數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告積分方法的實(shí)際應(yīng)用

1、-. z數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告求積公式的實(shí)際應(yīng)用學(xué) 院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專 業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)*指導(dǎo)教師成 績教師評語：指導(dǎo)教師簽字： 2018年1月8日-. z1緒論數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要局部，計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支，它研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值檢索方其理論與軟件的實(shí)現(xiàn)。隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的飛速開展，幾乎所有學(xué)科都走向定量化和準(zhǔn)確化，從而產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)和計(jì)算材料學(xué)等，計(jì)算數(shù)學(xué)中的數(shù)值計(jì)算方法則是解決計(jì)算問題的橋梁和工具。我們知道，計(jì)算能力是計(jì)算工具和計(jì)算方法的效率的乘積，提高計(jì)算方法的效率與提高計(jì)算機(jī)硬件的

2、效率同樣重要?？茖W(xué)計(jì)算已用到科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中。數(shù)值計(jì)算方法，是一種研究并解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值近似解方法， 是在計(jì)算機(jī)上使用的解數(shù)學(xué)問題的方法，簡稱計(jì)算方法。在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都要用到各種計(jì)算方法。 例如，在航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)和漢字字樣設(shè)計(jì)中都有計(jì)算方法的蹤影。計(jì)算方法既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)用性和亞丁實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征，計(jì)算方法是一門理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科。在70年代，大多數(shù)學(xué)校僅在數(shù)學(xué)系的計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)和計(jì)算機(jī)系開設(shè)計(jì)算方法這門課程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速開展和普及，現(xiàn)在計(jì)算方法課程幾乎已成為所有理工科學(xué)生的必修課程。計(jì)算方法

3、的計(jì)算對象是微積分，線性代數(shù)，常微分方程中的數(shù)學(xué)問題。容包括：插值和擬合、數(shù)值微分和數(shù)值積分、求解線性方程組的直接法和迭代法、計(jì)算矩陣特征值和特征向量和常微分方程數(shù)值解等問題。2Gauss求積公式2.1根本原理求積公式(2.1)含有2n+2個(gè)待定參數(shù)， 當(dāng)為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的插值求積公其代數(shù)精度至少為n次，如果適中選取，有可能使求積公式(2.1)具有2n+1次代數(shù)精度，這類求積公式稱為高斯求積公式。為具有一般性，研究帶權(quán)積分，這里為權(quán)函數(shù)，求積公式為(2.2)為不依賴于的求積系數(shù)，為求積節(jié)點(diǎn)，可適中選取及，使(2.2)具有2n+1次代數(shù)精度。如果求積公式(2.2)具有2n+1次代數(shù)精度，則稱其節(jié)

4、點(diǎn)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)求積公式(2.2)稱為高斯求積公式。根據(jù)定義要使(2.2)式具有2n+1次代數(shù)精度，只要對，()，令(2.2)式準(zhǔn)確成立，即.(2.3)當(dāng)給定權(quán)函數(shù)，求出右端積分，則可由(2.3)式解得及2.2程序?qū)崿F(xiàn)建立gaussl.m文件，寫入如下容：function s=gaussl(a,b,n)h=(b-a)/n; s=0.0;for m=0:(1*n/2-1) s=s+h*(gaussf(a+h*(1-1/sqrt(3)+2*m)+gaussf(a+h*(1+1/sqrt(3)+2*m);end 2.3 實(shí)例分析例計(jì)算積分解建立gaussf.m文件以調(diào)用gaussl.m文件中的函數(shù)，

5、再寫入如下容：function y=gaussf(*)y=sqrt(*)*log(*);再在命令行中輸入： s=gaussl(0,1,20)得出如下結(jié)果：s = -0.44563高斯-勒讓德求積公式3.1根本原理在高斯求積公式(2.1)中，假設(shè)取權(quán)函數(shù)，區(qū)間為，則得公式(3.1)由于勒讓德多項(xiàng)式是區(qū)間上的正交多項(xiàng)式，因此，勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式(3.1)的高斯點(diǎn)。形如(3.1)式的高斯公式稱為高斯-勒讓德求積公式。3.2程序?qū)崿F(xiàn)建立guasslegendre.m文件，寫入如下容：function ql,Ak,*k=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)if nargi

6、n=1 a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;elseif nargin=3 n=7;tol=1e-8;elseif nargin=4 tol=1e-8;elseif nargin=2|nargin5 error(The Number of Input Arguments Is Wrong!);end% 計(jì)算求積節(jié)點(diǎn)syms *p=sym2poly(diff(*2-1)(n+1),n+1)/(2n*factorial(n);tk=roots(p); % 求積節(jié)點(diǎn)% 計(jì)算求積系數(shù)Ak=zeros(n+1,1);for i=1:n+1 *kt=tk; *kt(i)=; pn=poly(*kt

