高中數(shù)學(xué)一題多變一題多解特訓(xùn)十四

1、問(wèn)題2X1:設(shè)橢圓C : 2十a(chǎn)一題多變一題多解（十四）談?wù)剤A錐曲線中的變式題2y 2 = 1 (ab 0 記點(diǎn) M (J2i),且左焦點(diǎn)為 F ( 0),當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(m,n)(其中n2豐2pm)的動(dòng)直線l與拋物線C相交于兩不同點(diǎn)A,B,在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足|aP| .|qB =|AQ 憎證明：點(diǎn)Q在定直線ny = p(x+m)上.證明：設(shè)直線x m =k(y n),代入拋物線方程，得：y2 2pky+2pkn _2Pm = 0設(shè) A(Xi,w )B(x2, y2 ),彳導(dǎo) y1 +y2 =2pk,yy2 =2pkn-2pm現(xiàn)設(shè)Q(x0,y0 ),由條件|Ap| Qb| =|AQ 幗知,P點(diǎn)

2、在線段AB外,不失一般性，在圖象中,從左到右這四個(gè)字母的順序是A,Q,B,P,故由三角形的相似得:APAQ-BP n - Y1n - y2即:QBy0 - y1n y0 y y2 -2y1y2 -2ny0 = 0現(xiàn)韋達(dá)定理代入y。2n2 pm二 n kp -n2,n -2pm x0 = m k -kp - n2n - pmp3n - pmnmnpkp - ny。-n2n -2 pm23n - pm n - pmnx0 - mn,化簡(jiǎn)得：ny0 = p(x0 m)二點(diǎn)Q(X0, y0勝直線ny = p(x +m)上，得證.問(wèn)題2:(同問(wèn)題1)2 X變1：已知定點(diǎn)P(m,n)和橢圓C :, a2+

3、 4=1,直線PM ,PN分別與橢圓相切于點(diǎn) M , N ,直線 b2PABW橢圓相交于A B兩點(diǎn)，Q在線段AB上，若滿足網(wǎng)快=網(wǎng)PB ,則點(diǎn)Q在定直線MN上.證明：由問(wèn)題2的變1的結(jié)論，只需證:切點(diǎn) M N在定直線萼+粵=1上.a2b2先在橢圓方程里對(duì) X求導(dǎo)，得： 當(dāng)+?)=0(呻) a b設(shè)切點(diǎn)M (N)的坐標(biāo)是(, y ),代入度，得考十學(xué)近=0a b Xo - m化簡(jiǎn)，得b2mx0a2ny0;b2x2a2y2=a2b2mx0y0=1a bmx ny二切點(diǎn)M N在定直線十當(dāng)=1上.得證.a b變2：已知定點(diǎn)P(m,n)和拋物線C： y2 =2px(p 0),直線PM , PN分別與拋物

4、線相切于點(diǎn)M,N ,直線PABW拋物線相交于 A, B兩點(diǎn)，Q在線段AB上，若滿足 AP 1國(guó)=| aQ |PB ,則 點(diǎn)Q在定直線MN.證明：由問(wèn)題2的變3的結(jié)論，只需證：切點(diǎn) M N在定直線ny=p(x + m)上.先在拋物線方程里對(duì) x求導(dǎo)，得:2y,y = 2p代)v n設(shè)切點(diǎn)M (N)的坐標(biāo)是(Xo，Vo )，代入(* )式，得Vo =P Xo -m化簡(jiǎn)，得 ny0 = p(x0 - m)二切點(diǎn) M N在定直線ny = p(x + m)上.22問(wèn)題3：橢圓 +彳=1(a b 0)左右焦點(diǎn)是Fi,F2,拋物線y2 2x v 變1:設(shè)拋物線y2 =2px(p 0)和橢圓 二十 q=1(a

5、AbA0)的公共焦點(diǎn)為F (c,0), a b E(-c,0)是橢圓的左焦點(diǎn)，P是兩曲線的交點(diǎn)，橢圓的離心率是e,NEPF =B,APEF的面積是S,=4x的焦點(diǎn)也是F2 ,點(diǎn)M是 a b 、，一5兩曲線在第一象限的父點(diǎn)，且mf2 =,求橢圓方程.3解答：由共焦點(diǎn)知：橢圓中的 c=1 ;又拋物線的準(zhǔn)線必過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以MF2 =xM +1二 xm =2, Vm =J,所以 MFi| = J8 十型=則:, 2a = MFi| +IMF2 =4 TOC o 1-5 h z 3、3、39322a=2 b2=4T=3 Xy =1432(a -c) . ac1 -e (1)Xp = a 1 e2b

