大學微積分的入門

1、大學微積分的入門abxyo實例1 （求曲邊梯形的面積）一、問題的提出abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個小矩形）（九個小矩形）曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為實例2 （求變速直線運動的路程）思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值二、定積分的定義定義被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和注意：定理1定理2三、存在定理曲邊梯形的面

2、積曲邊梯形的面積的負值四、定積分的幾何意義幾何意義：例1 利用定義計算定積分解五、定積分 的性質(zhì)證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1證性質(zhì)2補充：不論 的相對位置如何, 上式總成立.例 若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3證性質(zhì)4性質(zhì)5解令于是可以直接作出答案性質(zhì)5的推論：證（1）證說明： 可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)6曲邊梯形的面積 夾在兩個矩形之間解例2 不計算定積分 估計 的大小證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（Th5.1 定積分第一中值定理）積分中值公式使即積分中值公式的幾何解釋：Th5.2(推廣的積分第一中值

3、定理）考察定積分記積分上限函數(shù)六、積分上限函數(shù)及其導數(shù)證由積分中值定理得計算下列導數(shù)補充證例1 求解分析：這是 型不定式，應用洛必達法則.定理2（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.定理 3（微積分基本公式）證七 牛頓萊布尼茨公式令令牛頓萊布尼茨公式微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.例4 求 原式例5 設 , 求 . 解解例6 求 解由圖形可知則有1. 微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓 萊布尼茨公式定理八、換元公式證應用換元公式時應注意:（1）（2）例1 計算例2 計算例1

4、計算解湊微分是第一類換元積分法，特點是不要明顯地換元，也就不要更換積分的上下限。例2 計算解原式例3 計算解三角代換和根式代換例4 計算解令原式明顯換元證奇函數(shù)例6 計算解原式偶函數(shù)單位圓的面積總結(jié)： 1、定積分公式2、定積分計算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換）3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限4、 介紹了積分上限函數(shù)5、積分上限函數(shù)是原函數(shù)6、計算上限函數(shù)的導數(shù)證（1）設（2） 由此計算設定積分的分部積分公式推導九、分部積分公式例 計算解例2 計算解令則例3 計算解例4 計算例5 計算解第四節(jié) 廣義積分一、無窮限的廣義積分例1 計算廣義積分解簡記為例1 計算廣義積

5、分解證回顧曲邊梯形求面積的問題第五節(jié)、定積分應用abxyo1、幾何上的應用面積abxyo面積元素一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形設曲線與直線及 x 軸所圍曲則邊梯形面積為 A ,右圖所示圖形，面積元素為曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積c有時也會選 y 為積分變量解（1）作圖（2）求出兩曲線的交點（3） 選 為積分變量（4）代公式解兩曲線的交點選 為積分變量解題步驟：(2) 求出交點；(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區(qū)間，計算。(1) 畫出草圖；例3. 求橢圓解: 利用對稱性 , 所圍圖形的面積 . 有利用橢圓的參數(shù)方程應用定積分換元法得當 a = b 時得圓面積公式二、立體體積設所給立體垂

6、直于x 軸的截面面積為A(x), 則對應于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),1. 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積例1. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?提示: 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺旋轉(zhuǎn)體的體積當考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2. 旋轉(zhuǎn)體的體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為例1. 計算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而