插值與擬合課件

1、 第3章 插值與擬合方法 隨著社會的進步和收入水平的提高，汽車進入家庭已不再是奢望。但伴隨而來的就是交通安全?！罢鋹凵?，安全出行”，并不僅僅是個口號，它關系到每個駕駛員的安全，也關系到每個駕駛員所在家庭的幸福和安定。駕駛時，車速過快、與前車距離過近，以致來不及剎車或制動距離不足，是造成絕大部分交通事故的主要原因。 統(tǒng)計上，剎車距離由反應距離和制動距離兩部分組成，即 剎車距離為反應距離與制動距離之和。前者指從司機發(fā)現問題決定剎車到制動器開始起作用汽車行駛的距離，后者指從制動器開始起作用到汽車完全停止行駛的距離.第1頁，共61頁。為了了解剎車距離與車速的關系，美國交通部門進行了一系列剎車實驗，實

2、驗結果見表3-1所示。 問若車速分別為37、72英里/小時(分別約 60、115 Km/h)，問剎車距離是多少？保持多大車距才是安全的？第2頁，共61頁。 顯然，實際觀測沒有針對這兩個點的觀測結果，這就需要我們根據已有的觀測數據進行估算。進一步地，若要估算車速在區(qū)間20,80（英里/小時）內任意一點的反應距離、制動距離和剎車距離，應如何估算。 處理此類問題，插值方法與數據擬合方法是兩類常見的建模方法第3頁，共61頁。3.1 插值法3.1.1 問題的提出插值問題的一般描述：若已知函數 （通常為未知）在給定的 個互不相同的觀測點 上的函數值（通常為實驗或觀測值） ，希望尋求某一近似函數 , 使?jié)M足

3、 （3.1）則我們稱此類問題為插值問題，近似函數 稱為插值函數，觀測點稱為插值節(jié)點，式（3.1）稱為插值條件，若令 , 則a,b稱為插值區(qū)間。若 已找到，則在任一點 （ ） 上的函數值 就可以由其插值函數 近似估計。 第4頁，共61頁。那么應該如何構造插值函數呢？從中學的解析幾何知識，我們知道：給定平面上兩個互不相同的點可以確定一條直線，給定三個互不相同的點可以確定一條拋物線多項式，依此類推。這啟示我們用多項式作為插值函數是一個很好的選擇。事實上，多項式插值由于其易求導、求積分和足夠的光滑性，在很多領域都有廣泛的應用。設 是 個互不相同的觀測點，要求一個次數不超過 的代數多項式 （3.2）使其

4、在插值節(jié)點上，滿足 （3.3）則此類插值問題稱為代數插值問題，稱 為 次插值多項式。第5頁，共61頁。3.1.2 插值多項式的求法1 一般方法線性插值：給定兩個互不相同的觀測點 和 , 求一線性多項式使其通過這兩個觀測點，即 。顯然 是平面上的一條直線，其表達式可采用兩點式或點斜式直接給出，即 （3.4）當然，也可以利用代數方程組的方法求出待定參數 . 由插值條件， 通過這兩個觀測點，故有 解此線性方程組，可采用消元法，也可以采用矩陣方法直接求解. 詳見3.1.3.第6頁，共61頁。二次插值：給定三個互不相同的觀測點， , 和 ，求一個次數不超過2次的多項式 使其通過這三個觀測點。求解方法與線

5、性插值完全類似，此處不再累述。二次插值又稱拋物型插值。 次插值多項式：當 大于或等于2時，采用上述方法無法直接給出多項式的表達式，需要求解線性方程組。對 次插值多項式的確定，由于多項式中含有 +1 個待定系數，通常需要給定 +1個互不相同的觀測點，由此可建立 +1元線性方程組，如下式： （3.5）直接解此線性方程組，通常比較麻煩，可通過數學軟件(如Matlab)求解。第7頁，共61頁。3.1.3 Lagrange多項式插值方法線性插值：任給兩個互不相同的觀測點，求一個線性次多項式，使其滿足插值條件。線性插值多項式可直接給出，如(3.4)式，但為了引出Lagrange插值多項式的構造思想，我們把