6、c . ac2c . ac(2)S =；(3) tan -=a c2 b(a c)(4) PFaJ(e 1)2y = 4cx TOC o 1-5 h z 證明：(1)由共焦點(diǎn)知，p = 2c,. y2 = 2px = 4cx ,聯(lián)立x2y2，得:2 J =1a b= 4a2(a2 +c2 2a2 -c2 x2 4ca2x-a2(a2 _ c2) =02 42/222：=16c a 4a (a -c )2_2222-4ca 2a ac i ia-c i1-e1 -e2一2二a_2-二a2-二a 2(a -c )a-c1-e1 eypa -c 2i2(a - c). acb1 .=2 2c yp2

7、bc.aca -c 2a -ca2 -c2=c , 4c a -= 2c. ac2c. ac a2 -c2. a c : (a c)22bc ac(3)設(shè)PE=m, PF又由余弦定理， cos -1 mn222n -(2c)2mn1 一 mn22 一 2 一_ (m n) -(2c) -2mn2mnmne tan二 2sin 二cosu 12c ac b(a c)PFa -c22a -c3 c 222a - 2a c ac a c - c22(a c )(a - c)c2I,1變2:設(shè)拋物線2xy = 2 px( p 0)和雙曲線 ab2= 1(a a b 0)的公共焦點(diǎn)為F (c,0),E(

8、-c,0)是雙曲線的左焦點(diǎn)，P是兩曲線的交點(diǎn)，雙曲線的離心率是e,ZEPF =6,APEF的面積是S,則:e 1(1)xp = a -e -12(a c) . ac(2)S二些空 c - a;(3) cot =22c . acb(c -a)(4) PF2二 a2(e-1)證明：(1)由共焦點(diǎn)知,p=2c,. y2 =2px=4cx,聯(lián)立2 y 2 x4cxa2b2c2 -a2 x2 -4ca2x -2/22、a (c -a ) = 02 42,22、22 22：=16c a 4a (a -c ) =4a a c4ca2 2a a2 c2xp2(c2 - a2)1r y p4c a一 a _22

9、 _ a 2-c - a e -12(a c)、acae -11 S=a 2c yp(a + cf=2c acc a2bc acc ac-a2bc ac設(shè) PE =m, PF=n，則2 .又由余弦定理， cos -=-22一 (2c)2mn4bc . ace cot 2sin -c -a2c. ac1 - cos-2b2b(c - a)PF =xp +c =(a +c 21 mn21 mn22(m - n)_2_一(2c) 2mn2mn3.2,2.3a a c ac cmnc2c -ae-1變3:設(shè)橢圓2 xa1bi= 1(a1 b1 a 0)和雙曲線2 xa2b2=1的公共焦點(diǎn)為E(-c,0

10、),F(c,0),(c0), P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，/EPF =e$PEF的面積為S,證明:(1)xpaa2bib2e;(2)S =b1b2;(3)tan二2Jbi(4)maxpE, PF a1+ a2,minPE, PF 證明：(1)由共焦點(diǎn)知:222a -bj nc聯(lián)立方程組:兩式相加，得:所以：x2fx22 a12 x2a22 X b122 y_ b2二1a2x222a1 a2b2b；2a2a；E 2 二x a1 b222 x a2y2=b2二 b； b；22二a1 一 a222 2-a2 a1 a2bja；a12 b222a a2a2 -af a2 -bfc2xp同理可證:,，r1(2

11、)由(1)，得：S =22c yp=b1b2設(shè) PE = m, PF又由余弦定理，cos -etan=2sin -222 2a1 -a2 a1a2bja； - a12 a2 - a； - b12a=n，由(2) ： S = b1b2222m n (2c)2b1b2cos - 12b|2(4)由橢圓和雙曲線的第一定義,2mnb1分別得:1 CRT=一 mnsin 22_22(m n) - (2c) - 2mn 2bl.=-12mnmnPE + PF= 2aPE -PF =2a2max所以：|PE , PF =mininPE, PF =2al 2a2二a1 a2,22al - 2a2二 ai -