7、); fp=(*)polyval(pn,*)/polyval(pn,tk(i); Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求積系數(shù)end% 積分變量代換，將a,b變換到-1,1*k=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;% 檢驗(yàn)積分函數(shù)fun的有效性fun=fchk(fun,vectorize);% 計(jì)算變量代換之后積分函數(shù)的值f*=fun(*k)*(b-a)/2;% 計(jì)算積分值ql=sum(Ak.*f*);參數(shù)說明：fun：積分表達(dá)式，可以是函數(shù)句柄a,b：積分上下限n：積分階數(shù)tol：積分精度，默認(rèn)1e-6ql：積分結(jié)果Ak:積分系數(shù)*k：求積節(jié)點(diǎn)，滿足ql=sum(Ak.

8、*fun(*k)3.3實(shí)例分析例用4點(diǎn)的高斯-勒讓德公式求解定積分的近似值。解：翻開guasslegendre.m文件，并在命令行中輸入如下容 syms *; fun=inline(cos(*)*2); ql,Ak,*k=guasslegendre(fun,0,pi/2,4)得出結(jié)果：ql = 0.4674Ak = 0.5689 0.2369 0.4786 0.2369 0.4786*k = 0.7854 0.0737 0.3625 1.4971 1.2083即的4點(diǎn)的高斯-勒讓德積分結(jié)果為ql=0.4674。4復(fù)化Simpson求積公式4.1根本原理 復(fù)化Simpson公式是一種比擬實(shí)用的積

9、分方法，可以給出誤差估計(jì)。首先將區(qū)間a,b N等分，子區(qū)間的長度為(4.1)在每個(gè)子區(qū)間上采用Simpson公式，在用Simpson公式時(shí)，還要將子區(qū)間再二等分，因此有2N+1個(gè)分點(diǎn)。即(4.2)經(jīng)推導(dǎo)得到，(4.3)稱為為復(fù)化Simpson值，稱4.3式為復(fù)化Simpson公式。4.2程序?qū)崿F(xiàn) 編寫復(fù)化Simpson求積函數(shù)函數(shù)名：s_quad.mFunction I=S_quad(*,y)% 復(fù)化求積公式% *為被積函數(shù)自變量的等距節(jié)點(diǎn)；y為被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值。n=length(*);m=length(y); % 積分自變量的節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)與它的函數(shù)值個(gè)數(shù)一樣；if n=m error (

10、The length of * and Y must be equal); return;endif rem(n-1,2)=0 % 如果n-1不能被2整除，則調(diào)用復(fù)化公式 error (節(jié)點(diǎn)數(shù)不滿足要求); return;endN=(n-1)/2;h=(*(n)-*(1)/N;a=zeros (1,n);for k=1:Na(2*k-1)=a(2*k-1)+1;a(2*k)=a(2*k)+4; a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);然后調(diào)用s_quad函數(shù)，來實(shí)現(xiàn)復(fù)化Simpson公式法。建立一個(gè)文件SPS，容如下：clear*=input(請輸入積分上

11、下限及點(diǎn)間的間隔例如-1:0.1:1：);y=input(請輸入被積公式：y=);I=S_quad(*,y);disp(得出積分值I=)disp(I);4.3實(shí)例分析例1 用復(fù)化Simpson公式求積分，在積分區(qū)間中點(diǎn)與點(diǎn)之間的間隔取為 0.1。解：運(yùn)行程序，按照提示輸入積分上下限、點(diǎn)間的間隔及被積公式，如下所示：請輸入積分上下限及點(diǎn)間的間隔例如-1:0.1:1：-1:0.1:1請輸入被積公式：y=e*p(-*.2)得出積分值I= 1.4936真值為：1.4937例2 計(jì)算積分，將區(qū)間8等分。解：運(yùn)行程序，按照提示輸入積分上下限、等分后的區(qū)間長度及被積公式，如下 所示：請輸入積分上下限及點(diǎn)間的

12、間隔例如-1:0.1:1：0:0.125:1請輸入被積公式：y=*./(4+*.2)得出積分值I= 0.1116真值為：0.1115724.4結(jié)果分析復(fù)化Simpson計(jì)算所得的結(jié)果誤差較小，精度較高，更適合科學(xué)計(jì)算與應(yīng)用，且公式具有收斂性，穩(wěn)定性良好。5數(shù)值方法的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到一些困難。有些函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)，例如，對于積分 (5.1)而言，不存在用初等函數(shù)表示的原函數(shù)。而有些函數(shù)雖然能找到原函數(shù)，但計(jì)算過于復(fù)雜，例如，橢圓型積分 (5.2) 而有些情況下，只能知道*些點(diǎn)處的函數(shù)值，并沒有函數(shù)的具體表達(dá)式。這些情況，使我們有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題。下面我們