6、它重新組合 合并前兩項，整理后得 （3.6）令則線性插值多項式可重寫為 （3.7）注意到 都是線性多項式，二者的線性組合仍然至多是線性多項式?？梢则炞C，由（3.7）定義的線性插值多項式一定滿足插值條件，即 。且有 稱 為分別對應于插值節(jié)點 的Lagrange線性插值基函數。第8頁，共61頁。拋物型插值：給定三個互不相同的觀測點， , 和 ，求一個次數不超過2次的多項式 ，使其滿足插值條件：受Lagrange 線性插值構造思想啟發(fā)，我們類似地構造對應于插值節(jié)點 的二次插值基函數 ，使其滿足首先確定 , 由于是二次多項式，且 ,則易知 是二次多項式 的根，因此其表達式一定可寫為的形式，其中 為待定

7、系數。又由 , 代入上式得于是，可得第9頁，共61頁。類似地，可得進而，Lagrange二次插值（拋物型）多項式可表述為 （3.8）且也可以很容易地驗證上式滿足所要求的插值條件。 利用構造插值基函數的思想，可非常方便地給出 次Lagrange插值多項式的表達式，有興趣的同學不妨試一下。理論上，只要給出足夠多的觀測點，就可以構造任意次插值多項式，但高次插值多項式存在著不可控制的數值震蕩現象，在實際問題建模中一般不推薦使用。第10頁，共61頁。分段低次多項式插值方法：在實際問題觀測中，一般會得到很多個觀測點的觀測結果，采用插值方法近似時，一般采取分段插值的方法?；舅枷胧牵海?）把插值區(qū)間劃分成若

8、干個小區(qū)間；（2）在每一小區(qū)間上用低次多項式進行插值；（3）在整個插值區(qū)間上就得到一個分段插值函數.第11頁，共61頁。假定給出 個互不相同的觀測點 , 不妨設分段線性插值：把相鄰兩個插值節(jié)點作為一個插值子區(qū)間 , 則插值區(qū)間被劃分為 個子區(qū)間，連接相鄰兩點 得 條線段, 這些線段組成一條折線, 這條折線就是我們構造的分段線性插值函數，記為 ，它具有如下特點。（1）在整個插值區(qū)間上， 連續(xù) ,但在插值節(jié)點上不可導；（2）在第 個子區(qū)間 上， 的表達式為第12頁，共61頁。分段二次插值：若 , 把相鄰三個插值節(jié)點組成一個插值子區(qū)間 ，則整個插值區(qū)間 被劃分為 個子區(qū)間。在第 個子區(qū)間上 ，共有三

9、個插值節(jié)點 ， 為一二次插值多項式，表達式為例1 已知某函數的函數表如下： 用線性插值法估算 的近似值.第13頁，共61頁。解：由于 在插值節(jié)點 之間，故依此二點構造Lagrange線性插值多項式，并代入 得即 的近似估計值為2.4414.例2 已知觀測數據如表3-3所示 試用二次插值方法求 處的插值.第14頁，共61頁。解： 取包含 的三個觀測點 作為插值節(jié)點，作二次插值，并令 ,由(3.8)式，可得 =1.8903第15頁，共61頁。3.2 曲線擬合3.2.1 問題提出 利用插值方法求多項式函數作為未知函數的近似時，要求 1、所有插值節(jié)點互不相同，否則不可解； 2、近似函數曲線必須通過所有