12、a22問(wèn)題4 ：設(shè)點(diǎn)P在直線x = m(y # m,0 m 1)上，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線x2y2=1的兩條切線PA, PB ,切點(diǎn)分別為 A, B ,定點(diǎn)M求證:A, M ,B三點(diǎn)共線.證明：設(shè)P(m,n),(這里m是定值，n是變量)切點(diǎn) A(x1, y1 , B(x2, y2 )對(duì)雙曲線兩邊求導(dǎo)，得：2x_2y.y. = 0V1 -nA點(diǎn)代入，得：2xi -2yi =0,化簡(jiǎn)，得：mxi-nyi-1 = 0 x1 m同理，B點(diǎn)代入，得：mx2 ny2 -1=01即A, B所在直線為： mx ny _1 = 0令y = 0 ,則x = m,0 j也在直線mAB上，所以A,M ,B三點(diǎn)共線.2 x變1

13、:已知雙曲線 2 a，2 =1及定點(diǎn)M b2m22變2：已知x2 + y2 =1及定點(diǎn)Ma bc 、b . b,0 ,過(guò)直線 x = m y # 一 m,0 m 0)及定點(diǎn)M (m,0),過(guò)直線x = -m(m 0)上任一點(diǎn)P作拋物線 的兩條切線，切點(diǎn)為 A,B ,求證：A,M ,B三點(diǎn)共線.證明：對(duì)y2 =2px兩邊求導(dǎo)，y，y=p卜）設(shè)A（xi,y12僅2,丫2 ）, P（-m,n）（這里m是定值，n是變量）P, A代入（*），得：y1 _n =p ,即:y2 ny1 = px1 +mp 所以：px1ny1=mp x1 m同理，P, B代入（* ）,彳導(dǎo)px2 -ny2 = mp所以A,

14、B所在直線方程為 px ny = mp ,令y = 0 ,得x = m即點(diǎn)M （m,0位直線AB上.問(wèn)題5：過(guò)定點(diǎn)M ,0 i(0m1)的直線交雙曲線 x2 y2=1于A, B兩點(diǎn)，過(guò)A, B兩點(diǎn)分別作 m雙曲線的兩條切線，交于點(diǎn)P ,求證：點(diǎn)P在直線x = m上.證明：設(shè) P(a,b),切點(diǎn) A(x1, y1 )B(x2,y2)對(duì)雙曲線兩邊求導(dǎo)，得：2x -2y y: -0_yb_A點(diǎn)代入，得：2xi -2yi yi =0,化簡(jiǎn)，得:axi by 1=0 x1 一a同理，B點(diǎn)代入，得：ax2 -by2 一1 =0即A,B所在直線為：ax by 1=0因?yàn)槎c(diǎn)MiL,0 在直線AB上，得到：a

15、 = m m所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,b),即點(diǎn)P在直線x = m上 TOC o 1-5 h z 222 2變1：已知雙曲線x2 y2 =1及定點(diǎn)M ,0 (0ma ),過(guò)點(diǎn)M的直線交橢圓于 A, B兩點(diǎn)，過(guò)A,a b0)及定點(diǎn)M (m,0 ) (m0),過(guò)M的直線交拋物線于 A, B兩點(diǎn)，過(guò)A, B作拋物線的兩條切線，交于點(diǎn)P,求證：P在直線x = -m上2證明：對(duì)y =2px兩邊求導(dǎo)，y y = p )設(shè) A(xi,yi 汨必土),P(a,b)P, A代入(而)，得：yi，以zb= p,即：y； -byi = p% -ap 所以：p% -byi = -ap x1 - a同理，P, B 代入(*

16、),彳導(dǎo) px2 一by2 = -ap所以A, B所在直線方程為 px - by = -ap因?yàn)槎c(diǎn)M (m,0庵直線AB上，所以：pm = ap,所以：a =m所以P(-m,b )在直線x = m上22問(wèn)題6：橢圓C : x2 +=1( a b 0的一個(gè)焦點(diǎn)為F (1,0),且過(guò)點(diǎn)(2,0 ).(1)求橢圓C的方程； a b(2)若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l : X = 4與x軸交于點(diǎn)N,直線AF與BN交于點(diǎn)M,求證點(diǎn)M恒在橢圓C上. TOC o 1-5 h z 22證明：(1)橢圓C的方程：2+)一=1 (過(guò)程略)43(2)當(dāng)AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，易證?，F(xiàn)證 AB不過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)的情形：22設(shè)