13、就以梯形公式為例做以說明。 所謂梯形求積公式就是用梯形面積來近似曲邊梯形面積，利用梯形公式和連續(xù)增加a,b的區(qū)間數(shù)來逼近： (5.3)第j次循環(huán)在個(gè)等距節(jié)點(diǎn)處對采樣。5.1實(shí)例分析 衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長計(jì)算公式是，這里a是橢圓半長軸，c是地球中心與軌道中心橢圓中心的距離，記h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R=637km為地球半徑，則我國第一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H=2384，試求衛(wèi)星軌道的周長。解: 第一步：先利用Matlab畫出被積函數(shù)的圖形。 輸入程序如下：clearH=2384;h=439;R=6371;a=(2*R+H+h)/2c=(H-h)/2*=0:

14、0.1:pi/2;y=sqrt(1-(c/a)2*(sin(*).2);plot(*,y,-)title(梯形法則);*label(*);ylabel(y);輸出結(jié)果：a = 7.782500000000000e+003c = 9.725000000000000e+002輸出圖形：圖5.1 被積函數(shù)的圖形第二步：應(yīng)用數(shù)值積分梯形公式。 首先建立一個(gè)名為trapezg.m的M文件，程序如下：function I=trapezg(f_name3,a,b,n)format long%輸出用15位數(shù)字表示n=n;h=(b-a)/n; *=a+(0:n)*h;f=feval(f_name3,*);I=h

15、/2*(f(1)+f(n+1);if n1 I=I+h*sum(f(2:n);endh1=(b-a)/100;*c=a+(0:100)*h1; fc=feval(f_name3,*c);plot(*c,fc,r);hold on*label(*);ylabel(y);plot(*,f)title(數(shù)值積分梯形效果圖);plot(*,zeros(size(*),.)for i=1:n;plot(*(i),*(i),0,f(i),end 然后建立一個(gè)名為f_name3.m的M文件定義函數(shù)，Matlab命令如下：function y=f_name3(*)y=sqrt(1-(9.725000e+002

16、/7.782500e+003)2*(sin(*).2)-0.99; 輸入命令程序： trapezg(f_name3,0,pi/2,30) 輸出結(jié)果：ans = 0.00955791054630輸出圖形：圖5.2 數(shù)值積分效果圖積分結(jié)果為：0.00955791054630+0.99=0,99955791054630第三步：計(jì)算最后結(jié)果：第四步：考慮誤差。clearn=1;format longfprintf(n E*tended Trapezoidal Rulen);fprintf(n n I Errorn);I2=0.00955791054630;for k=1:8n=n*2;I1=trape

17、zg(f_name3,0,pi/2,n);format longif k=1;fprintf(%3.0f %10.8f %10.8fn, n, I1, I1-I2);endpauseend計(jì)算7步輸出結(jié)果：E*tended Trapezoidal Rulen I Error4 0.00956 0.00000 8 0.00956 0.0000016 0.00956 0.0000032 0.00956 -0.0000064 0.00956 -0.00000128 0.00956 0.00000256 0.00956 -0.00000初始狀態(tài)圖：圖5.3 初始狀態(tài)圖計(jì)算一步結(jié)果圖：圖5.4計(jì)算一步結(jié)果圖計(jì)算四步結(jié)果圖：圖5.5 計(jì)算四步結(jié)果圖最后計(jì)算八步結(jié)果圖：圖5.6 計(jì)算八步結(jié)果圖5.2結(jié)果分析 數(shù)值微積分在科學(xué)計(jì)算上有很大應(yīng)用，復(fù)化梯形公式極簡化了人們實(shí)際生活中的運(yùn)算復(fù)雜性。不僅算法簡明，幾何意義明確，而且迭代結(jié)果準(zhǔn)確科學(xué)，具有更好的收斂性和廣泛的實(shí)用性，且精度高收斂速度快。此題就是利用復(fù)化積分原理，確定軌道，并加以計(jì)算，得到高精度的結(jié)果。結(jié)論通過本次課程設(shè)計(jì)，學(xué)習(xí)到了如何應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)展大量的數(shù)值求解方法，對該課程的理解進(jìn)一步加強(qiáng)，對課堂知識(shí)的模糊點(diǎn)有了一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。在本文表達(dá)的幾種方法中，高斯-勒讓德求積公式可以用較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)得到高精度的計(jì)算結(jié)果，是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常