10、觀測點。 在實際觀測或實驗中，一般存在以下問題 1、為了得到更加準確、合理的觀測結果，經常進行多次重復觀測，插值節(jié)點互不相同的要求已不成立； 2、由于在觀測過程中，常存在許多隨機因素，如身高、體重的測量，受測量設備精度、發(fā)型、服裝、站立方式等影響，測量結果不可避免地存在誤差，甚至由于某些因素，誤差很大。因此在考慮觀測誤差的因素下，要求近似函數曲線一定通過觀測點已顯得沒有必要。 因此，只要要求近似函數在觀測點上近似地滿足插值條件，并使它們的整體誤差最小就可以了。第16頁，共61頁。3.2.2 基本概念 給定函數 (未知)在觀測點 上的觀測值 ，尋求一近似函數(擬合曲線) ，使在所有觀測點上，觀測

11、值與近似函數的計算值之間的誤差 總體上盡可能接近零，即要求 盡可能反映給定數據點的總體趨勢，這就是函數逼近法，也稱為曲線擬合法， 稱為逼近函數或擬合函數，曲線 稱為擬合曲線. 擬合函數的選擇范圍很廣，如多項式，有理函數、指數函數、對數函數、三角多項式等，但具體選擇何種函數，應綜合多方面因素斟酌確定。比較簡單和直觀的方法是通過繪制觀測點的散點圖，進行觀察、比較、猜測，然后根據觀測結果和誤差分析加以確定。第17頁，共61頁。3.2.3 最小二乘擬合方法 判斷擬合曲線 盡可能逼近給定數據點 的標準有很多，如使最大偏差達到極小，所有偏差的絕對值之和取極小等，但因求解方法上的復雜性，實際使用起來并不方便

12、，實踐中常用的一種曲線擬合方法就是最小二乘擬合方法. 對給定的數據點 ，選取擬合函數 ，使偏差 ， ，的平方和為最小，即： （3.9） 從幾何意義上講，就是求擬合曲線，使在給定的點 處，計算值與實際觀測值的差的平方和最小。這種求近似函數的方法稱為離散數據曲線擬合的最小二乘法，函數 稱為這組數據的最小二乘擬合函數. 擬合程度的好壞，可以通過直接計算誤差平方和的大小來反映。第18頁，共61頁。若擬合函數取為多項式，如取 次多項式 （3.10）則相應的最小二乘擬合問題就變?yōu)椋呵髤?, 使 （3.11）達到極小。由于擬合函數關于待定系數是線性的，故稱該問題為線性最小二乘問題，又由于擬合函數是多項式故

13、也稱多項式擬合問題。 最簡單的多項式擬合是 和 兩種情形，分別稱為一次多項式擬合（直線擬合）和二次多項式擬合（拋物線擬合）。以下就這兩種簡單情形，進行詳細討論。第19頁，共61頁。3.2.4 擬合直線 1數學描述給定一組散點圖呈線性變化的數據 設擬合函數 ，根據最小二乘準則（3.11）知，要求待定系數 ,使達到極小。由多元函數極值定理，一個必要條件是兩個偏導數 等于零，整理得 （3.12）把給定數據 全部帶入，用消去法解方程組得出這就是線性最小二乘擬合的數學表示，方程（3.12）稱為正規(guī)方程.第20頁，共61頁。引入矩陣記號：則正規(guī)方程（3.12）可以表示為 （3.13）正規(guī)方程的矩陣表示可以

14、推廣到 次多項式 的最小二乘擬合中，給定的數據 ，此時的正規(guī)方程用矩陣表示為式（3.13），對應的矩陣為： 第21頁，共61頁。利用正規(guī)方程求擬合多項式的系數，可分為如下幾個步驟1、輸入觀測向量 2、生成超定矩陣G3、求4、計算 5、求解參數向量A。例3 觀察下表數據，根據其分布趨勢，進行曲線擬合，使擬合曲線和下列數據點間的偏差平方和達到最小.第22頁，共61頁。解：首先作出數據的散點圖，如圖3-2 所示根據上圖，數據點近似直線，所以取 作為擬合函數根據正規(guī)方程求解步驟，分別計算如下(1)輸入觀測向量：第23頁，共61頁。 （2）生成超定矩陣G（3）求矩陣的轉置（4）計算系數矩陣與右端向量（5