17、A(X0, V。),則 B(X0,-y0 ),且有 x0一 + =143所以：kAF直線 AF :x = x0二1-y+1X0 -1ykBN = 7，X0 -4Xc 4直線 BN :x = 0 y 4一 y0 x聯(lián)立，解得：5x0 - 82x0 - 5 ,即 M3 y 02 x 0 - 55x0 - 8 3y0 , 、2x0 -5 2x0 -5所以:25x0 -82x0 -5 ,2+ 4上、2xo 5 ,_2_ _275x0 -240 x0 192 9 4y02xo -52 一 一一一一 一22 一 一一一一75x0 -240 x0 192 912-3x048x2-2405 300=z n=

18、z n2x0 -5 )I. 2x0 512 2x0 -5 2二2二 122x0 -5即點(diǎn)M恒在橢圓C上.22變1：橢圓C：x2 +y2 =1(a b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0 ),其中c2 = a2b2, 一條準(zhǔn)線: a b2ax =交x軸于點(diǎn)N （稱它為準(zhǔn)點(diǎn)），若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，求證：直線 AF與BN的交點(diǎn)M必C在橢圓C上.22變2：雙曲線c :1 =1的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c,0）,其中c2=a2+b2, 一條準(zhǔn)線： a b2ax =交x軸于點(diǎn)N （稱它為準(zhǔn)點(diǎn)），若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，求證：直線 AF與BN的交點(diǎn)M必cmx2 + ny2 = 1 ( m 0 ,且在雙曲線C上.證明：

19、這兩個(gè)命題可以一起證。統(tǒng)一設(shè)橢圓和雙曲線的方程為一 ._ .211. . a 1n #0,且當(dāng) n 0時(shí)，m -c Icm )即為點(diǎn)M的坐標(biāo)12 x。- c -cm所以：mxM2nyM2mx。2 2mc x。 c m2x。- c -4 c 22x。 m“2L、l_ cmcmX0CX02ny。1 1-c I0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)N （準(zhǔn)點(diǎn)），若AB為垂直于x軸的一條動(dòng)弦，求證：直線 AF與BN的交點(diǎn)M必在拋物線C上.證明：當(dāng)AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，易證?，F(xiàn)證 AB不過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)的情形:設(shè) A僅0, y。），貝u B（x。，y。）,且有 y。=2px。x。E.y。2兩式聯(lián)立，得:44xoy2xo即為

20、點(diǎn)M的坐標(biāo) TOC o 1-5 h z 2 232320 p y02P p 2pxo 2p 0y m - 2 pxM -2 -2-04xo4xo4xo4xo即點(diǎn)M在拋物線C上，得證.22問(wèn)題7:已知橢圓方程 +L=1, F(1,o)N(4,o), M為橢圓上一點(diǎn)，且 MF不垂直x軸，直線 43MF MN別交橢圓于另一點(diǎn) A, B,求證：AB_Lx軸 22證明：設(shè)M(x0,yo ),則有包+ =143所以：kMF =-y ,直線 AF : x=包二1，y+1 xo -1V。22122變1：已知橢圓C：x2 +y2 =1(abA0), F(c,0)N ,0 , M為橢圓上一點(diǎn)，且 MF不垂直x a bc軸，直線MF MN分別交橢圓于另一點(diǎn) A, B,求證：AB_Lx軸22廣2變2：已知雙曲線C ： % =1(a 0,b 0 ), F(c,0)N ,0 , M為雙曲線上一點(diǎn)，且 a bI c ,不垂直x軸，直線MF MN分別交雙曲線于另一點(diǎn) A, B,求證：AB -L x軸證明：這兩個(gè)命題可以一起證。統(tǒng)一設(shè)橢圓和雙曲線的方程為代入橢圓 二十匕=1,得：3 x0-11 y+1 +4y2 =1243Vo門口3(x 1 ) I 2x0 1即： 0 2，+4 y +6 y9=0Vo_yo由韋達(dá)定理，得:Va-9y0_- 9yo_ - 9yo _ 3yo3x0 -1 2