高數(shù)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題

1、高等數(shù)學(xué)應(yīng)用題1、設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺電視機(jī)的成本為 C,每臺電視機(jī)的銷售價格為P,銷 售量為x,假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量。根據(jù)市場預(yù)測，銷售量x與銷售價格p之間有下面的關(guān)系：x Me P (M 0，0),其中M為市場最大需求量，是價格系數(shù)。同時,生產(chǎn)部門根據(jù)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對每臺電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測算：c Co k1nx (k 0，x 1),其中c。是只生產(chǎn)一臺電視機(jī)時的成本，k是規(guī)模 系數(shù)。根據(jù)上述條件，應(yīng)如何確定電視機(jī)的售價p,才能使該廠獲得最大利潤？解：設(shè)廠家獲利為 u ,則u (p c)x。作拉格朗日函數(shù)L(x, p,c) (p c)x (x Me

2、 P) (c c0 k In x). 令Lx (pc) k 0 xLd x Me p 0pLcx 0c解之得1c0 kln M - k p* .1 k因為最優(yōu)價格必定存在，所以p*是電視機(jī)的最優(yōu)價格。2某企業(yè)分批生產(chǎn)某產(chǎn)品 q噸，固定成本8萬元，總成本函數(shù)為3C(q) 8 kq2其中k為待定系數(shù)，已知批量 q = 9噸時，總成本C = 62萬元，問批量是多少時，使每 批產(chǎn)品的平均成本最低？3解：將q 9,C 62代入C(q) 8 kq5,得k 2則平均成本為， C q 8C q - 2Jqq q8181C q =，令 C q 0,則0,得 q 4 q qq .q所以批量為4噸時，每批平均成本最

3、低。3生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 C （x） 8x（萬元/百臺），邊際收入為R （x） 100 2x（萬 萬元/百臺），某中x為產(chǎn)量，若固定成本為 10萬元，問（1）產(chǎn)量為多少時，利潤最大？ （2）從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？解：C x 8xdx 4x2 c,又固定成本為10萬元，則C x4x2 10R x 100 2x dx 100 x x2 c因為 x 0時 R=0,所以 C=0,貝U R x 100 x x2L x R x C x 100 x 5x2 10L x 100 10 x ,令 L x0,有 x 10所以產(chǎn)量為10百臺時利潤最大。此時最大利潤為L 101000 5

4、00 10 490（萬元）此時再生產(chǎn)2百臺，利潤為L 121200 5 122 10 470 （萬元）4設(shè)某工廠生產(chǎn) A和B兩種產(chǎn)品同時在市場銷售，售價分別為P1和P2,需求函數(shù)分別為 q1 40 2 P1+P2, q2 25 p1 P2 ,假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的成本為C q； q2q2 q2 ,工廠如何確定兩種產(chǎn)品的售價時日利潤最大？最大日利潤為多少?2_2斛：總收入函數(shù)：R p1q P2q2 65 Pi 90 P2 Pi 2 P1P2 2 P2L R C 65Pi 90P2 p2 2Plp2 2p2 (p； RP2 pf).2265Pl 90 p2 2Pl 3Plp2 3p2現(xiàn)在求二元函數(shù)

5、L（P1,P2）的最大值.由極值的必要條件解方程組Lr 65 4P1Lp290 3p13p26 P2得唯0駐點（8,11）,由問題的實際意義知最大利潤存在,故當(dāng)P1 8, P2 11時，廠家獲得最大日利潤.最大日利潤為755.5 已知連續(xù)復(fù)利為 0.05,現(xiàn)存入a萬元，第一年取出19萬元，第二年取出28萬元，第n年取出10+9n萬元，問a至少為多少時，可以一直取下去? 解：由題得0.05n.9n)e L0.050.05 2a 19e28e L (1010n10-10.05ne10.05e0.05n9ne1設(shè) f (x)0.05e0.05n9nen 10.05 nx9ne兩邊求積分x0f出9nx

6、x 0.05 nte0dtn10.05nx9n( e10.05n1800.05 nxe180 x0 f(x)dx0.05xe180(1 -一許)1 e對上式兩邊求導(dǎo) f (x)1800.05x0.05e0.05x、2(1 e )0.05x9e二 0.05xx 2(1e )令 x 1 ,則 f(x)9ne10.05n f 9e 0.05(1 e0.05)20.0510ea -0.051 e-0.059e(1 e0.05)2所以a至少應(yīng)為3795.0.0519e0.110e/0.05 2(1 e )3794.296設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P,其中價格P (0,20), Q為需求量.(