15、）把正規(guī)方程重新寫成線性方程組的形式求解這個方程組，得 a=1.1, b=1.0. 即.第24頁，共61頁。3.2.5擬合冪曲線1數學描述給定一組散點圖呈冪曲線變化的數據 ，設擬合函數 ， 為固定數，根據最小二乘準則（3.11）知，要極小化 最優(yōu)化的必要條件為導數 等于零，即整理得第25頁，共61頁。于是，最小二乘擬合冪曲線的正規(guī)方程用矩陣表示為 （3.14）其中 ， ,解得 ，其中 是冪指數.例4 觀察下表數據，根據其分布趨勢，進行曲線擬合，使擬合曲線和下列數據點間的偏差平方和達到最小，并預測x=2.25時y的值.第26頁，共61頁。解：首先利用(x,y)作散點圖，如圖3-3 (a) 所示，

16、發(fā)現大概呈二次拋物線形式，為驗證結果，再利用(x2,y)作圖, 如圖3-3 (b) 所示，二者呈良好的直線關系。故可以二次冪函數作為擬合函數。取擬合函數形式為，根據（3.14）式，給出求解過程如下： (a) (b)第27頁，共61頁。（1）輸入并形成觀測向量 (2) 生成超定矩陣G第28頁，共61頁。(3)計算 (4) 求參數a: 將x=2.25，代入 得y=16.1193第29頁，共61頁。3.3利用Matlab求解插值與擬合問題3.3.1 利用Matlab 求解一維插值問題 Matlab用于求解一維插值問題的基本函數為 interp1，給出了四種插值方法供選擇，分別為: 最鄰近點插值（零次

17、多項式插值）、線性插值、三次插值和三次樣條插值，其調用的基本格式為: Interp1(x, y , Cx，Method)其中x, y 分別表示為數據點的橫、縱坐標向量, x 必須單調.Cx 為需要插值的橫坐標數據(或數組), Cx不能超出x的范圍. Method 為可選參數, 對應于上述四種方法, 可從以下四個值中任選一個: nearest -最近鄰點插值 linear -線性插值 spline-三次樣條插值 cubic-三次插值 linear是缺省值. 當忽略選項時默認為線性插值.第30頁，共61頁。3.3.2 利用Matlab 求解曲線擬合問題 1 利用正規(guī)方程求解，可先把正規(guī)方程化為標準

18、矩陣代數方程的形式，然后利用 Matlab命令 x=Ab 2 利用多項式擬合函數polyfit( ) 求解： 調用格式： A=polyfit(x,y,m) 格式說明：x, y 分別對應觀測點和觀測值，是兩個同維向量，m 是擬合多項式的次數；返回結果為所擬合的m次多項式的系數向量，排列次序為由冪次從高到低。 若要利用所求的擬合多項式估計某些點的函數值，可利用多項式求值函數 polyval( ) 調用格式： f=polyval(A,cx) 格式說明：A 為多項式函數的系數向量，按冪次由高到低排列，cx 為要估計的點，可以是一個值，也可以是一個向量。 第31頁，共61頁。3.3.3 應用示例例5 溫

19、度預測問題在12小時內，每隔1小時測量一次溫度，詳細數據如下：（1）試分別用線性插值、三次樣條插值估計在3.2、6.5、7.1、11.7h的溫度值，用三次樣條插值法每隔0.1h估計一次溫度值并畫出其圖形.（2）用多項式擬合，估計在3.2、6.5、7.1、11.7h的溫度值.第32頁，共61頁。問題分析： 已知一組數據，要估計插值點的值，既可以用插值法，也可以用數據擬合法，擬合出函數關系式，再求給定點的函數值（擬合值）.模型求解： 插值方法： 分別利用線性插值和三次樣條方法估計, 編輯Matlab程序如下t=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;T=5 8 9 15 25 29

