6第六講高斯函數(shù)及其應用學生版全解

1、7)第六講高斯函數(shù)與整點Q本講概述本講我們將研究全國數(shù)學聯(lián)賽二試范圍內(nèi)初等數(shù)論所要求的最后一個專題：高斯函數(shù)y=x.實際上高斯函數(shù)就是取整函數(shù)，利用這個函數(shù)可以將以前很多需要大量描述才能說清楚的問題很簡潔地描述和處理.我們想給出高斯函數(shù)的定義及若干性質:定義一：對任意實數(shù)x,x是不超過x的最大整數(shù)，稱x為x的整數(shù)部分與它相伴隨的是小數(shù)部分函數(shù)y=x,xxx.由x、x的定義不難得到如下性質：（1）yx的定義域為r,值域為z；yx的定義域為r,值域為0,1）（2）對任意實數(shù)x,都有xx+x,且0 x1.（3）對任意實數(shù)x,都有xxx+1,x1xx.（4）yx是不減函數(shù)，即若xx則xx+y;x+yx

2、+y;工xx,xeR；iiii1i1naa特別地，nbbHx,xeRii+i1xyx-y，其中x,yeR；一般有Hx+ii1特別地，nxnx,xeR+,neN*.(8),其中xeR+,neN*.nn【證明】(1)(7)略.xx(8)令=m,meZ，則mm+1，因此，nmxn(m+1).由于nm,nnxxn(m+1)eN，則由(3)知，nmxn(m+1),于是，mm+1,故=m.nn證畢.上面(1)-(5)都很容易理解；而(6)-(7)一般只需掌握二元形式，多元的很難用上；(8)的證明方法是涉及高斯函數(shù)問題的一種典型方法，必須熟練掌握.以下給出高斯函數(shù)相關的幾個重要定理：定理一：xeR+,neN

3、*，且1至x之間的整數(shù)中，有-個是n的倍數(shù).n【證明】因匸-+1,即-nx(x+1)-n，此式說明：不大于x而是n的倍數(shù)的正整nnnnn數(shù)只有這旦個：nn,2n,-n.n定理二：在n!中，質數(shù)p的最高方次數(shù)是p(n!)=上+.pp2p3【證明】由于P是質數(shù)，因此n!含p的方次數(shù)p(n!)一定是1，2,，n-1,n各數(shù)中所含p的方次nn數(shù)的總和.由定理一知，1,2,，n中有個p的倍數(shù)，有個p2的倍數(shù)，所以pp2p(n!)=-+.pp2此定理說明：n!=pp(n!)M，其中M不含p的因數(shù).例如，由于7(2000!)=E2000+20+-=285+40+5=330,TOC o 1-5 h z772則

4、2000!=7330M,其中7宮M.12n-1定理三：(厄米特恒等式)xeR,neN,則x+x+x+x+-=nxnnn高斯函數(shù)在格點（又叫整點）問題研究中有重要應用.下面給出一個定理.定理四：設函數(shù)y=f（x）在a,b上連續(xù)而且非負，那么和式工f（t）（t為a,b內(nèi)的整數(shù)）表示平atb面區(qū)域axb,0y0,cxd內(nèi)的格點個數(shù)等于工ax+b（且x為整數(shù)）；cxd（2）奇數(shù)p,q滿足（P，q）1，矩形域O,#；0,彳內(nèi)的格點數(shù)等于工x+工ly-呼0 xq/2q0y0，區(qū)域：x0,y0,xyn內(nèi)的格點個數(shù)等于2工-打2.x0 x2)，證明:n(n+1)n+1_4n-2_4_練習4.證明：n+12(n

5、丘N).將n換為正實數(shù)x.等式是否仍成立？練習5.xeR+,neN*,證明:nx號+號+呼+兩.123n練習6設n是一個固定的正整數(shù)，b(n)是關于所有正整數(shù)k的最小值。證明b(n)=h=練習7.設S(x)表示數(shù)列證明方程-：-=二I有兩相異實根使得U中有無窮多個正整數(shù)。練習8.求最大的實數(shù)c，使得對任意的neN*，均有.n練習9.求滿足下式的所有自然數(shù)a,b:+巴二瓷+也練習10.確定所有的實數(shù)對(a,b)使得abn=ban對一切正整數(shù)n成立。練習11.證明對每個自然數(shù)k,存在無理數(shù)二，使得對任一自然數(shù)m，二：三】二上:練習12.設二為方程=冷勺最大正根。證明被17整除。練習13.(Beatty定理)設為正無理數(shù)，并且一