7、I)求需求量對價格的彈性Ed (Ed 0);dR (II)推導(dǎo) Q(1 Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說明價格在何范圍內(nèi)變化時, dP降低價格反而使收益增加.(I)EdP dQQ dPP20 P(II)由 R = PQ,得又由EddR -Q dPPdQ dPQ(1 露 Q(1Ed).P20 PP = 10.當(dāng) 10 P 1,曰dR dP0,故當(dāng)10 P 0時，需求量對價格的彈性公式為 EdPdQQ dPP dQQ dP利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個常用的公式:dRdRdR(1巳汽叱抵(1 Ed)Q，工(1Ed)P ，EREp1 Ed (收益對價格的彈性).7已知某產(chǎn)品的邊際成本

8、 C (q) 4q 3 (萬元/百臺)，q為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18 (萬元)，求該產(chǎn)品的平均成本.最低平均成本.解(1)總成本 C(q)0qC (q)dq C0；(4q 3) 18 2q2 3q 18 TOC o 1-5 h z 平均成本函數(shù) C C(8 2q 3 18 qq(說明：若要求產(chǎn)量 q=10時的總成本與平均成本，則只要把q=10代入就可以。即9452 18q 10時總成本為C(10) 2 103 10 18=188,平均成本為C (q) 2 10 3 1018 A 18(2)C 2=，令C 20,解得唯一駐點x 3 qq因為平均成本存在最小值，且駐點唯一，所以，當(dāng)產(chǎn)量為300

9、臺時，可使平均成本達(dá)到最低。，最低平均成本為 C(6) 2 3 3 18 9 (萬元/百臺) 38生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C (x) 5x (萬元/百臺)，邊際收入為R(x) 120 x (萬元/百臺)，其中x為產(chǎn)量，問(1)產(chǎn)量為多少時，利潤最大？(2)從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？解：L (x) R (x) C (x) (120 x) 5x 120 6x令L (x) 0得x 20 (百臺)，可以驗證x 20是是L(x)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn) 量為20 (百臺)即2000臺時，利潤最大.2222從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤變化為 L 20L (x)dx 20(120 6x

10、)dx(120 x 3x2) 2012即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少12萬元9 經(jīng)濟(jì)學(xué)中有 Cobb-Donuglas生產(chǎn)函數(shù)模型：Q(x, y) Cx y1，式中x表示勞動力的數(shù)量，y表示資本數(shù)量，C與 (01 )是常數(shù)，由不同企業(yè)的具體情形決定.函數(shù)值1表示生產(chǎn)量.現(xiàn)已知某生產(chǎn)商的 Cobb-Donuglas生產(chǎn)函數(shù)為Q(x, y) 80 xyL若每單位勞力需600元,每單位資本是2000元,工廠對該產(chǎn)品的勞力和資本的投入總預(yù)算是40萬元，試求最佳資金投入分配方案. 31解：設(shè)產(chǎn)出為 Q(x,y) 80 x4y4 ,約束方程為 600 x + 2000y 400,000.1

11、HYPERLINK l bookmark122 o Current Document (600 x 2000y 400,000) ,3 分0,0 ,5分8分，所以當(dāng)投入500個勞力單位和50個資本單位時，可使產(chǎn)構(gòu)造輔助函數(shù)Fx80F(x,y)1134 4-x 4 y44380 xy600解 Fy600 x得 x 500,801 4x4 y42000y2000400,000 .y 50為唯一駐點.由實際問題知必存在最大產(chǎn)出量 出量最大，是最佳資金投入方案.10某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為 q 1000 10p (q為需求量，p

12、為價格).試求:(1)成本函數(shù)，收入函數(shù);(2)產(chǎn)量為多少噸時利潤最大?因為所以(2)(1)成本函數(shù) C(q)= 60q+2000.q 1000 10p,即 p 1001-q ,10112收入函數(shù) R(q)=p q =( 100 10q) q=100q 而 q .12因為利潤函數(shù) L(q) =R(q)-C(q) = 100q q -( 60q +2000)10=40q- q2-20001012、L (q) =(40 q - q -2000 ) =40- 0.2q10令L (q)= 0,即40- 0.2q= 0,得4= 200,它是L(q)在其定義域內(nèi)的唯一駐點.所以，q= 200是利潤函數(shù)L(

13、q)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為 200噸時利潤最大.11某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4q+0.01q2 (元)，單位銷售價格為p = 14-0.01q (元/件)，問產(chǎn)量為多少時可使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少解由已知 R qp q(14 0.01q) 14q 0.01q2利潤函數(shù) L R C 14q 0.01q2 20 4q 0.01q210q 20 0.02q2貝U L10 0.04q,令 L 10 0.04q 0,解出唯一駐點 q 250因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時可使利潤達(dá)到最大，且最大利潤為2L(250) 10 250 20 0.02 2502500 20 1250 1230 (兀)2：要使平12已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的成本為C(q) 250 20q巳(萬元)問均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解(1)因為 C(q) =()=