20、31 30 22 25 27 24;t0=3.2 6.5 7.1 11.7;T0=interp1(t,T,t0,linear)T1=interp1(t,T,t0,spline)t1=1:0.1:12;T2=interp1(t,T,t1,spline);第33頁，共61頁。plot(t,T,x);hold onplot(t1,T2,-);legend(觀測值,擬合值);xlabel(時間);ylabel(溫度);運行結果為：T0 =10.2000 30.0000 30.9000 24.9000T1 =9.6734 30.0427 31.1755 25.3820每隔0.1h估計一次溫度值并作圖結果

21、見圖3-4第34頁，共61頁。（2）用三次多項式擬合，編程如下：t=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12;T=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;plot(t,T,*);hold onp=polyfit(t,T,3); % 求三次擬合多項式的系數t0=3.2 6.5 7.1 11.7; % 插值點T0=polyval(p,t0) % 利用所求三次多項式，估計在插值點的值 plot(t0,T0,x); % 繪制觀測點散點圖hold ont1=1:0.1:12;T2=polyval(p,t1);第35頁，共61頁。plot(t1,T2,-) %T0為擬

22、合值title(三次多項式擬合)legend(觀測值,擬合值,擬合曲線)xlabel(時間)ylabel(溫度)運行結果得，利用三次多項式擬合在3.2、6.5、7.1、11.7h的估計值為： T0=14.8017 26.2500 27.3088 23.6551輸出圖形如圖3-5所示。第36頁，共61頁。例 6 土豆產量與化肥的關系在農業(yè)生產試驗研究中，對某地區(qū)土豆的產量與化肥的關系做了一實驗，得到了氮肥、磷肥的施肥量與土豆產量的對應關系如下表：根據上表數據分別給出土豆產量與氮、磷肥的關系式.第37頁，共61頁。問題分析：首先畫出土豆產量與氮施肥量的散點圖，見圖3-6.從圖3-6可以看出，土豆產

23、量與氮肥量的關系是二次函數關系，因此可選取擬合函數為： 其中x和y分別為氮肥施肥量和土豆產量，a,b,c為待定系數.第38頁，共61頁。再畫出磷肥量與土豆產量的散點圖，見圖3-7.從圖3-7可以看出：當磷肥施肥量每公頃達到達到100公斤左右時，兩側曲線分別呈明顯的線性關系.由此可選取分段的線性函數作為近似函數，即用 的觀測點作一線性擬合函數，再用 的點作一線性擬合函數，最后用兩個線性函數求出其分界點即可得分段線性函數.第39頁，共61頁。模型求解：（1）調用多項式擬合函數p= polyfit (x, y, n)及求值函數y= polyval(p, x)，編程如下：x=0 34 67 101 1

24、35 202 259 336 404 471;y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;p=polyfit(x,y,2)y0=polyval(p,x);plot(x,y,x,x,y0,-k)legend(觀測值,擬合值)xlabel(氮肥施肥量(Kg/ha)ylabel(土豆產量(Kg)title(土豆產量與氮肥施肥量的二次多項式擬合)第40頁，共61頁。運行該程序得到擬合二次多項式的系數為p=-0.0003 0.1971 14.7416即所求擬合函數為土豆產量與氮肥量的擬合數據與實驗數據的比較，如圖3-8.第4

25、1頁，共61頁。（2）調用線性擬合函數A=regress(Y, G)，編程如下：x1=0 24 49 73 98;y1=33.46 32.47 36.06 37.96 41.04;L1=polyfit(x1,y1,1) %求前段線性擬合多項式x2=98 147 196 245 294 342;y2=41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73;L2=polyfit(x2,y2,1) %求后段線性擬合多項式z1=polyval(L1,x1); % 估計前段擬合值z2=polyval(L2,x2); % 估計后段擬合值plot(x1,y1,*,x1,z1,-b)hold

