨界

17、狀態(tài)）、水華爆發(fā)（沙堆崩塌）、水華 消退（沙堆重構(gòu)）和分布（局部耗散）本質(zhì)提供了理論依據(jù). sM是目前研究多變量 協(xié)同作用和自組織臨界性的強非線性動力學(xué)系統(tǒng)全局性問題（恰好可對應(yīng)于富營 養(yǎng)化通向水華狀態(tài)時如何演化、如何暴發(fā)與如何消退全過程的關(guān)鍵問題）最成功 的方法之一.其實現(xiàn)方式是通過構(gòu)建數(shù)值sM,以非線性關(guān)聯(lián)迭代算法來表征演 化過程，實質(zhì)上是借助于沙堆崩塌的概念來描述富營養(yǎng)水體中氮磷向水華形態(tài) 轉(zhuǎn)移的耗散過程以及水華暴發(fā)的自組織臨界性.而藻類大量攝入氮磷的生長過 程又可為SM解釋流域水華暴發(fā)現(xiàn)象提供必要的生物化學(xué)細節(jié)，這就在微觀層次 上將sM與水華暴發(fā)聯(lián)系起來。結(jié)語沙堆模型的應(yīng)用非常廣范，它是描述自組織臨界性原理的一個很好的模 型，而自組織臨界性又與許多工程實際問題相關(guān)，故它在生態(tài)、物理、地理、 氣候等方面有很大的應(yīng)用。參考文獻賀慶,郭劍波.基于沙堆模型的控制規(guī)則J,2009