26、onplot(x2,y2,+,x2,z2,-b)xlabel(磷肥施肥量(Kg/ha)ylabel(土豆產量(Kg)hold off 第42頁，共61頁。運行得：L1 = 0.0844 32.0771L2 = 0.0059 39.9685即左側擬合直線方程為： ，即左側擬合直線方程為： ，聯立求解這兩個方程，得兩條直線的交點， 100.53，則擬合函數為為便于觀察，擬合多項式對觀測數據的擬合情況，程序同時利用擬合結果作了對比分析，見圖3-9所示。第43頁，共61頁。第44頁，共61頁。3.4 汽車剎車距離模型問題分析：反應距離由反應時間和車速決定，反應時間取決于司機個人狀況(靈巧、機警、視野等

27、)和制動系統(tǒng)的靈敏性(從司機腳踏剎車板到制動器真正起作用的時間)，對于一般規(guī)則可以視反應時間為常數，且在這段時間內車速尚未改變.制動距離與制動器作用力(制動力)、車重、車速以及道路、氣候等因素有關，制動器是一個能量耗散裝置，制動力作的功被汽車動能的改變所抵消.設計制動器的一個合理原則是，最大制動力大體上與車的質量成正比，使汽車的減速度基本上是常數，這樣，司機和乘客少受劇烈的沖擊.至于道路、氣候等因素，對于一般規(guī)則又可以看作是固定的.第45頁，共61頁。根據表3-1，取制動距離和剎車距離的平均值，分析一般情況下，反應距離、制動距離和剎車距離各自依賴于速率的情況，作圖分析如圖3-103-12所示

28、圖3-10 反應距離與速率 圖3-11制動距離與速率 圖3-12剎車距離與速率第46頁，共61頁。由圖3-10可以看出：反應距離跟速率成比例，圖3-11-圖3-12表明制動距離跟速率符合二次多項式，為了找到剎車距離隨速率的變化函數，基于以上分析，作如下假設.基本假設（1）剎車距離 等于反應距離 和制動距離 之和；（2）反應距離 與車速 成正比，比例系數為反應時間 ；（3）剎車時使用最大制動力 ， 做的功等于汽車動能的改變，且 與車的質量 成正比.模型建立由假設（2）可得由假設（3），在作用力 下行駛距離 做的功，所做的功使車速從 變成0，動能的變化為 ，有第47頁，共61頁。又 ，按照牛頓第二

29、定理可知，剎車時的減速度 為常數，于是其中 ，由假設（1），剎車距離為即實際剎車距離的擬合多項式為（通常對人們剎車的反應時間經驗估計為0.75秒，即擬合函數中 .）模型求解根據最小二乘擬合準則（3.11），要擬合參數 ，就要極小化第48頁，共61頁。最優(yōu)的一個必要條件是兩個偏導數 等于零，從而得到矩陣表示的正規(guī)方程為其中為了便于分析，我們對表3-1的數據做了適度整理，見表3-8所示。第49頁，共61頁。第50頁，共61頁。根據表3-8的數據，分別由制動距離、反應距離擬合參數 ，根據擬合冪曲線中式（3.14）擬合 ，編程如下：v=29.3 36.7 44 51.3 58.6 66 73.3 80

30、.7 88 95.3 102.7 110 117.3;d1=20 28 40.5 52.5 72 92.5 118 148.5 182 220.5 266 318 376;g=v.*v;k1=gd1;得到 k1 =0.0252d2=22 28 33 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88;g=v;k2=gd2;得到 k2=0.7528所以 ，作圖：第51頁，共61頁。K=k1 k2;d=v.*v v*K;plot(v,d,:);hold onplot(v,D,o);legend(d,D);title(plot of and D); 圖3-13 擬合圖第52頁，共61頁。由擬合函數計算剎車距離，與實際距離列表比較如下：第53頁，共61頁。模型檢驗為衡量上述擬合函數的優(yōu)劣，用excel計算各點偏差如表3-10所示：第54頁，共61頁。根據式(3.11)，偏差平方和為 ，均方誤差為 英尺小于一個車身的平均長度15英尺.這說明模型結果比較符合實際，曲線擬合的比較好.模型應用 在駕駛員培訓班上經常給出